高中数学人教A版第四章圆和方程学业分层测评23

学业分层测评（二十三）(建议用时：45分钟)[达标必做]一、选择题1．对任意的实数k，直线y＝kx＋1与圆x2＋y2＝2的位置关系一定是()A．相离 B．相切C．相交但直线不过圆心 D．相交且直线过圆心【解析】易知直线过定点(0,1)，且点(0,1)在圆内，但是直线不过圆心(0,0)．【答案】C2．若PQ是圆x2＋y2＝9的弦，PQ的中点是A(1,2)，则直线PQ的方程是()A．x＋2y－3＝0 B．x＋2y－5＝0C．2x－y＋4＝0 D．2x－y＝0【解析】结合圆的几何性质知直线PQ过点A(1,2)，且和直线OA垂直，故其方程为：y－2＝－eq\f(1,2)(x－1)，整理得x＋2y－5＝0.【答案】B3．(2023·安徽高考)直线3x＋4y＝b与圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0相切，则b的值是()A．－2或12 B．2或－12C．－2或－12 D．2或12【解析】法一：由3x＋4y＝b得y＝－eq\f(3,4)x＋eq\f(b,4)，代入x2＋y2－2x－2y＋1＝0，并化简得25x2－2(4＋3b)x＋b2－8b＋16＝0，Δ＝4(4＋3b)2－4×25(b2－8b＋16)＝0，解得b＝2或12.法二：由圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0可知圆心坐标为(1,1)，半径为1，所以eq\f(|3×1＋4×1－b|,\r(32＋42))＝1，解得b＝2或12.【答案】D4．若直线x－y＝2被圆(x－a)2＋y2＝4所截得的弦长为2eq\r(2)，则实数a的值为()A．－1或eq\r(3) B．1或3C．－2或6 D．0或4【解析】由弦长公式l＝2eq\r(r2－d2)，可知圆心到直线的距离d＝eq\r(2)，即eq\f(|a－2|,\r(12＋－12))＝eq\r(2)，解得a＝0或4.【答案】D5．圆x2＋y2－4x＋6y－12＝0过点(－1,0)的最大弦长为m，最小弦长为n，则m－n＝()A．10－2eq\r(7) B．5－eq\r(7)C．10－3eq\r(3) D．5－eq\f(3\r(2),2)【解析】圆的方程可化为(x－2)2＋(y＋3)2＝25，圆心(2，－3)到(－1,0)的距离为eq\r(0＋32＋－1－22)＝3eq\r(2)<5.∴最大弦长为直径，即m＝10，最小弦长为以(－1,0)为中点的弦，即n＝2eq\r(25－3\r(2)2)＝2eq\r(7).∴m－n＝10－2eq\r(7).【答案】A二、填空题6．直线x－y＝0与圆(x－2)2＋y2＝4交于点A、B，则|AB|＝________.【导学号：09960140】【解析】圆心到直线的距离d＝eq\f(|2－0|,\r(2))＝eq\r(2)，半径r＝2，∴|AB|＝2eq\r(r2－d2)＝2eq\r(2).【答案】2eq\r(2)7．(2023·烟台高一检测)圆x2＋y2＋2x＋4y－3＝0上到直线x＋y＋1＝0的距离为eq\r(2)的点有________个．【解析】圆的方程可化为(x＋1)2＋(y＋2)2＝8，所以弦心距为d＝eq\f(|－1－2＋1|,\r(2))＝eq\r(2).又圆的半径为2eq\r(2)，所以到直线x＋y＋1＝0的距离为eq\r(2)的点有3个．【答案】3三、解答题8．过点A(1,1)，且倾斜角是135°的直线与圆(x－2)2＋(y－2)2＝8是什么位置关系？若相交，试求出弦长．【解】因为tan135°＝－tan45°＝－1，所以直线方程为y－1＝－(x－1)，即x＋y－2＝0.圆心到直线的距离d＝eq\f(|2＋2－2|,\r(2))＝eq\r(2)＜r＝2eq\r(2)，所以直线与圆相交．弦长为2eq\r(r2－d2)＝2eq\r(8－2)＝2eq\r(6).9．已知以点A(－1,2)为圆心的圆与直线l1：x＋2y＋7＝0相切，过点B(－2,0)的动直线l与圆A相交于M，N两点，Q是MN的中点．(1)求圆A的方程；(2)当|MN|＝2eq\r(19)时，求直线l的方程．【解】(1)设圆A的半径为r，∵圆A与直线l1：x＋2y＋7＝0相切，∴r＝eq\f(|－1＋4＋7|,\r(5))＝2eq\r(5)，∴圆A的方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝20.(2)当直线l与x轴垂直时，则直线l的方程x＝－2，此时有|MN|＝2eq\r(19)，即x＝－2符合题意．当直线l与x轴不垂直时，设直线l的斜率为k，则直线l的方程为y＝k(x＋2)，即kx－y＋2k＝0，∵Q是MN的中点，∴AQ⊥MN，∴|AQ|2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)|MN|))2＝r2，又∵|MN|＝2eq\r(19)，r＝2eq\r(5)，∴|AQ|＝eq\r(20－19)＝1，解方程|AQ|＝eq\f(|k－2|,\r(k2＋1))＝1，得k＝eq\f(3,4)，∴此时直线l的方程为y－0＝eq\f(3,4)(x＋2)，即3x－4y＋6＝0.综上所述，直线l的方程为x＝－2或3x－4y＋6＝0.[自我挑战]10．直线y＝x＋b与曲线x＝eq\r(1－y2)有且仅有一个公共点，则实数b的取值范围是()A．b＝eq\r(2) B．－1＜b≤1或b＝－eq\r(2)C．－1≤b≤1 D．以上都不正确【解析】如图，作半圆的切线l1和经过端点A，B的直线l3，l2，由图可知，当直线y＝x＋b为直线l1或位于l2和l3之间(包括l3，不包括l2)时，满足题意．∵l1与半圆相切，∴b＝－eq\r(2)；当直线y＝x＋b位于l2时，b＝－1；当直线y＝x＋b位于l3时，b＝1.∴b的取值范围是－1＜b≤1或b＝－eq\r(2).【答案】B11．(1)圆C与直线2x＋y－5＝0切于点(2,1)，且与直线2x＋y＋15＝0也相切，求圆C的方程；(2)已知圆C和y轴相切，圆心C在直线x－3y＝0上，且被直线y＝x截得的弦长为2eq\r(7)，求圆C的方程.【导学号：09960141】【解】(1)设圆C的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2.∵两切线2x＋y－5＝0与2x＋y＋15＝0平行，∴2r＝eq\f(|15－－5|,\r(22＋12))＝4eq\r(5)，∴r＝2eq\r(5)，∴eq\f(|2a＋b＋15|,\r(22＋1))＝r＝2eq\r(5)，即|2a＋b＋15|＝10， ①eq\f(|2a＋b－5|,\r(22＋1))＝r＝2eq\r(5)，即|2a＋b－5|＝10， ②又∵过圆心和切点的直线与过切点的切线垂直，∴eq\f(b－1,a－2)＝eq\f(1,2)， ③由①②③解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－2，,b＝－1.))∴所求圆C的方程为(x＋2)2＋(y＋1)2