第6章刚体力学

第6章刚体力学（1）提要刚体的性质刚体的力和力矩刚体的定轴运动刚体定轴转动举例1.刚体的性质刚体是一种特殊的质点系。刚体中各质点的相对位置始终不变——形变忽略不计刚体运动的描述刚体的运动方式分为：平动、转动（绕定轴转动、绕定点转动）和滚动（平动＋转动）转动：刚体上所有质点都绕同一直线（转轴）作圆周运动。刚体的一般运动可以分解为：基点的平动+绕基点的转动。平动：1）自由刚体的自由度为6，非自由刚体的自由度小于6。2）对称刚体的质心在对称轴上，非对称刚体可先设法分割为若干对称刚体，再找其质心位置。3）刚体内力作功为零。4）刚体内力矩为零。刚体运动的性质：（自学并证明）由于刚体不形变的特点，使其具有下列力学特性：刚体运动的描述方法：通常以角量描述刚体的运动！（角位置θ、角速度ω

、角加速度β）为什么？1).角速度矢量2).角位置(是矢量还是标量？）请思考？但是······证明角速度的矢量性。第一步(合运动方向满足矢量合成法则)

：证明合运动绕OC轴，即OC为定轴。Vo=Vc=0(C为OA和OB构成的平行四边形的对角线上的顶点。)第二步：证明某点P绕OC轴运动的角速度为：一刚体同时参与两种转动，角速度分别为思路凡是矢量就应该服从平行四边形合成法则，而平行四边形法则服从交换率。请看下图：应该怎样思考如何解决这一矛盾？（请同学们展开讨论）结论：当角位移为无穷小量时，为矢量，否则为标量。（可与路程对照）3).角加速度请根据角位置θ、角速度ω

、角加速度β一般关系导出匀角加速转动的刚体的角运动方程。刚体角速度的绝对性：刚体转动的角速度与基点的选择无关。注意！证明刚体角速度的绝对性3.O2

相对O1

的运动的角速度随O1

的平动+绕O1的转动1.以O1为基点研究刚体运动的角速度：2.以O2

为基点研究刚体运动的角速度：4.结论：角量关系及角量和线量的关系、β本来是矢量，但是在定轴转动中轴的方位不变，故只有沿轴的正负两个方向，可以用标量代替。2.施于刚体的力系的简化（自学）作用在刚体上的力是滑移矢量作用在刚体上的力不能随便平移，但可以沿力的作用线滑动。几种特殊力系共点力系：可以等效为一个力。

所有力的作用线（或其延长线）交于一点的力系称为共点力系。显然，这样的力系可以等效为大小和方向等于诸力矢量和、作用点就是该交点的一个力，这就是合力。平行力系：当两平行力同向等大或反向但大小不等时，可等效为一个力。（求重心）当其等大反向时，称为力偶。(1)F1,F2同向，如图6.5所示。(2)F1,F2反向，但大小不等。(3)F1,F2反向，且F1=﹣F2。

没有合力，这一对平行力称为力偶。容易验证，该力偶对于垂直于该平面的任何轴线的力矩相同。（称该力矩为力偶矩）

仍可用上法求合力。合力F=F1+F2与F1,F2平行，大小为F1,F2大小之差，方向与F1,F2中的较大者相同，但作用线发生了改变。讨论：

求多个平行力的力系的合力，先求F1,F2的合力，再求该合力与F3的合力，等等。由上述可知，其结果或为一个合力，或为一个力偶矩。可用此法求若干n个质点的重心，即n个重力的合力。选取平动参考系统研究刚体时，刚体中各质点所受的惯性力系为平行力系，各力的大小正比于质量。这好象出现了某种“附加重力场”，该力场的合力自然作用于“重心”，即作用于质心。因而惯性力系对于通过质心的任一轴线的力矩当然为零。异面力系：所有力的作用线不在同一平面内。可等效为作用于某一点的一个力和一对力偶，其力偶矩等于各力对该点的力矩的矢量和。F1F2F3F3’F刚体力系简化原则：作用在刚体上的任何力系，最终可以等效为一个作用于刚体上某一点的力和一个力偶矩方向与之平行的力偶。共面力系：所有力的作用线位于同一平面。可分解为共点力系或平行力系处理。zOirifiFitFi3.刚体定轴转动切向分量式为：Fit+fit=miait=miriβ切向分力与圆的半径及转轴三者互相垂直两边乘以ri,有：Fitri

+fitri

=miri2β外力矩内力矩mifit转动定律对mi用牛顿第二定律：对所有质元的同样的式子求和：∑Fitri

+∑fitri

=∑miri2β一对内力的力矩之和为零，所以有:∑Fitri

=（∑miri2）β令I＝∑miri2

，I为刚体对于转轴的转动惯量用M表示∑Fitri

（合外力矩）则有M＝I

βfijmjmifjirorjriOiZ刚体所受的对于某一固定转动轴的合外力矩等于刚体对此转轴的转动惯量与刚体在此合外力矩作用下所获得的角加速度的乘积。几点说明：M＝Iβ与

地位相当2）1）刚体是特殊的质点组，所有质点组的规律均适用于刚体。但由于刚体不形变的特点，在研究刚体转动问题时可借用角量简化对运动的描述。3）

m反映质点的平动惯性，I反映刚体的转动惯性。与转动惯量有关的因素为刚体的质量分布和轴的位置。4）

借助转动惯量可讨论刚体定轴转动问题，计算转动惯量前，必须先明确定轴的位置。若质量连续分布dm为质量元，简称质元。其计算方法如下：质量为线分布质量为面分布质量为体分布其中、、分别为质量的线密度、面密度和体密度。线分布面分布体分布转动惯量的计算例1、求质量为m、半径为R的均匀圆环的转动惯量。轴与圆环平面垂直并通过圆心。RdmO例2、求质量为m、半径为R、厚为l

的均匀圆盘的转动惯量。轴与盘平面垂直并通过盘心。lORrdr例3、求长为L、质量为m的均匀细棒对图中不同轴的转动惯量。ABLXABL/2L/2CX前例中I

C表示相对通过质心的轴的转动惯量，I

A表示相对通过棒端的轴的转动惯量。两轴平行，相距L/2。可见：推广上述结论：若有任一轴与过质心的轴平行，相距为d，刚体对其转动惯量为I，则有：I＝I

C＋md2。这个结论称为平行轴定理。1）平行轴定理平行轴定理证明

ABCdxmi=dmriiri对CA轴平行C轴（质心轴）对A由图

故：

——平行轴定理

定理表述：质量平面分布的刚体，绕垂直于平面轴的转动惯量等于平面内两正交轴的转动惯量之和。2）垂直轴定理3）主轴惯量定理为刚体相对于三根相互垂直的对称轴的转动惯量为任意轴与三根主轴的夹角的余弦定理表述：刚体相对于任意轴的转动惯量与其主转动惯量和方向余弦有如下关系：几种常见刚体定轴转动的I右图所示刚体对经过棒端且与棒垂直的轴的转动惯量如何计算？(棒长为L、圆半径为R）例4、一个质量为Ｍ、半径为Ｒ的定滑轮（当作均匀圆盘）上面绕有细绳，绳的一端固定在滑轮边上，另一端挂一质量为ｍ的物体而下垂。忽略轴处摩擦，求物体ｍ由静止下落高度ｈ时的速度和此时滑轮的角速度。mg类比法——质点直线运动与刚体定轴转动平动惯性转动惯性质点直线运动角位移位移速度角速度角加速度加速度动量角动量刚体定轴转动运动学量的类比动力学量的类比质点直线运动刚体定轴转动类比法——质点平动与刚体定轴转动力学规律的类比质点直线运动刚体定轴转动类比法——质点平动与刚体定轴转动刚体的重力势能hhihcxOmCm一个质元：整个刚体：一个不太大的刚体（重心相对位置不变）的重力势能相当于它的全部质量都集中在质心时所具有的势能。转动中的功和能力矩的功力矩对转动物体作的功等于相应力矩和角位移的乘积。称为力矩的功。xOrvFPdrd功的另一种表示方法刚体定轴转动的动能定理刚体定轴转动的动能变化的原因可以用力矩做功的效果来解释。刚体上所有质元的动能之和为：将定轴转动的转动定律两边乘以d再同时对积分有:合外力矩对一个绕固定轴转动的刚体所做的功等于刚体的转动动能的增量。上式即为：这个结论称为定轴转动的动能定理。转动动能之差刚体的角动量、角动量定理1）刚体的角动量刚体上的一个质元,绕固定轴做圆周运动角动量为：质点对点的角动量为：所以刚体绕此轴的角动量为：刚体对固定转动轴的角动量L,等于它对该轴的转动惯量I和角速度的乘积。2）刚体的角动量定理质点的角动量定理为：A：微分形式：对质点组讨论:ZmjmifjirorjriOifij刚体是特殊的质点组,在定轴转动中只考虑力矩和角动量平行于转轴的分量，设转轴为z轴,取角动量定理沿z轴的分量式有:在定轴转动中，可用标量表示：刚体定轴转动的转动定律实质是角动量定理的沿固定轴方向的分量式的一种特殊形式。B:积分形式左边为对某个固定轴的外力矩的作用在某段时间内的积累效果，称为冲量矩；右边为刚体对同一转动轴的角动量的增量。刚体定轴转动中的守恒定律动量守恒对于含有刚体的系统,如果在运动过程中所受合外力为零,则此系统的动量为恒矢量。动量守恒的刚体，质心速度不变。刚体定轴转动中的守恒定律机械能守恒对于含有刚体的系统,如果在运动过程中只有保守内力作功,则此系统的机械能守恒。做定轴转动的刚体机械能包括绕定轴的转动动能和势能。而刚体的总动能等于质心的平动动能与绕质心的转动动能之和。例5、一个质量为Ｍ、半径为Ｒ的定滑轮（当作均匀圆盘）上面绕有细绳，绳的一端固定在滑轮边上，另一端挂一质量为ｍ的物体而下垂。忽略轴处摩擦，求