工业机器人静力计算及动力学分析

工业机器人静力计算及动力学分析第一页，共十九页，2022年，8月28日§3.1

工业机器人速度雅可比与速度分析第3章工业机器人静力计算及动力学分析一、工业机器人速度雅可比矩阵

数学上,雅可比矩阵(JacobianMatrix)是一个多元函数的偏导矩阵。假设有六个函数,每个函数有六个变量,即(3.1)

第二页，共十九页，2022年，8月28日可写成

Y=F(X)

可简写成

第3章工业机器人静力计算及动力学分析将其微分,得

(3.2)

(3.3)

式中,(6×6)矩阵

称为雅可比矩阵。

第三页，共十九页，2022年，8月28日即

以二自由度平面关节机器人为例,如图3-1所示,机器人的手部坐标(x,y)相对于关节变量(θ1,θ2)有图3-1二自由度平面关节机器人

第3章工业机器人静力计算及动力学分析(3.5)

(3.4)

第四页，共十九页，2022年，8月28日

第3章工业机器人静力计算及动力学分析求微分有

(3.6)

写成矩阵为

(3.7)

第五页，共十九页，2022年，8月28日

第3章工业机器人静力计算及动力学分析令

(3.8)

则式(3.8)可简写为

dX=Jdθ

(3.9)

式中,

第六页，共十九页，2022年，8月28日

第3章工业机器人静力计算及动力学分析由此可求得

(3.10)

对于n自由度机器人,由X=X(q)可知,

其中J(q)是(6×n)的偏导数矩阵,称为n自由度机器人速度雅可比矩阵。

dX=J(q)dq

(3.11)

矩阵的第i行第j列元素为第七页，共十九页，2022年，8月28日二、工业机器人速度分析

第3章工业机器人静力计算及动力学分析把式(3.11)两边各除以dt,得

(3.12)其中:V——机器人末端在操作空间中的广义速度,V=X;J(q)——速度雅可比矩阵;q—机器人关节在关节空间中的关节速度。

或

V=J(q)q

(3.13)

第八页，共十九页，2022年，8月28日

若把J(q)矩阵的第1列与第2列矢量记为J1、J2,则3-13式有V=J1θ1+J2θ2,说明机器人速度雅可比的每一列表示其它关节不动而某一关节运动时产生的端点速度。

二自由度手部速度为(3.14)

若已知关节上θ1与θ2是时间的函数,θ1=f1(t),θ2=f2(t),则可求出该机器人手部在某一时刻的速度V=f(t),即手部瞬时速度。反之,给定机器人手部速度,可由V=J(q)q解出相应的关节速度，q=J-1V，式中J-1为机器人逆速度雅可比矩阵。.

第3章工业机器人静力计算及动力学分析第九页，共十九页，2022年，8月28日

逆速度雅可比J-1出现奇异解的情况如下:

①工作域边界上的奇异:

机器人手臂全部伸开或全部折回时,叫奇异形位。该位置产生的解称为工作域边界上的奇异。②工作域内部奇异:机器人两个或多个关节轴线重合引起的奇异。当出现奇异形位时,会产生退化现象,即在某空间某个方向(或子域)上,不管机器人关节速度怎样选择,手部也不可能动。

第3章工业机器人静力计算及动力学分析第十页，共十九页，2022年，8月28日由式q=J-1V可得，，且，即vx=1m/s，vy=0，因此，可得：

第3章工业机器人静力计算及动力学分析解：由公式3.10知，二自由度机械手速度雅可比为因此，逆雅可比为例3-1如图3-2所示，二自由度机械手，手部沿固定坐标系X0轴正向以1.0m/s速度移动，杆长为l1=l2=0.5m。设在某瞬间时θ1=30°，θ2=-60°，求相应瞬间的关节速度。图3-2二自由度机械手手爪沿X0方向运动Y0X0Y2X2l1l2θ1θ2v2第十一页，共十九页，2022年，8月28日

综上所述，在该瞬时，两关节的位置和速度分别为θ1=30°，θ2=-60°，θ1=-2rad/s，θ2=4rad/s，手部瞬时速度为1m/s。

第3章工业机器人静力计算及动力学分析奇异讨论：当l1l2s2=0时，上式无解。第十二页，共十九页，2022年，8月28日一.机器人力雅可比矩阵

第3章工业机器人静力计算及动力学分析§3.2工业机器人力雅可比与静力计算(3.15)

其中:τ——广义关节力矩;F——机器人手部端点力;JT——(n×6)阶机器人力雅可比矩阵,简称力雅可比。

假定关节无摩擦,忽略各杆件的重力,

则有第十三页，共十九页，2022年，8月28日

式(3.15)可用虚功原理证明。证明:如图3-4所示,各个关节的虚位移组成机器人关节虚位移矢量δqi;末端操作器的虚位移矢量为δX,由线虚位移d矢量和角虚位移δ矢量组成。(3.16)

δq=［δq1δq2

…δqn］T

(3.17)

图3-4关节及末端操作虚位移

第3章工业机器人静力计算及动力学分析第十四页，共十九页，2022年，8月28日

设发生上述虚位移时,各关节力为τi(i=1,2,…，n),环境作用在机器人手部端点上的力和力矩分别为-f和-n,由上述力和力矩所做的虚功可以由下式求出:δW=τ1δq1+τ2δq2+…+τnδqn-fd-nδ

(3.18)

或写成

δW=τTδq-FTδX

(3.19)

根据虚位移原理,机器人处于平衡状态的充分必要条件是对任意的符合几何约束的虚位移,有δW=0,又因dX=Jdq,代入得δW=τTδq-FTδX=τTδq-FTJδq=[τ-JTF]Tδq

(3.20)

第3章工业机器人静力计算及动力学分析第十五页，共十九页，2022年，8月28日式中,δq表示几何上允许位移的关节独立变量,对任意的δq,欲使δW=0成立,必有τ=JTF

(3.21)

式中,JT与手部端点力和广义关节力矩之间的力传递有关,称为机器人力雅克比。机器人力雅克比正好是速度雅克比的转置。

第3章工业机器人静力计算及动力学分析第十六页，共十九页，2022年，8月28日二.机器人静力计算的两类问题

第3章工业机器人静力计算及动力学分析

从操作臂手部端点力F与广义关节力矩τ之间的关系式τ=JTF可知,操作臂静力计算可分为两类:

(1)已知外界对手部作用力F′,求满足静力平衡条件的关节驱动力矩τ(τ=JTF)。

(2)已知关节驱动力矩τ,确定机器人手部对外界环境的作用力F或负荷质量(逆解,即求解F=(JT)-1τ)。当自由度n>6时,力雅可比可能不是方阵,JT没有逆解,一般情况下不一定能得到惟一的解。第十七页，共十九页，2022年，8月28日例3-2由图所示的一个二自由度平面关节机械手，已知手部端点力F=[FxFy]T,求相应于端点力F的关节力矩（不考虑摩擦）。

第3章工业机器人静力计算及动力学分析图3-5手部端点力F与关节力矩TY0X0l2l1τ2τ1FyFFxΘ2=90°Θ1=0°F=[FxFy]TY0X0l1l2τ1τ2Θ1Θ2(a)(b)第十八页，共十九页，2022年，8月28日已知该机械手的速度雅可比为：则该机械手的力雅可比为：根据τ=JTF，得：所以τ1=-(l1s1+l2s12)Fx+(l1