常用统计技术

常用统计技术第一页，共五十二页，2022年，8月28日一、方差分析几个概念因子：在试验中改变状态的因素称为因子，常用大写英文字母A、B、C等表示。水平：因子在试验中所处的状态称为因子的水平。用代表因子的字母加下标表示，记为A1，A2，…。第二页，共五十二页，2022年，8月28日方差分析类型：单因子方差分析多因子方差分析有交互作用的多因子方差分析第三页，共五十二页，2022年，8月28日单因子方差分析假设检验： H0：μ1=μ2=…=μr H1：μ1、μ2、…、μr不全相等

（至少有两个不相等）第四页，共五十二页，2022年，8月28日方差分析作的三个基本假定在水平Ai下，指标服从正态分布N(μ,α2)；在不同水平下，各方差相等；各数据yij相互独立。第五页，共五十二页，2022年，8月28日分析步骤列出单因子试验数据表，yij表示在第i个水平，第j次试验指标值在表中计算因子A的每一水平下数据的和T1、T2、…TR及总和T计算各类数据的平方和第六页，共五十二页，2022年，8月28日依次计算ST、SA、Se第七页，共五十二页，2022年，8月28日依次计算fT、fA、fe fT=n-1=rm-1 fA=r-a fe=n-r=fT-fAMSA=SA/fA

MSe=Se/fe填写方差分析表第八页，共五十二页，2022年，8月28日F检验：F比

=MSA/MSe

当F比

>F1-α(fA,fe)，认为因子A是显著的

当F比

<F1-α(fA,fe)，认为因子A是不显著的第九页，共五十二页，2022年，8月28日对数据进行分析结论： a、F比

=31.21>F0.95(2,9)=4.26

因子A是显著的，表明不同工厂的零件

强度有显著差异 b、当因子A是显著时，可找出最佳水平 c、可估计误差方差及标准差第十页，共五十二页，2022年，8月28日例，与相似如果没有给出原始数据yij，仅给出各水平下的试验次数、数据的均值与标准差，那么可将前面的公式稍作变化后作方差分析第十一页，共五十二页，2022年，8月28日对的数据进行分析：第十二页，共五十二页，2022年，8月28日第十三页，共五十二页，2022年，8月28日重复数不等情况下的单因子方差分析对的数据进行分析第十四页，共五十二页，2022年，8月28日二回归分析散布图：为研究两个变量间存在什么关系，把每一对（xi，yi）（i=1、2、…、n）看成直角坐标系中的一个点，在图中标出n个点，称此图为散布图例，表，图第十五页，共五十二页，2022年，8月28日相关系数：用一个统计量来表示两个变量间关系的密切程度，这个量成为相关系数r不同r值的示意图：图第十六页，共五十二页，2022年，8月28日性质：|r|≤1r=±1时，表示n个点在一条直线上，这时两个变量间完全线性相关。r>0，两个变量间具有线性正相关r<0，两个变量间具有线性负相关r=0表示两个变量间没有线性相关关系，但并不排斥两者间有其它函数关系。第十七页，共五十二页，2022年，8月28日相关系数的检验根据r的绝对值的大小可判断两个变量间线性相关的程度对于给定的α，当|r|>r1-α/2(n-2)，可认为两个变量间存在一定的线性相关关系r1-α/2(n-2)的临界值可从表中查到第十八页，共五十二页，2022年，8月28日例计算相关系数r，并判断其线性相关关系第十九页，共五十二页，2022年，8月28日一元线性回归方程当两个变量间存在线性相关关系时，常希望建立两者间的定量关系表达式，这便是两个变量间的一元线性回归方程第二十页，共五十二页，2022年，8月28日一元线性回归方程的求法例求回归方程由回归方程画出的回归直线一定通过（0，a）和（）两点。第二十一页，共五十二页，2022年，8月28日回归方程的显著性检验检验两个变量间是否存在线性相关关系的问题便是对回归方程的显著性检验问题第二十二页，共五十二页，2022年，8月28日相关系数检验法：当|r|>r1-α/2(n-2)时，便认为两个变量间存在线性相关关系，所求得的回归方程是有意义的方差分析检验法：是单因子方差分析

第二十三页，共五十二页，2022年，8月28日例的单因子方差分析利用回归方程进行预测：给定了自变量x后，对因变量y做出推断第二十四页，共五十二页，2022年，8月28日例中指定x0=0.16，预测y0的区间可化为一元线性回归的曲线回归确定曲线回归方程形式，方法有两种：一是根据专业知识二是根据数据所画的散布图，将它与一些标准的函数图像进行比较后加以选择第二十五页，共五十二页，2022年，8月28日例散布图常见的函数图像图第二十六页，共五十二页，2022年，8月28日曲线回归方程中参数的估计，我们采用线性化的方法，即通过变化将它化为一元线性回归方程的形式，用线性回归方法来获得参数的估计例第二十七页，共五十二页，2022年，8月28日曲线回归方程的比较，比较准则两个：一是要求相关系数R大二是要求剩余标准差S小第二十八页，共五十二页，2022年，8月28日三试验设计试验设计的基本概念与正交性试验设计全面搭配试验三个因子，每个因子三个水平第二十九页，共五十二页，2022年，8月28日优点：信息量大，可选最佳条件缺点：试验次数太多，估计不出试验误差第三十页，共五十二页，2022年，8月28日单因子条件试验法（因子轮换法）

取A2B3C2为最佳条件

优点：试验次数少

缺点：各因子水平间搭配不全面，信息量不够；试验误差未知，当试验误差大时，有时会选错最佳条件第三十一页，共五十二页，2022年，8月28日正交试验法

用正交表安排试验，并利用正交表的特点进行数据分析，找出最好或满意的试验条件。用单因子条件试验法的相同试验次数，各因子水平间全面搭配，信息量丰富，能估计出试验误差第三十二页，共五十二页，2022年，8月28日正交表 a、常用正交表Ln（qp）“L”表示正交表“n”是表的行数，在试验中表示试验的条件数“p”是列数，在试验中表示可以安排因子的最多个数“q”是表的主体只有三个不同数字，在试验中表示每一因子可以取的水平数第三十三页，共五十二页，2022年，8月28日常用的正交表有两大类 (1)一类正交表的行数n，列数p，水平数q间有如下关系：n=qk,k=2,3,4,…,p=(n-1)/(q-1)如：L4(23)，L8(27)，L16(215)，L32(231)等，可以考察因子间的交互作用。第三十四页，共五十二页，2022年，8月28日 (2)另一类正交表的行数，列数，水平数之间不满足上述的两个关系如：L12(211)，L18(37)，L20(219)，L36(313)等这类正交表不能用来考察因子间的交互作用第三十五页，共五十二页，2022年，8月28日正交表具有正交性，这是指它有如下两个特点：(1)每列中不同的数字重复次数相同。在表L9(34)中，每列有3个不同数字：1,2,3，每一个出现3次。第三十六页，共五十二页，2022年，8月28日 (2)将任意两列的同行数字看成一个数对，那么一切可能数对重复次数相同。在表L9(34)中，任意两列有9种可能的数对：(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3), (3,1),(3,2),(3,3)每一对出现一次。第三十七页，共五十二页，2022年，8月28日无交互作用的正交设计与数据分析

试验设计，以为例

(1)明确试验目的

(2)明确试验指标 (3)确定因子与水平 (4)选用合适的正交表,进行表头设计,列出试验计划第三十八页，共五十二页，2022年，8月28日进行试验和记录试验结果试验的次序最好要随机化试验结果记录在对应的试验条件后面第三十九页，共五十二页，2022年，8月28日数据分析数据的直观分析寻找最好的试验条件

直观分析计算表，见表各因子对指标影响程度大小的分析用极差来判断影响大小 B因子影响最大，其次是A因子，C因子影响最小第四十页，共五十二页，2022年，8月28日各因子不同水平对指标的影响图CBA2202051901751609001100130010

1112708090RARBRC第四十一页，共五十二页，2022年，8月28日数据的方差分析（多因子方差分析）数据的方差分析计算见表

SA=S1

SB=S2

SC=S3

Se=S4

ST=S1+S2+S3+S4第四十二页，共五十二页，2022年，8月28日对满足式要求的一类正交表则有：ST=S1+S2+…+Sp最后的方差分析表见表，由于 FA>F0.90(2,2)，FB>F0.95(2,2)

因子A影响显著，因子B影响高度显著，因子C影响不显著第四十三页，共五十二页，2022年，8月28日 F比<F0.90

影响不显著 F0.95>F比>F0.90

影响显著 F0.99>F比>F0.95

影响高度显著 F比>F0.99

显著性特大第四十四页，共五十二页，2022年，8月28日最佳条件的选择对显著因子应该取最好的水平；对不显著因子的水平可以任意选取，在实际中通常从降低成本、操作方便等角度加以选择。上面的例子中对因子A与B应该选择A2B2，因子C可以任选，譬如为节约材料可选择C1。第四十五页，共五十二页，2022年，8月28日因子的贡献率当试验指标不服从正态分布时,进行方差分析的依据就不够充足,此时可通过比较各因子的“贡献率”来衡量因子作用的大小。由于S因中除因子的效应外，还包含误差，从而称S因-f因MSe为因子的纯离差平方和，将因子的纯离差平方和与ST的比称为因子的贡献率。第四十六页，共五十二页，2022年，8月28日验证试验验证的最佳条件不一定在试验中出现，为此通常需要进行验证试验。即使选择的最佳条件在试验中出现，也需要通过验证看其是否稳定第四十七页，共五十二页，2022年，8月28日有交互作用的正交设计与数据分析试验设计明确试验目的

明确试验指标确定试验中所考虑的因子与水平，并确定可能存在并要考察的交互作用选用合适的正交表，进行表头设计进行试验，并记录试验结果第四十八页，共五十二页，2022年，8月28日数据分析多因子有交互作用的方差分析计算表见，方差分析表见第四十九页，共五十二页，2022年，8月28日最佳条件的选择对显著因子可通过比较两个水平下的数据均值得到最佳水平，因子C取C2为好对显著的交互作用，先要计算两个因子不同搭配下的数据均值，再通过比较得出哪种水平组合较好不显著因子，其水平可任取第五十页，共五十