工程电磁场基础

工程电磁场基础第一页，共七十五页，2022年，8月28日1主要内容第1章矢量分析与场论基础第2章静电场的基本原理第3章恒定电场的基本原理第4章恒定磁场的基本原理第5章时变电磁场的基本原理第6章镜像法与模拟电荷法第7章有限元法与边界元法第8章电磁场的能量和力第9章平面电磁波第10章电路参数的计算原理第11章电气工程中的电磁场问题第二页，共七十五页，2022年，8月28日参考书目1《工程电磁场》王泽忠,全玉生,卢斌先编著，清华大学出版社2《工程电磁场基础》孙敏主编，科学出版社超星数字图书馆，网址：8/(80万册图书试用)第三页，共七十五页，2022年，8月28日第一章矢量分析与场论基础矢量运算的有关公式场的基本概念标量场的等值面方程和矢量场的矢量线方程源点和场点的基本概念及其相互关系梯度的定义散度的定义旋度的定义哈米尔顿算子的定义和运算规则重点掌握梯度、散度和旋度的定义、计算公式和运算规则，以及散度定理、斯托克斯定理、格林定理和亥姆霍兹定理。第四页，共七十五页，2022年，8月28日第五页，共七十五页，2022年，8月28日1.1矢量分析公式1.矢量代数公式（１）标量、矢量和单位矢量只有大小，没有空间方向的量称为标量。不仅具有大小，而且具有空间方向的量称为矢量。矢量的大小用绝对值表示，叫做矢量的模。模为１的矢量叫做单位矢量，用ｅ表示。如ex，ey，ez，分别表示与直角坐标系中ｘ，ｙ，ｚ三个坐标轴同方向的单位矢量。（２）矢量的加减法设则第六页，共七十五页，2022年，8月28日（３）矢量的数乘式中，λ为实数。

（４）矢量的点积式中，θ是矢量Ａ，Ｂ之间的夹角，Ｂcosθ是矢量Ｂ在矢量Ａ方向上的投影Ａcosθ是矢量Ａ在矢量Ｂ方向上的投影。式中，λ，μ为实数第七页，共七十五页，2022年，8月28日（５）矢量的叉积式中，en是与矢量Ａ和Ｂ都垂直的单位矢量，Ａ，Ｂ和en构成右手螺旋关系；θ是矢量Ａ，Ｂ之间的夹角。第八页，共七十五页，2022年，8月28日（６）矢量的混合积２．矢量函数的微分公式第九页，共七十五页，2022年，8月28日３．矢量函数的积分公式式中，Ｂx(t)，By(t)，Bz(t)分别是Ax(t),Ay(t),Az(t)的原函数；Ｃｘ，Ｃｙ，Ｃｚ是任意常数第十页，共七十五页，2022年，8月28日第十一页，共七十五页，2022年，8月28日1.2场的基本概念和可视化1场的概念在自然界中，许多问题是定义在确定空间区域上的，在该区域上每一点都有确定的量与之对应，我们称在该区域上定义了一个场。如电荷在其周围空间激发的电场，电流在周围空间激发的磁场等。如果这个量是标量我们称该场为标量场；如果这个量是矢量，则称该场为矢量场。如果场与时间无关，称为静态场，反之为时变场。从数学上看，场是定义在空间区域上的函数。如果空间中的每一点都对应着某个物理量的一个确定的值，我们就说在这空间里确定了该物理量的场。第十二页，共七十五页，2022年，8月28日标量场：在指定的时刻，空间每一点可以用一个标量唯一地描述，则该标量函数定出标量场。例如物理系统中的温度、压力、密度等可以用标量场来表示。矢量场：在指定的时刻，空间每一点可以用一个矢量唯一地描述，则该矢量函数定出矢量场。例如流体空间中的流速分布等可以用矢量场来表示。第十三页，共七十五页，2022年，8月28日

场中的每一点都对应着一个物理量----场量的值。场量为标量的场称为标量场，如温度场、能量场、电位场等。场量为矢量的场称为矢量场，如速度场、力场、电场和磁场等。

定义了场量的空间点称为场点。在直角坐标系中，场点Ｍ可以由它的三个坐标ｘ，ｙ，ｚ确定。因此，一个标量场和一个矢量场可分别用坐标的标量函数和矢量函数表示，即其中，矢量函数Ａ（Ｍ）的坐标表示式可写成上式。式中，函数Ａｘ，Ａｙ，Ａｚ分别为矢量函数Ａ在直角坐标系中三个坐标轴上的投影，为三个标量函数；ｅｘ，ｅｙ，ｅｚ分别为ｘ，ｙ，ｚ轴正方向的单位矢量。第十四页，共七十五页，2022年，8月28日

α，β，γ分别为矢量Ａ与三个坐标轴正方向之间的夹角，称为方向角。ｃｏｓα，ｃｏｓβ，ｃｏｓγ称为方向余弦。根据矢量与其分量之间的关系，矢量函数Ａ（Ｍ）可写成如果场中的物理量不仅与点的空间位置有关，而且随时间变化，则称这种场为时变场；反之，若场中的物理量仅与空间位置有关而不随时间变化，则称这种场为恒定场。第十五页，共七十五页，2022年，8月28日２．源点与场点场是由场源产生的。场源所在的空间位置称为源点。空间位置上除了定义场量外，也可以定义场源。这样，可以把空间的点表示为场点和源点。源点Ｐ′用坐标（ｘ′，ｙ′，ｚ′）表示，也可以用位置矢量ｒ′表示；场点Ｐ用坐标（ｘ，ｙ，ｚ）表示，也可以用位置矢量ｒ表示。由源点到场点的距离矢量用Ｒ表示。根据矢量代数关系可知，Ｒ＝ｒ－ｒ′。矢量Ｒ的模Ｒ＝｜ｒ－ｒ′｜，矢量Ｒ对应的单位矢量在研究场的性质的过程中，Ｒ是一个非常重要的矢量，因为它联系着源点与场点，决定着场量与场源之间的空间关系。第十六页，共七十五页，2022年，8月28日３．标量场的等值面设标量场u(M)是空间的连续函数，那么通过所讨论空间的任何一点M0，可以作出这样的一个曲面Ｓ，在它上面每一点处，函数u(M)的值都等于u(M0)，即在曲面Ｓ上，函数u(M)保持着同一数值u(M0)，这样的曲面Ｓ叫做标量场ｕ的等值面。等值面的方程为式中，Ｃ为常数。给定Ｃ的一系列不同的数值，可以得到一系列不同的等值面，称为等值面族。第十七页，共七十五页，2022年，8月28日等值面族可以充满整个标量场所在的空间。等值面互不相交，因为如果相交，则函数ｕ（ｘ，ｙ，ｚ）在相交处就不具有惟一的值。场中的每一点只与一个等值面对应，即经过场中的一个点只能作出一个等值面。用等值面族表示标量场时，一般将每两个相邻等值面场量值之差设为定值。这样可以根据等值面的稀密程度观察场量的空间分布。点电荷电势方程：第十八页，共七十五页，2022年，8月28日例求标量场φ=(x+y)2-z通过点M(1,0,1)的等值面方程。解点M的坐标是x0=1,y0=0,z0=1，则该点的数量场值为φ=(x0+y0)2-z0=0。其等值面方程为第十九页，共七十五页，2022年，8月28日标量场的等值面与一给定平面相交，就得到标量场在该平面上的等值线。如ｕ（ｘ，ｙ，ｚ）在XOY平面上的等值线的方程为，ｕ（ｘ，ｙ）＝Ｃ，Ｃ为常数。第二十页，共七十五页，2022年，8月28日形象描绘场分布的工具标量场--等值线(面)，其方程为。在某一高度上沿什么方向高度变化最快？第二十一页，共七十五页，2022年，8月28日４．矢量场的矢量线对于矢量场，可以用矢量线来形象地表示其分布情况。所谓矢量线，就是这样的曲线，在它上面每一点处曲线的切线方向和该点的场矢量方向相同。矢量线反映了场矢量在线上每一点的方向。一般来说，矢量场中每一点有一条矢量线通过。所以，矢量线应是一族曲线，它可以充满整个矢量场所在的空间。第二十二页，共七十五页，2022年，8月28日意义直观了解矢量场在空间的分布状况定义曲线：在曲线上的每一点处，场的矢量都位于该点处的切线上。例：静电场的电力线、磁场的磁力线、流速场中的流线等性质矢量线与矢径的关系式：A×dr=

0第二十三页，共七十五页，2022年，8月28日已知场矢量Ａ＝Ａ（ｘ，ｙ，ｚ），可用下述方法求得矢量线方程。设Ｍ（ｘ，ｙ，ｚ）为矢量线l上的任一点，其矢径（始点位于坐标原点，终点位于Ｍ点的距离矢量）为ｒ＝ｘｅｘ＋ｙｅｙ＋ｚｅｚ，则矢量微分为在点Ｍ处与矢量线相切的矢量。按矢量线的定义，矢量微分必定在Ｍ点处与场矢量方向相同，而场矢量为这便是矢量线所满足的微分方程，其解为矢量线族。再利用过Ｍ点这个条件，即可求出过Ｍ点的矢量线。第二十四页，共七十五页，2022年，8月28日因矢量线的切线方向与场矢量的方向相同，所以矢量线方程又可以用矢量式表示为ｄｌ×Ａ＝０第二十五页，共七十五页，2022年，8月28日例求矢量场的矢量线方程。解矢量线应满足的微分方程为从而有解得矢量方程c1和c2是积分常数。第二十六页，共七十五页，2022年，8月28日1.3标量场的方向导数和梯度方向导数的定义为了确定在某空间上的标量场ｕ（Ｍ）需要研究它在该空间的变化情况。要了解ｕ（Ｍ）沿着ｘ轴（或ｙ，ｚ轴）方向的变化，只需要求出ｕ（ｘ，ｙ，ｚ）关于ｘ（或ｙ，ｚ）的偏导数。在许多场合，除了沿坐标轴方向的变化外，还需要知道ｕ（Ｍ）沿着其他任意方向的变化情况。这就需要计算ｕ（Ｍ）沿着任意方向的导数。从标量场中任一点M0出发，引一条射线ｌ，在ｌ上任取一点Ｍ，用Δｌ表示从M0到Ｍ的距离，则Δｕ＝ｕ（Ｍ）－ｕ（M0）。当沿着ｌ，Ｍ→M0时，比式Δｕ/Δｌ＝(ｕ(M)-ｕ(M0))/Δｌ的极限存在，则称此极限值为函数ｕ(M)在点M0处沿ｌ方向的方向导数，记作第二十七页，共七十五页，2022年，8月28日

方向导数是标量场函数在一点M0处沿某一方向ｌ对距离的变化率，它反映了函数u(M)沿ｌ方向增减的情况。表示函数ｕ（Ｍ）在点Ｍ０沿ｌ方向是增加的，越大，表示增加得越快；表示函数ｕ（Ｍ）在点Ｍ０沿ｌ方向是减小的，越大，表示减小得越快。２．方向导数的计算

在直角坐标系中，设标量函数ｕ(x,y,z)在点M0(x0,y0,z0)处可微，则函数ｕ在点M0处沿ｌ方向的方向导数存在。全微分则第二十八页，共七十五页，2022年，8月28日将ｌ方向的３个方向余弦表示式代入，得方向余弦第二十九页，共七十五页，2022年，8月28日方向导数３．梯度

标量函数ｕ在Ｍ０点沿着不同方向的变化率是不同的，那么，是否存在某个方向，使函数ｕ沿着该方向的变化率最大呢？最大的变化率又是多少呢？这是电磁场理论中经常遇到的问题。标量函数的方向导数为ｌ方向的单位矢量可表示为即ｌ方向的方向余弦是ｌ方向的单位矢量el在相应的坐标轴上的投影。第三十页，共七十五页，2022年，8月28日令令θ表示矢量Ｇ与单位矢量el之间的夹角，根据矢量点积的计算式可得

随着ｌ方向的改变，θ发生变化，方向导数值也随之变化。当ｌ方向与Ｇ方向一致时，方向导数值达到最大，最大的方向导数为Ｇ（Ｇ是矢量Ｇ的模）。

如果在标量场中任一点Ｍ处，存在矢量Ｇ，其方向为场函数ｕ（ｘ，ｙ，ｚ）在Ｍ点处变化率最大（方向导数最大）的方向，其模｜Ｇ｜是这个最大变化率的数值，则称矢量Ｇ为标量场ｕ（ｘ，ｙ，ｚ）在点Ｍ处的梯度，记为第三十一页，共七十五页，2022年，8月28日

梯度运算是分析标量场的工具。梯度是描述标量场中任一点函数值在该点附近增减性质的量，但标量场的梯度本身却是一个矢量，沿着梯度的方向，函数ｕ（ｘ，ｙ，ｚ）增加得最快。方向导数等于梯度在该方向上的投影，表示为

场函数在点Ｍ处梯度的方向垂直于过该点的等值面ｕ＝Ｃ，且指向ｕ增大的方向。标量场的每一点都有一个梯度，它是矢量，这便构成了标量场的梯度场。标量场的梯度场是矢量场。第三十二页，共七十五页，2022年，8月28日标量函数φ的等值面的法线方向单位矢量可用梯度表示为即梯度的方向与过该点的等值面相垂直,并由梯度定义知,它指向φ增大的方向。

一座山的等高线图第三十三页，共七十五页，2022年，8月28日标量场的梯度是一个矢量,是空间坐标点的函数;梯度的方向为该点最大方向导数的方向,即与等值线（面）相垂直的方向，它指向函数的增加方向。梯度的大小为该点标量函数的最大变化率，即该点最大方向导数;梯度的物理意义第三十四页，共七十五页，2022年，8月28日设Ｃ为常数，ｕ和ｖ分别是两个标量函数，有第三十五页，共七十五页，2022年，8月28日第三十六页，共七十五页，2022年，8月28日1.4矢量场的通量和散度

1.矢量场的通量

在场域中选取一曲面Ｓ，为区分曲面的两侧，取定其中的任一侧作为曲面的正侧。如果曲面是闭合的，习惯上取外侧为正侧。表示曲面正侧的方法是取曲面的法线方向。在曲面Ｓ上任取一点Ｍ与包含这点在内的一曲面元ｄＳ，过Ｍ点作曲面的法向单位矢量en。矢量Ａ（Ｍ）穿过曲面元的通量定义为矢量场函数Ａ（Ｍ）穿过场中某一有向曲面Ｓ的通量定义为第三十七页，共七十五页，2022年，8月28日通量是一个标量。当场矢量与曲面法线方向之间夹角为锐角时，ｄΦ＞０；当场矢量与曲面法线方向之间夹角为钝角时，ｄΦ＜０；当场矢量与曲面法线方向垂直时，ｄΦ＝０若Ｓ是闭合曲面，且指定外侧方向为法线方向，则有若Φ＞０，则表示流出闭合面的通量大于流入的通量，说明有矢量线从闭合面内散发出来。若Φ＜０，则表示流入闭合面的通量大于流出的通量，说明有矢量线被吸收到闭合

面内。若Φ＝０，则表示流出闭合面的通量与流入的通量相等，说明矢量线处于某种平衡

状态。第三十八页，共七十五页，2022年，8月28日矢量E沿闭合曲面S的面积分>0(有正源)<0(有负源)=0(无源)矢量场的通量可以根据净通量的大小判断闭合面中源的性质:通量的物理意义第三十九页，共七十五页，2022年，8月28日例1-4-1在点电荷ｑ产生的电场中，场矢量其中，ｒ是点电荷ｑ到场点Ｍ的距离；er是从点电荷ｑ指向场点Ｍ的单位矢量。设Ｓ是以点电荷为中心、Ｒ为半径的球面，求从球内穿出Ｓ的电通量Φ。解在球面Ｓ上恒有ｒ＝Ｒ，且er与球面的法向单位矢量en的方向一致，所以在球面Ｓ内产生电通量Φ的源就是电荷ｑ。当ｑ为正电荷时，Φ＞０，为正源，说明有场矢量线从ｑ向外发出。当ｑ为负电荷时，Φ＜０，为负源，说明有场矢量线终止于ｑ。第四十页，共七十五页，2022年，8月28日２．散度的定义

利用通量概念只能分析闭合面内场矢量源的整体情况。要分析场中任一点附近的情况，必须将闭合面缩小到一点上。为此，引入矢量场的散度概念。设有矢量场函数Ａ（Ｍ），在场中作包围点Ｍ的闭曲面Ｓ，并令Ｓ所包围的空间区域为Ω，体积为ΔＶ。当Ω收缩到Ｍ，即ΔＶ→０时，若极限存在，则称此极限值为矢量场Ａ（Ｍ）在点Ｍ处的散度。记作ｄｉｖＡ，且矢量的散度是描述矢量场中任一点发散性质的量。矢量的散度是标量。散度就是通量的体密度，即单位体积发出的通量。矢量Ａ的散度形成一标量场，叫做矢量场Ａ的散度场。

应用散度概念可以分析矢量场中任一点的情况。在Ｍ点，若ｄｉｖＡ＞０，则表明Ｍ点有正源；若ｄｉｖＡ＜０，则表明Ｍ点有负源。ｄｉｖＡ为正值时，其数值越大，正源的发散量越大；ｄｉｖＡ为负值时，其绝对值越大，表明这个负源吸收量越大。若ｄｉｖＡ＝０，则表明该点无源。如果在场中处处有ｄｉｖＡ＝０，则称此场为无源场，或称为无散场。第四十一页，共七十五页，2022年，8月28日３．散度的计算

在直角坐标系中，若矢量场Ａ＝Ax(x,y,z)ex＋Ay(x,y,z)ey＋Az(x,y,z)ez的分量Ａｘ，Ａｙ，Ａｚ有一阶连续偏导数，则可求Ａ在任一点Ｍ处的散度。根据散度的定义可知，ｄｉｖＡ与所取ΔＶ的形状无关，只要在取极限时，所有的尺寸都趋于零即可。前后面左右面上下面第四十二页，共七十五页，2022年，8月28日净通量散度定义第四十三页，共七十五页，2022年，8月28日

例1-4-2求点电荷ｑ产生的静电场中，场矢量在ｒ≠０的任意一点Ｍ处的散度ｄｉｖＤ。第四十四页，共七十五页，2022年，8月28日４．散度的运算公式

设Ｃ为常数，ｕ为标量函数，Ａ，Ｂ为矢量函数，有第四十五页，共七十五页，2022年，8月28日５．散度定理

设矢量场Ａ＝Ax(x,y,z)ex＋Ay(x,y,z)ey＋Az(x,y,z)ez的各分量Ax，Ay，Az在闭曲面Ｓ所围区域内有一阶连续偏导数，则有上式称为散度定理，又称为高斯-奥斯特洛格拉特斯基公式。它的意义在于给出了闭合曲面积分与体积分之间的等价互换关系。第四十六页，共七十五页，2022年，8月28日例球面S上任意点的位置矢量为试利用散度定理计算解第四十七页，共七十五页，2022年，8月28日1.5矢量场的环量和旋度

1.矢量场的环量

在矢量场中选取一闭合曲线ｌ。为了表示曲线的走向，选定曲线的一个切线方向为曲线的正方向。在曲线ｌ上任取一点Ｍ，过Ｍ点作曲线的切线，其单位矢量为et。取一弧元ｄｌ，矢量函数Ａ（Ｍ）沿场中有向闭合曲线ｌ的线积分称为矢量场Ａ按所取方向沿曲线ｌ的环量。

环量是描述矢量场特征的量，是一个标量。由定义式可知，它的数值不仅与场矢量Ａ有关，而且与回路ｌ的形状和取向有关。这说明Γ表示的是场矢量沿ｌ的总体旋转特性。为了研究场矢量Ａ在某一点附近的性质，就需要让ｌ收缩到一点，为此，引入环量面密度的概念。第四十八页，共七十五页，2022年，8月28日２．环量面密度

设Ｍ为矢量场中的一点，在Ｍ点取一单位矢量en，并在Ｍ点周围取小闭合回路Δｌ，令Δｌ的环绕方向与en构成右手螺旋关系；作以Δｌ为边界，en为法线方向，且过点Ｍ的小曲面ΔＳ。当ΔＳ以任意方式收缩到Ｍ点时，若极限存在，则称该极限值为矢量场Ａ在Ｍ点绕方向en的环量面密度。上式是环量的平均面密度，取极限得到在Ｍ点的环量面密度。若极限存在，则环量面密度与en有关，与Δｌ的形状无关。环量面密度的大小反映了Ａ在Ｍ点绕en方向旋转的强弱情况。它与取定的方向en有关。在空间的一点，方向en可以任意选取。随着en方向的改变，环量面密度将连续变化。在环量面密度最大的方向上，场矢量的旋转性最强。为了表述这种特性，引入旋度的概念。第四十九页，共七十五页，2022年，8月28日３．旋度的定义

环量面密度是一个与方向有关的量，正如在标量场中，方向导数与方向有关一样。若在矢量场Ａ中的一点Ｍ处存在矢量Ｒ，它的方向是Ａ在该点环量面密度最大的方向，它的模就是这个最大的环量面密度，则称矢量Ｒ为矢量场Ａ在点Ｍ的旋度，记为ｒｏｔＡ，且

因此，旋度矢量在数值和方向上表示出了最大的环量面密度。Ａ在en方向的环量面密度就是ｒｏｔＡ在en上的投影。en方向的环量面密度表示为第五十页，共七十五页，2022年，8月28日４．旋度的计算

环量面密度定义式中的极限与所取小曲面边缘的形状无关。取平行于ｙＯｚ坐标平面的小矩形面，小矩形面的法向矢量与ｅｘ平行，小矩形面的面积为

以Ｍ点为中心，在其周围将Ａ展开成泰勒级数并忽略高阶项，则Ａ沿Δlx的线积分为（Δlx沿逆时针方向）第五十一页，共七十五页，2022年，8月28日得

取平行于ｚＯｘ坐标平面的小矩形面，小矩形面的法向矢量与ey平行，小矩形面的面积为第五十二页，共七十五页，2022年，8月28日得

取平行于XＯY坐标平面的小矩形面，小矩形面的法向矢量与ez平行，小矩形面的面积为第五十三页，共七十五页，2022年，8月28日第五十四页，共七十五页，2022年，8月28日旋度的物理意义矢量的旋度仍为矢量，是空间坐标点的函数。点P的旋度的大小是该点环量密度的最大值。在矢量场中，若A=J0,称之为旋度场(或涡旋场)，J

称为旋度源(或涡旋源)；点P的旋度的方向是该点最大环量密度的方向。若矢量场处处A=0，称之为无旋场(或保守场)。第五十五页，共七十五页，2022年，8月28日5．旋度的运算公式

设Ｃ为常数，ｕ为标量函数，Ａ，Ｂ为矢量函数，有第五十六页，共七十五页，2022年，8月28日6斯托克斯定理设矢量场Ａ＝Ax(x,y,z)ex＋Ay(x,y,z)ey＋Az(x,y,z)ez的各分量Ax，Ay，Az在空间区域中有一阶连续偏导数，l为S曲面的边界，l与S成右手螺旋关系，则有

旋度在曲面法线方向的投影就是沿法线方向的环量面密度。将此面密度进行面积分就得到这个曲面上的环量，也就是矢量沿曲面边界的线积分。斯托克斯定理的意义在于给出了闭合曲线积分与面积分的等价互换关系。第五十七页，共七十五页，2022年，8月28日

设想把曲面Ｓ分成许多个面积元。对每一个面积元，沿包围它的闭合回路求矢量Ａ的环量，并取面积元边缘闭合线积分的方向与外边界大回路ｌ的方向一致。将所有面积元的这些线积分相加，可以看出，因为在各个小回路公共边界上的积分路径方向彼此相反，使得这部分积分互相抵消，只有外边界的那部分积分存在。所以，积分的结果是所有沿小回路积分的总和等于沿大回路ｌ的积分，第五十八页，共七十五页，2022年，8月28日例自由空间中的点电荷q所产生的电场强度为求任意点处(r≠0)电场强度的旋度▽×E。第五十九页，共七十五页，2022年，8月28日可见,向分量为零;同样,向和向分量也都为