第二章点、直线、平面的投影

第一节投影法的基本知识第二节点的投影第三节直线的投影第四节平面的投影第五节直线与平面、平面与平面的相对位置第二章点、直线、平面的投影一、投影的概念投影——空间物体在光线的照射下，在地上或墙上产生的影子，这种现象叫做投影。投影法——在投影面上作出物体投影的方法称为投影法。§2--1投影法的基本知识1、中心投影法：全部投影线都从一点投射出。H特性：投影大小与物体和投影面之间距离有关。二、投影法的分类投射中心投射线S投影面ABCabc2、平行投影法：所有投影线都相互平行。1）、正投影法：（主要学习此种投影方法）投射线互相平行且垂直于投影面特性：投影大小与物体和投影面之间距离无关。投射方向P投影面2）、斜投影法：投影线倾斜于投影面投射线互相平行但不垂直于投影面P特性：投影大小与物体和投影面之间距离无关。投射方向三、正投影法的主要特性1、点的投影：AHa

点的投影仍是一点。2、直线的投影：直线的投影一般情况下仍为直线，在特殊情况下聚为一点。1）、直线平形于投影面abABH在该面上的投影ab反映空间直线AB的真实长度。即：ab=AB2）、直线CD垂直于投影面在该面上的投影有积聚性，其投影为一点HCDc（d）3）直线EF倾斜于投影面在该面上的投影长度变短，即：ef=EFcosαEFefαH3、平面的投影

平面的投影一般仍是相类似的平面图形，在特殊情况下积聚为直线。1）平面平行于投影面ABCabcH投影△abc反映空间平面△ABC的真实形状。

真实性

2）、平面垂直于投影面DEFdefH在投影面上的投影积聚为直线。

积聚性

3）平面倾斜于投影面KLMKlmH投影△klm面积变小。

类似性

四、投影的基本性质：

★1、真实性

★2、积聚性

★3、类似性

一个视图不能完整地反映物体的空间形状五、物体的三面投影图1、三面投影图的形成三投影面体系由三个相互垂直的投影面所组成正立投影面简称正面。水平投影面简称水平面。侧立投影面简称侧面。两投影面的交线称为投影轴OX、OY、OZ。VHWXYZO2、物体在三投影面体系中的投影正面投影—由前向后投影；水平面投影—由上向下投影；侧面投影—由左向右投影。3、三投影面的展开VHWOXYHZYW侧面W绕OZ轴向右旋转90ο。水平面H绕OX轴向下旋转90ο。规定：正面V保持不动。VHWXYZO俯长主高上前后下上左右下前后右左4、位置关系和投影关系：5、方位关系俯视图——在主视图的下方左视图——在主视图的右方主、俯视图—长对正（等长）主、左视图—高平齐（等高）俯、左视图—宽相等（等宽）主视图—反映物体的上下和左右俯视图—反映物体的前后和左右左视图—反映物体的前后和上下注：俯、左视图靠近主视图的一边，表示物体的后表面；远离主视图的一边，表示物体的前表面。左宽主左俯§2--2点的投影一、点在两投影面体系中的投影过A作垂直于V、H面的投射线Aa´、Aa，分别与H面交于a，与V面交于a´，a、a´即为点A的两面投影。VHOXAaa'VVHOX实际作图时不画投影面边框。aa´axa´aOXHOXAaa´Vaxax点的两面投影规律：（1）、点的两面投影连线垂直于相应的投影轴，即aa'⊥ox；（2）、点的投影到投影轴的距离，等于该点到相应投影面的距离，即：a'ax=Aaaax=Aa'二、点在三投影面体系中的投影aVHWOXYHYW

Za'a"XYHYWZOa'a"a规定：空间点A用大写字母表示，在H面的投影用a，在V面的投影用a'，在W面的投影用a"表示。VHWXYZOa'aa"Aaxazay点的三面投影规律：（1）、点的投影连线垂直于投影轴。即：a'a⊥ox，a'a"⊥oz（2）、点的投影到投影轴的距离，等于该点的坐标，也就是该点到相应投影面的距离。三、点的三面投影与直角坐标的关系：

将投影面体系当作空间直角坐标系，把V、H、W当作坐标面，投影轴ox、oy、oz当作坐标轴，o作为原点。点A的空间位置可以用直角坐标（x，y，z）来表示。点A的x坐标值=oax=aay=a'az=Aa"反映点A到W面的距离。Y坐标值=oay=aax=a"az=Aa'反映点A到V面的距离。Z坐标值=oaz=a'ax=a"ay=Aa反映点A到H面的距离。Oa"aywXYHYWZaa'axazayhxyza由点A的x、y值确定，a'由点A的x、Z确定，a"由点A的y、z值确定。VHWXYZOa'aa"Aaxazay例1、已知点的坐标值为：A（20，10，15）和B（0，15，20）求它们的三面投影图。解：（1）量取坐标值；XOYHYWZaa'a"bb'b"（2）作点的投影。102010例2、已知各点的两面投影，求作其第三投影，并判断点对投影面的相对位置。ab'c点A的三个坐标值均不为0，A为一般位置。点B的Z坐标为0，故点B为H面上的点。点C的x、y坐标为0，故点C为z轴上的点。bb"c'c"xyHywzoa'a"z四、两点的相对位置和重影点：1、两点的相对位置要在投影图上判断空间两点的相对位置，应根据这两点在每个的面投影关系和坐标差来确定。例：由投影图判断A、B两点的空间位置。aa'bb'XOYHYWZa"b"（1）由A、B两点V、H面投影可确定点A在点B左方。（2）由A、B的H、W面投影可确定A在B前方。（3）由A、B的V、W面投影可确定A在B下方。因此点A位于点B左、前、下方。2、重影点重影点——空间两点在一个面的投影重合于一点叫做重影点。

如图：C、D两点的水平投影证明影为一点。OXc（d）c'd'又因点C在点D的正上方，C点可见，D点被遮盖。

作图时不可见点加括号。结论：如果两个点的某面投影重合时，则对该投影面的投影坐标值大者为可见，小者为不可见。例：已知点D的三面投影，点C在点D的正前方15mm，求作点C的三面投影，并判别其投影的可见性。解：由已知条件知：XC=XDZC=ZD

YC-YD=15mm∴点C、D在V面上的投影重影。

cc'c"又∵YC>YD∴C的V面投影为可见点，则D的V面投影为不可见点。YHd'OXYWZdd"()YWZVHXOAa'a"aBb'bVHWXYZbBAb'b"a"aa'WVHXYOZABaba"b"(b')a'XYWYHZaa"bb"c"cc'a'b'1、点A在V面上，故YA=02、点B在X轴上，故ZB=YB=03、点C在原点上，故Zc=Yc=Xc=0XYWOYHZaa"bb"a'b'XYWOYHZaa"bb"a'（b‘）点A在点B的上方（ZA＞ZB)点A在点B的右方（XA＜XB)点A在点B的前方（YA＞YB)点A在点B的正前方(XA=XBZA=ZB,YA＞YB)点A和点B称为V面上的重影点。§2--3直线的投影一、直线的投影：直线的投影一般为直线，可由直线上两点的同面投影连线确定。例：已知直线AB端点坐标为A（20，15，5）,B（5，5，15）作AB的三面投影。OXYHYWZaa'a"bb'b"二、各种位置直线的投影特性1、一般位置直线YWOXYHZaa'a"bb'b"直线的三面投影长度均小于实长，三面投影均倾斜于投影轴，但不反映空间直线对投影面倾角的大小。VHWXYZABβαγaba'b'a"b"2、投影面平行线OXYHYWZaa'a"bb'b"1）、水平线：平行于H面，对V、W面倾斜水平投影ab=AB正面投影a'b'∥OX，侧面投影a"b"∥OYwβγab与OX、OYH的夹角β、γ等于AB对V、W面的倾角。VHWXYZbAb'b"a"aa'Bβγ2）、正平线：平行于V，对H、W倾斜OXYHYWZcdc'd'c"d"αγ正面投影c'd'=CD水平投影cd∥OX侧面投影c"d"∥OZc'd'与OX、OZ的夹角α、γ等于CD对H、W面的倾角。YWZVHXc"Dd"cdc'd'3）、侧平线：平行于W面，对V、H面倾斜侧面投影e"f"=EF水平投影ef∥OYH，正面投影e'f'∥OZ。e"f"与OYW、OZ的夹角α、β等于EF对V、H面的倾角。OXYHYWZαβefe'f'e"f"WVHXYOZFEfef"e"e'f'1、a′b′=AB=实长2、ab∥OX轴,a"b"∥OZ轴3、β=0°α、γ反映实际大小

1、ab=AB=实长2、a′b′∥OX轴,a"b"∥OYW轴3、α=0°β、γ反映实际大小

YWZVHXa"ABb"aba'b'正平线VHWXYZbAb'b"a"aa'B水平线XYWYHZaa"bb"a'b'OαγXYWOYHZaa"bb"a'b'γβWVHXYOZABaba"b"b'a'侧平线XYWOYHZaa"bb"a'b'1、a"b"=AB=实长2、a′b′∥OZ轴,ab∥OYH轴3、γ=0°β、α反映实际大小

投影面平行线的投影特性1、直线在所平行的投影面上的投影反映直线的实际长度。2、直线在另外两个投影面上的投影平行于相应的轴（所平行投影面上的坐标轴）。3、投影面垂直线1）、铅垂线：直线⊥H面，∥V、W面。OXYHYWZa（b）a'b'a"b"水平投影积聚为一点。a'b'=a"b"=ABa'b'⊥OX，a"b"⊥OYW2）、正垂线：直线⊥V面，∥H、W面。OXYHYWZcdc'(d')c"d"正面投影积聚为一点。cd=c"d"=CDcd⊥OX，c"d"⊥OZ3）、侧垂线：直线⊥W面，∥H、V面。OXYHYWZefe'f'e''（f"）侧面投影积聚为一点。ef=e'f'=EFef⊥OYH，e'f'⊥OZ。1、V面投影积聚为一点。2、a"b"=ab=AB=实长3、ab⊥OX轴,a"b"⊥OZ轴β=90°α、γ=0°XYWYHZaa"bb"Oa'b'()VHWXYZAb'b"a"a'B铅垂线a(b)1、H面投影积聚为一点。2、a"b"=a'b'=AB=实长3、a'b'⊥OX轴,a"b"⊥OYW轴α=90°β、γ=0°

XYWOYHZa"b"a'b'a(b)XYWOYHZaba'b'a"(b")WVHXYZABabb'a'侧垂线a"(b")1、w面投影积聚为一点。2、a'b'=ab=AB=实长3、ab⊥OYH轴,a'b'⊥OZ轴γ=90°α、β=0°YWZVHXa"ABb"ab正垂线ABa'b'()投影面垂直线的投影特性1、直线在所垂直的投影面上的投影积聚为一点。2、直线在另外两个投影面上的投影垂直于相应的轴（所垂直投影面上的坐标轴），且反映实际长度。三、直线上的点1、从属性：点在直线上，点的各面投影必定在该直线的同面投影上；反之，点的各面投影均在直线的同面投影上，则该点必在此直线上。OXYHYWZaa'a"bb'b"kk'k"2、定比性：直线上的点分割直线之比，在投影后保持不变。OXYHYWZaa'a"bb'b"kk'k"即：AK:KB=ak:kb=a'k':k'b'=a"k":k"b"例1、试在直线AB上取一点C，使AC:CB=1:2，求作C点。解：分点C的投影必在AB的同面投影上。且ac:cb=a'c':c'b'=1:2OXaba'b'123cc'例2、已知直线CD及点M的两面投影，判断M是否在CD上。解1、OXcdc'd'mm'作侧平线CD和点M的侧面投影，由作图知点M的侧面投影不在cd上，所以M不在CD上。c"d"m"zYHYW解2、在H面作任一直线cE，使cE=c'd'。并截取cM1=c'm'EM1连dE，过M1作dE的平行线与cd交于m1mOXcdc'd'm'm1因为m1与m不重合，所以M不在CD上。四、两直线相对位置空间两直线的相对位置分为平行、相交、交叉1、平行两直线：投影特性：空间两直线相互平行，它们的各组同面投影必定相互平行。ABCDabcd反之，若两直线的各同面投影相互平行，则两直线在空间一定平行。★平行的两直线是共面的直线。2、相交两直线abcdABCDKkK是两直线的共有点，∴K在平面上的投影k必在ab上，又必在cd上。交点K的三面投影符合点的投影规律。★相交的两直线是共面的直线。OXZYHYWabcdka'b'c'd'k'a"b"c"d"k"3、交叉两直线在空间即不平行也不相交的两直线为交叉两直线。同面投影可能相交，但不符合空间点的投影规律。如图示aa'bb'cc'dd'AB两面投影的交点连线不⊥OX轴，∴为交叉两直线。★交叉的两直线是异面的直线。aa'bb'cc'dd'投影的交点并不是空间两直线真正的交点，而是两直线上相应点投影的重影点。对重影点应区分其可见性，即根据重影点对同一投影面的坐标值大小来判断坐标值大者为可见点，小者为不可见点。11'22'33'44'()()例1、判断两直线的相对位置OXaa'bb'cc'dd'OXaa'bb'cc'dd'OXaa'bb'cc'dd'交点的连线垂直于OX，且两直线为一般位置直线，由两面投影可判断为相交两直线。∵ab与cd在一直线上，而ab∥cd，∴两直线平行。∵CD为侧平线，利用点分割线段成比例进行判断。为交叉两直线。Emk例2、过C点作水平线CD与AB相交。dd'先作CD的正面投影kk'aa'bb'cc'••例3、已知：两直线AB、CD的投影及点M的水平投影m，试作一直线MN∥CD并与直线AB相交于N点。·aa'bb'cc'dd'mOXnn'm'作图：过m作mn∥cd，并与ab交于n；由n求出n'；过n'作n'm'∥c'd'，求得m'。点与直线的投影特性，尤其是特殊位置直线的投影特性。点与直线及两直线的相对位置的判断方法及投影特性。点分割直线成定比——定比定理。

小结§2--4平面的投影一、平面的表示法用几何元素表示平面不在同一直线上的三点。aa'bb'cc'a'ab'bc'c一直线和线外一点。c'ca'ab'b相交两直线。b'ba'ac'cdd'平行两直线。b'ba'ac'c任意平面形。二、各种位置平面的投影

铅垂面正垂面侧垂面水平面正平面侧平面平行于某一投影面垂直于某一投影面特殊位置平面对三个投影面都倾斜投影面垂直面投影面平行面一般位置平面1、投影面垂直面垂直于某一个投影面，而倾斜于其余两个投影面的平面为投影面垂直面。垂直的投影面上投影有积聚性其余两投影面的投影为类似形OXZYHYWaa'a"bb'b"cc'c"βγ1、V面投影积聚成一条直线，且反映α、γ的真实大小。β

=90°2、H、W投影均为原平面的类似形YWZVHXa"ABb"ab正垂面CDcda'(d')b'(c')c"d"1、H面投影积聚成一条直线，且反映β、γ的真实大小。α=90°2、V、W投影均为原平面的类似形XYWYHZaa"bb"Oαγc"d"ca'(d')b'(c')dVHWXYZAb'b"a"a(c)a'B铅垂面b(d)CDc'd'YWXOYHZa(c)a"b"a'b'γβc'd'c"d"b(d)WVHXYZABabb'a'侧垂面dCDcc'd'a"(c")b"(d")1、W面投影积聚成一条直线，且反映β、α的真实大小。γ

=90°2、V、H投影均为原平面的类似形XYWOYHZaba'b'c'd'cdb"(d")a"(c")αβ

投影面垂直面的投影特性：

平面在所垂直的投影面上的投影积聚为直线；

其余两投影面仍为原形的类似形，但比实形小；

平面具有积聚性的投影与投影轴的夹角，分别反映平面与相应投影面的倾角。2、投影面平行面平行于某一个投影面的平面称为投影面平行面，该平面必然垂直于其余两个投影面。OXZYHYWaa'a"bb'b"cc'c"在所平行的投影面上的投影反映实形积聚为直线，并平行于相应的投影轴V面投影反映实形，H、W投影积聚成一条直线，且分别平行与OX轴、OZ轴YWXYWYHZab(c)b"Oαγa'b'c'a"(c")VHWXYZAb"aa'B水平面bCc'a"(c")db'(c')cb'(c')XOYHZab"a'γβd'ba"(c")H面投影反映实形，V、W投影积聚成一条直线，且分别平行与OYW轴、OX轴YWZVHXABb"ab(c)正平面Cda'b'c"d"a"(c")Cc'a'(c')WVHXYZABab'侧平面Ca"b"b(c)c"XYWOYHZab'b"a"αβb(c)a'(c')c"W面投影反映实形，V、H投影积聚成一条直线，且分别平行与OYH轴、OZ轴投影特性

平面在所平行的投影面上的投影反映实形；

其余两投影积聚为直线，并分别平行于相应的投影轴。3、一般位置平面对三个投影面都倾斜的平面。其特性为：1、它的各面投影均不反映实形，也不具有积聚性。2、不直接反映该平面与投影面的倾角。OXYWYHZaa'a"bb'b"cc'c"三、平面上的点和直线1、平面上的点和直线定理一：若点在平面内，它必在平面内的一条直线上。定理二：若一直线过平面内的一点，且平行于该平面上另一直线，则此直线在该平面内。定理三：若直线过平面上的两点，则此直线必在该平面内。例1、已知△ABC平面内点K的V面投影k'，求作K的H面投影。解1OXaa'bb'cc'OXaa'bb'cc'解2··d'dk'kk'm'mk例2、已知四边形ABCD的V面投影及AB、BC的H面投影，完成H面投影。解1OXaa'bb'cc'd'de'eOXaa'bb'cc'd'解2e'ed2、平面上的投影面平行线凡在平面上且平行于某一投影面的直线，称为平面上的投影面平行线。

平面内的水平线——直线在平面内，又平行于水平面的直线。平面内的正平线——直线在平面内，又平行于正面的直线。平面内的侧平线——直线在平面内，又平行于侧面的直线。例3、作△ABC平面内的正平线，它距V面为8mm。OXaa'bb'cc'因为正平线的水平投影平行于OX，先作34∥OX，使其距V面8mm，再求出3'4'。3483'4'例4、在△ABC内取一点K，使点K距V面8mm，距H面12mm。OXaa'bb'cc'解：128122'1'33'44'kk'四、特殊位置圆的投影1、与投影面平行的圆

当圆平行于某一投影面时，圆在该投影面上的投影仍为圆，其余两投影积聚为直线，其长度等于圆的直径，且平行于相应的投影轴。OXYHYWZ2、与投影面垂直的圆当圆与投影面垂直时，圆在它所垂直的投影面上的投影积聚为直线，其余两投影为椭圆。XOaa'bb'cc'dd'§2--5直线与平面、平面与平面

之间的相对位置一、直线与平面、平面与平面平行

1、直线与平面平行定理：直线平行于平面上的某一条直线。即：如果直线平行于平面，则直线的各面投影必与平面上一直线的同面投影平行。例1、过点M作直线MN平行于平面△ABC。解：aa'bb'cc'mm'有多少解？nn'无数解例2、过点M作直线MN平行于V面和△ABC。解：正平线abcmm'a'b'c'∵△ABC为正垂面，∴直线MN的正面投影m'n'必定平行于a'b'c'。又∵MN为正平线，∴mn平行于OX轴。n'n有唯一解有多少解？

当直线与垂直于投影面的平面平行时，在平面垂直的投影面上，直线的投影平行于平面有积聚性的同面投影。2、平面与平面平行几何条件：1）、若一个平面上的两相交直线分别平行于另一平面上的两相交直线，则两平面相互平行。2）、若两投影面垂直面相互平行，则它们具有积聚性的那组投影必相互平行。caa'bb'c'd'dee'ff'gg'例3、过点K作平面平行于△ABC解：••a'ab'bc'ck'k分析：按几何条件，只要过点K作两相交直线KL、KH对应地平行于已知平面的一对相交直线，此平面即为所求。作图：KL∥AB，KH∥BC。ll'hh'例4、判别如图所示的两平面是否平行。解：1'12'(2)3'34'(4)a'ab'bc'c因两平面均为铅垂面，在H面的投影互相平行，所以两平面平行。二、直线与平面、平面与平面相交1、直线与平面相交

交点是直线与平面的共有点。讨论：（1）求直线与平面的交点；（2）判别两者之间的相互遮挡关系，即判别可见性。

只讨论平面与直线中至少有一个处于特殊位置的情况。1）、一般位置直线与特殊位置平面相交例1、求直线AB与铅垂面△DEF的交点K，并判别可见性。分析：因△DEF的水平投影def有积聚性，交点K是△DEF内的点，它必在def上，又因K是AB上的点，它的水平投影k必在ab上，因此k就是K的水平投影。由k可求得k'。a'ab'bd'de'ef'fkk'1'1(2')2例2、求直