第三章体的投影

画法几何及机械制图

第三章立体的投影立体（几何体）立体分平面立体和曲面立体.平面立体完全由平面构成的立体如棱柱、棱椎等.曲面立体由平面与曲面或曲面与曲面构成的立体如圆柱、圆锥、球体、圆环等。

常见的基本几何体平面立体曲面立体第一节平面立体的投影

一、棱柱的投影

侧棱垂直于底面的称为直棱柱；侧棱与底面斜交的称为侧棱柱。各侧棱相互平行且相等。1、棱柱的组成由两个底面和几个侧棱面组成。侧棱面与侧棱面的交线叫侧棱线，侧棱线相互平行。a'd'e'b'c'abdcee"c"d"a"b"ADCEBXZY正六棱柱的投影如图,为一正六棱柱，其顶面、底面均为水平面，它们的水平投影反映实形，正面及侧面投影重影为一直线。a'd'e'b'c'abdcee"c"d"a"b"ADCEBXZY正六棱柱的投影棱柱有六侧棱面，前后棱面为正平面，它们的正面投影反映实形，水平投影及侧面投影重影为一条直线。a'd'e'b'c'abdcee"c"d"a"b"ADCEBXZY正六棱柱的投影棱柱的其它四个侧棱面均为铅垂面，其水平投影均重影为直线。正面投影和侧面投影均为类似形。a'd'e'b'c'abdcee"c"d"a"b"ADCEBXZY正六棱柱的投影图a(b)d(c)ea’b’d’c’e’a”b”d”c”XZYHYW2、棱柱的三视图作投影图时，先画出正六棱柱的水平投影正六边形，再根据其它投影规律画出其它的两个投影。如图3-2所示。六棱柱的投影

3、棱柱表面取点和取线

平面立体由若干平面构成，在其表面上取点、取线的方法与在平面上取点、取线的方法相同，一般用辅助线法。对正棱柱的各个表面都处于特殊位置，因此在表面上取点可利用重影性原理作图。aaa棱柱表面上取点(b’)b

b’’C

C’

C’’二、棱锥的投影

1、棱锥的组成产生棱锥的平面多边形称为底面，其余各平面称为侧面，侧面交线称为侧棱。棱锥由一个底面和几个侧棱面组成。侧棱线交于有限远的一点——锥顶特点是所有侧棱相交于一点。2、棱锥的三视图投影SABCWVa's'b's"abcb"a"c"sXYZ正三棱锥的投影棱锥的投影

棱锥投影特性分析（以正三棱锥为例）作图时，先画出底面△ABC的各个投影，再作出锥顶S的各个投影，然后连接各棱线，即得正三棱锥的三面投影。如图所示。

s’sabca’c’b’a”(b”)c”s”正三棱锥的三面投影图XYHZYWOSABCWVa's'b's"abcb"a"c"sXYZ3、棱锥表面取点和取线

作图步骤如下：连接s’m’并延长，与a’c’交于2’，2’m2在投影ac上求出Ⅱ点的水平投影2。连接s2，即求出直线SⅡ的水平投影。根据在直线上的点的投影规律，求出M点的水平投影m。再根据知二求三的方法，求出m”。m”a’sbc正三棱锥的三面投影图s’ac’b’a”(b”)c”s”m’XYHZYW三棱锥表面上取点1第二节曲面立体的投影

曲面立体是由曲面或曲面和平面所围成。绘制它们的投影时，由于它们的表面没有明显的棱线，绘制曲面立体的投影，就是绘制组成曲面立体的所有曲面或曲面与平面的投影，也就是绘制曲面立体的轮廓线、转向轮廓线及轴线的投影。一、圆柱圆柱投影特性分析

在圆柱表面上取点已知圆柱表面上的点M及N正面投影a’、b’、m′和n′，求它们的其余两投影。2、圆柱表面上取点

a’

a”

a

b’(b”)

b圆柱表面取点和取线圆锥的投影

圆锥的概念圆锥面是由一条直母线SA，绕与它相交的轴线旋转形成的。它是由圆锥面和底面（圆形平面）组成。二、圆锥

圆锥表面由圆锥面和底圆组成。它是一母线绕与它相交的轴线回转而成。

1、圆锥投影图s’a’b’sabcdc”d”c’(d’)s”a’(b’)（1）先绘出圆锥的对称线、回转轴线。（2）在水平投影面上绘出圆锥底圆，正面投影和侧面投影积聚为直线。(3)作出锥顶的正面投影和侧面投影并画出正面转向轮廓线和侧面转向轮廓线。圆锥的投影XZYHVWacdbACBSa’b’c’d’s’s”c”d”a”(b”)2、圆锥表面取点和取线

如果是圆锥表面轮廓线上的点，可以直接作出点的其它两个投影。如果在圆锥面上一般位置的点K，就只能作辅助线，才能由一已知投影，求出另外两个投影。在圆锥表面上求点，有两种方法：一种是素线法，一种是辅助圆法。方法一：素线法过M点及锥顶S作一条素线SⅠ,先求出素线SⅠ的投影,再求出素线上的M点。XZY圆锥的三面投影图HVWacdbACBSa’b’c’d’s’s”c”d”a”(b”)mm’m”M已知圆锥表面的点M的正面投影m’,求出M点的其它投影。过m’s’作圆锥表面上的素线，延长交底圆为1’。1’11”mm”a’(b’)图3-14圆锥的投影及表面上的点ss”abcdc”d”s’a’b’c’(d’)m’求出素线的水平投影s1及侧面投影s”1”。求出M点的水平投影和侧面投影。XZY圆锥的三面投影图HVWacdba’b’c’d’s’s”c”d”a”(b”)ACBS方法二：辅助圆法过M点作一平行与底面的水平辅助圆，该圆的正面投影为过m’且平行于a’b’的直线2’3’，它们的水平投影为一直径等于2’3’的圆，m在圆周上，由此求出m及m”。mMm’m”m’圆锥的投影及表面上的点s’ss”a’ab’bc”d”mm”以s为中心，以sm为半径画圆，已知圆锥面上M点的水平投影m，求出其m’和m”。作出辅助圆的正面投影2’3’。232’3’求出m’及m”的投影。

球的三个投影均为圆，其直径与球直径相等，但三个投影面上的圆是不同的转向轮廓线。回车继续1、球的投影三、圆球圆球的投影

2、圆球表面取点和取线已知M点的水平投影，求出其它两个投影。121’m’m”过m作平行于V面的正平圆12。求正平圆的正面投影。在辅助正平圆上求出m’和m”。o’o”o球的投影及表面上的点mR球面上取点截平面截断面截交线截平面——用以截切物体的平面。

截交线——截平面与物体表面的交线。

截断面——因截平面的截切，在物体上形成的平面。第三节立体的截交线

截交线的性质：截交线是截平面与立体表面的共有线。截交线是一封闭的平面图形，

求截交线的方法：。1）交点法：求出立体表面上已知直线与截平面的交点，连接交点即为所求。2）表面取点法：利用立体表面在投影面上的投影右积聚性的特点求之。3）辅助线法：在立体表面上作辅助素线及辅助圆求之。4）辅助平面法：借助辅助平面与立体表面及截平面相交来求之。一、平面立体截交线例1、正垂面截切六棱柱，完成截切后的三面投影。1'12'（3'）234'（5'）451"2"3"4"5"6'（7'）676"7"完成后的投影图平面立体的截交线画法

平面立体的截交线画法例2、作四棱柱被截切后的投影。a'(b')baa"b"分析：四棱柱的上部被一个正垂面和一个侧平面所截切，因四棱柱的四个棱面均垂直于水平面，截平面与棱线的交点均在棱面的投影上。此题还应作出两截平面的交线AB的投影。••BA完成后的投影图a'(b')baa"b"••截交线的性质：

截交线是截平面和回转体表面的共有线，截交线上任意点都是它们的共有点。

截交线是封闭的平面曲线或平面图形。求截交线的方法和步骤：

分析截平面与投影面的相对位置，截平面与回转体的相对位置，初步判断截交线的形状及其投影。

求出截交线上的点，首先找特殊点再补充中间点。

补全轮廓线，光滑地连接各点，得截交线的投影。二、曲面立体的截交线1、平面与圆柱体相交

P截平面与圆柱轴线平行截交线为矩形PHPPv截平面与圆柱轴线倾斜截交线为椭圆PPv截平面与圆柱轴线垂直截交线为圆

例求斜切圆柱体的投影，已知正面和水平面的投影，完成侧面投影。1'•2'•1••2•1"2"•3'(4')•4••34"••3"a•a'(b')•b••a"b"•c'(d')••

c•d•

c"d"•

作图过程：求特殊点即找最高、最低、最左、最右、最前、最后点可确定出椭圆长短轴的端点。求一般点从正面投影上选取A、B、C、D四点分别求出水平面和侧面投影。

光滑地连接各点。例已知圆柱截断体的正面和侧面投影，求水平投影。分析：圆柱的轴线是侧垂线，截断体分别由侧平面、正垂面、水平面截切圆柱体而成的。侧平面与圆柱轴线垂直，截交线为圆弧，其正面投影为直线，侧面投影为圆弧。正垂面与圆柱轴线倾斜，截交线为部分椭圆，正面投影为直线，侧面投影与圆重合。水平面与圆柱轴线平行截交线为矩形，正面、侧面投影均直线。1'

·

•1•2"•2(3')•2'•33"•4'•(5')

•4•4"5"•5•6'(7')•7"6"6

•7•

8'

•

(9')•8"9"

••89•a'•(b

')•

a"

b"••

ab•1"

·cdc"d"c'(d')•()()完成后的投影图例3、求如图所示的开槽圆柱的左视图。分析：槽是由三个截平面形成的，左右对称的两个截平面是平行于圆柱轴线的侧平面，它们与圆柱面的截交线均为两条直素线，与上底面的截交线为正垂线。另一个截平面是垂直于圆柱轴线的水平面，它与圆柱面的截交线为两段圆弧。三个截平面间产生了两条交线，均为正垂线。1'（2'）

••1"2"••

1•

2•

3'（4'）•

3•4•

3"•

4"5'（6'）

•56

5"•

6"•完成后的投影图2、平面与圆锥体相交截平面与锥体的截切位置和轴线倾角不同，截交线的形状不同。截平面垂直于圆锥轴线，倾角为θ=90ο，截交线为圆形。Pvθ截平面与圆锥轴线倾斜，倾角θ>α截交线为椭圆。PvθαθαPvαPvPv截平面与圆锥轴线倾斜面，倾角θ=α

截交线为抛物线。截平面与圆锥轴线平行或倾角θ<α，截交线为双曲线。截平面过锥顶截交线为三角形。平面截圆锥交线情况例1、已知圆锥体的正面投影和部分水平面投影，求斜切圆锥体的水平投影和侧面投影。•

aa'•

•b'

•b•

a"

b"•c'(d')••c"•

cd••

kl••k"•k'l'••

d"•

l"••

•作图：1、求特殊点最高点B最低点A；圆锥体的前后素线与截交线的正面投影的交点c'd'重影为一点，其余两面投影根据投影关系求出；截交线的最前点K 和最后点L，正面投影重影于a'b'的中点。2、求一般点。3、光滑连接各点的同面投影。完成后的三视图例已知顶尖被截切后的正面和侧面投影，求作水平投影。分析：顶尖头是由相连的圆锥体和圆柱体被两个平面截切而成，轴线为侧垂线，截平面分别为侧平面和水平面。侧平面与圆柱轴线垂直，与圆柱的截交线为圆弧，正面投影为直线，侧面投影为圆弧的实形。水平面与圆柱的截交线为开口矩形，与圆角度的截交线为双曲线，其正面和侧面投影均为直线。a'••b'(c')•a

a"••b"

c"••b•Cd'e'•d"e"

e••d

f'••f"•f

g'h'••g"•h"•g

h•3、平面与球体相交

球被平面截切，截交线均为圆。由于截平面位置不同，截交线的投影可能是圆、直线或椭圆。Ph1）、截平面为平行面截平面为正平面，正面投影为截交线圆的实形。PvPv截平面为水平面，水平投影为截交线圆的实形。截平面为正垂面，截交线的水平投影及侧面为椭圆。3）、截平面为垂直面2）、截平面为水平面例1：已知圆球体被截切后的正面投影求作水平投影。a'b'•

ba

•e'(f')••ef•c'(d')••cd•g'(h')••gh•分析：截平面为正垂面，截交线的正面投影为直线，水平投影为椭圆。作图：1、求特殊点截交线的最低点A和最高点B是水平投影的最右点和最左点，也是截交线水平投影椭圆短轴的交点，水平投影a、b在其正面投影轮廓线的水平投影上。a'b'的中点c'd'是截交线水平投影椭圆长轴端点的正面投影，其水平投影cd投影在辅助纬圆上。e'f'是截交线与球的水平投影轮廓线的正面投影的交点，其水平投影ef在球的水平投影轮廓线上。2、求一般点选择适当位置作辅助水平面，与ab的交点g、h为截交线上两个点的正面投影，其水平投影g、h投影在辅助纬圆上。例2、已知带通槽半球的正面投影，完成水平和侧面投影。分析：半球的通槽由三个平面构成，一个水平面和两个侧平面截切圆球它们与球面的截交线都是分别平行于投影面的圆弧。关键是确定截交圆弧的半径；可根据截平面位置确定。1、通槽的水平投影作图：过槽底部作辅助水平面，水平投影为圆，并在圆周上截取与正面投影相对应的前后两段圆弧。2、通槽侧面投影的作图：两侧平面距球心等远，两圆弧的半径相等，两段圆弧的侧面投影重合。第四节立体的相贯线概念两立体相交叫相贯，其表面产生的交线叫相贯线。★相贯线性质：

表面性——相贯线位于两立体的表面上。

封闭性——相贯线一般是封闭的空间曲线。

共有性——相贯线是两立体表面的共有线。★作图实质：找两立体表面的若干共有点的投影。1、两圆柱相交相交两回转体的相互位置不同可分为正交、偏交、斜交。相贯线投影相贯线投影分析：两圆柱体轴线垂直相交，其轴线分别为铅垂线和侧垂线，因此小圆柱的水平投影和大圆柱的侧面投影都具有积聚性。相贯线的水平投影积矛在圆周上，侧面投影积聚于圆周的一部分。作图：求特殊点：a'、b'就是两圆柱表面共有点的正面投影，也是相贯线的最高点、最左点、最右点。从侧面投影轮廓线的交点求得相贯线最前点、最后点的侧面投影c"、d"，由从属关系求出其余两面投影。求一般点：作辅助正平面，与两圆柱的交线均为矩形，其侧面投影1、2和水平面投影1、2分别在圆周与平面投影的交点上。a'•

b'•a"