高中数学高考三轮冲刺 天津南开中学2023届高三数学练习(概率随机变量分布列)

一、eq\a\vs4\al\co1(互斥事件与相互独立事件的概率)1.甲、乙二人进行一次围棋比赛，约定先胜3局者获得这次比赛的胜利，比赛结束．假设在一局中，甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，各局比赛结果相互独立．已知前2局中，甲、乙各胜1局．(1)求再赛2局结束这次比赛的概率；(2)求甲获得这次比赛胜利的概率．解记Ai表示事件：第i局甲获胜，i＝3,4,5，Bj表示事件：第j局乙获胜，j＝3,4.(1)记A表示事件：再赛2局结束比赛．A＝A3·A4＋B3·B4.由于各局比赛结果相互独立，故P(A)＝P(A3·A4＋B3·B4)＝P(A3·A4)＋P(B3·B4)＝P(A3)P(A4)＋P(B3)P(B4)＝×＋×＝.(2)记B表示事件：甲获得这次比赛的胜利．因前2局中，甲、乙各胜1局，故甲获得这次比赛的胜利当且仅当在后面的比赛中，甲先胜2局，从而B＝A3·A4＋B3·A4·A5＋A3·B4·A5，由于各局比赛结果相互独立，故P(B)＝P(A3·A4)＋P(B3·A4·A5)＋P(A3·B4·A5)＝P(A3)P(A4)＋P(B3)P(A4)P(A5)＋P(A3)P(B4)P(A5)＝×＋××＋××＝.2.某银行柜台设有一个服务窗口，假设顾客办理业务所需的时间互相独立，且都是整数分钟，对以往顾客办理业务所需的时间统计结果如下：办理业务所需的时间/分12345频率从第一个顾客开始办理业务时计时．(1)估计第三个顾客恰好等待4分钟开始办理业务的概率；(2)X表示至第2分钟末已办理完业务的顾客人数，求X的分布列及数学期望．解设Y表示顾客办理业务所需的时间，用频率估计概率，得Y的分布列如下：Y12345P(1)A表示事件“第三个顾客恰好等待4分钟开始办理业务”，则事件A对应三种情形：①第一个顾客办理业务所需的时间为1分钟，且第二个顾客办理业务所需的时间为3分钟；②第一个顾客办理业务所需的时间为3分钟，且第二个顾客办理业务所需的时间为1分钟；③第一个和第二个顾客办理业务所需的时间均为2分钟．所以P(A)＝P(Y＝1)P(Y＝3)＋P(Y＝3)P(Y＝1)＋P(Y＝2)P(Y＝2)＝×＋×＋×＝.(2)法一X所有可能的取值为0,1,2.X＝0对应第一个顾客办理业务所需的时间超过2分钟，所以P(X＝0)＝P(Y＞2)＝；X＝1对应第一个顾客办理业务所需的时间为1分钟且第二个顾客办理业务所需的时间超过1分钟，或第一个顾客办理业务所需的时间为2分钟，所以P(X＝1)＝P(Y＝1)P(Y＞1)＋P(Y＝2)＝×＋＝；X＝2对应两个顾客办理业务所需的时间均为1分钟，所以P(X＝2)＝P(Y＝1)P(Y＝1)＝×＝；所以X的分布列为X012PE(X)＝0×＋1×＋2×＝.法二X的所有可能取值为0,1,2.X＝0对应第一个顾客办理业务所需的时间超过2分钟，所以P(X＝0)＝P(Y＞2)＝；X＝2对应两个顾客办理业务所需的时间均为1分钟，所以P(X＝2)＝P(Y＝1)P(Y＝1)＝×＝；P(X＝1)＝1－P(X＝0)－P(X＝2)＝；所以X的分布列为X012PE(X)＝0×＋1×＋2×＝.二、超几何分布：1.袋中装有4个白棋子,3个黑棋子,从袋中随机地取出棋子,若取到一个白棋子得2分,取到一个黑棋子得1分,现从袋中任取4个棋子.(1)求得分的分布列；（2）求得分大于6的概率.解：（1）袋中共7个棋子，以取到白棋子为标准，则取到白棋子的个数为1,2,3,4，对应的得分为5,6,7,8.由题意知，取到的白棋子数服从参数为的超几何分布，故得分也服从该超几何分布.所以的分布列为（2）根据的分布列，可得到得分大于6的概率为2.甲、乙两人参加某选拔考试，本次选拔考试采用现场答题的方式来进行，已知在备选的10道题中，甲能答对其中的6道题，乙能答对其中的8道题，规定每次考试都从备选题中随机抽出3题进行测试，至少答对2题才能入选.(1)求甲答对试题数的概率分布；（2）求甲、乙两人至少一人入选的概率.解：（1）甲答对试题数的可能取值为0,1,2,3，则其分布列为：（2）法一：设甲、乙、两人考试合格的事件分别为则，因为事件相互独立，所以甲、乙两人考试不合格的概率为所以甲、乙两人至少有一人合格的概率为法二：甲、乙两人至少有一人合格的概率为三、eq\a\vs4\al\co1(独立重复试验与二项分布)：1.设不等式确定的平面区域为，确定的平面区域为.（1）定义横、纵坐标为整数的点为“整点”，在区域内任取3个整点，求这些整点中恰有2个整点在区域内的概率；（2）在区域内任取3个点，记这3个点在区域内的个数为，求的分布列和数学期望.2.现有4个人去参加某娱乐活动，该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择．为增加趣味性，约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个游戏，掷出点数为1或2的人去参加甲游戏，掷出点数大于2的人去参加乙游戏．(1)求这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率；(2)求这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率；(3)用X，Y分别表示这4个人中去参加甲、乙游戏的人数，记ξ＝|X－Y|.求随机变量ξ的分布列与数学期望E(ξ)．解依题意，这4个人中，每个人去参加甲游戏的概率为eq\f(1,3)，去参加乙游戏的概率为eq\f(2,3).设“这4个人中恰有i人去参加甲游戏”为事件Ai(i＝0,1,2,3,4)，则.(1)这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率(2)设“这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数”为事件B，则B＝A3∪A4.由于A3与A4互斥，故所以，这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率为eq\f(1,9).(3)ξ的所有可能取值为0,2,4.由于A1与A3互斥，A0与A4互斥，故P(ξ＝0)＝P(A2)＝eq\f(8,27)，P(ξ＝2)＝P(A1)＋P(A3)＝eq\f(40,81)，P(ξ＝4)＝P(A0)＋P(A4)＝eq\f(17,81).所以ξ的分布列是ξ024Peq\f(8,27)eq\f(40,81)eq\f(17,81)∴ξ的期望E(ξ)＝0×eq\f(8,27)＋2×eq\f(40,81)＋4×eq\f(17,81)＝eq\f(148,81).四、基本训练：1.已知的分布列如下：并且，则方差（）A．B.C.D.2.一个均匀小正方体的六个面中，三个面上标有数字0，两个面上标有数字1，一个面上标有数字3，将这个小正方体抛掷两次，则向上的数之积的数学期望是（）A．B.C.D.3.现有甲、乙、丙三人参加某电视台应聘节目《非你莫属》，若甲应聘成功的概率为，乙、丙应聘成功的概率均为，且三个人是否应聘成功是相互独立的.(1)若乙、丙有且只有一个人应聘成功的概率等于甲应聘成功的概率，求的值；(2)记应聘成功的人数为，若当且仅当为2时概率最大，求的取值范围.解：（1）由题意得，解得（2）的所有可能取值为故分布列为由题意得：，，，又因为，所以解得的取值范围为4.在某校组织的一次篮球定点投篮训练中，规定每人最多投3次；在A处每投进一球得3分，在B处每投进一球得2分；如果前两次得分之和超过3分即停止投篮，否则投第三次.某同学在A处的命中率，在B处的命中率为,该同学选择先在A处投一球，以后都在B处投，用表示该同学投篮训练结束后所得的总分.（1）求该同学投篮3次的概率；（2）求随机变量的数学期望.（1）.（2）;;;;.

随机变量的分布列为02345∴.5.一个盒子中装有大量形状大小一样但重量不尽相同的小球，从中随机抽取个作为样本，称出它们的重量（单位：克），重量分组区间为，，，，由此得到样本的重量频率分布直方图，（1）求的值；（2）根据样本数据，试估计盒子中小球重量的平均值；（注：设样本数据第组的频率为，第组区间的中点值为，则样本数据的平均值为.）（3）从盒子中随机抽取个小球，其中重量在内的小球个数为，求的分布列和数学期望.解：(1)由题意，得，解得.（2）解：个样本小球重量的平均值为（克）.由样本估计总体，可估计盒子中小球重量的平均值约为克.（3）解：利用样本估计总体，该盒子中小球重量在内的概率为，则.的取值为，，，，.∴的分布列为：∴.（或者）6.据IEC（国际电工委员会）调查显示，小型风力发电项目投资较少，且开发前景广阔，但受风力自然资源影响，项目投资存在一定风险.根据测算，风能风区分类标准如下：风能分类一类风区二类风区平均风速m/s～10～假设投资A项目的资金为（≥0）万元，投资B项目资金为（≥0）万元，调研结果是：未来一年内，位于一类风区的A项目获利的可能性为，亏损的可能性为；位于二类风区的B项目获利的可能性为，