高中数学人教A版第一章空间几何体 全市获奖

(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．观察图中的四个几何体，其中判断正确的是()A．(1)是棱台 B．(2)是圆台C．(3)是棱锥 D．(4)不是棱柱解析：图(1)不是由棱锥截得的，图(2)的上、下两个面不平行，图(4)的前、后两个面平行，其他面都是平行四边形，且每相邻两个四边形的公共边平行，所以A，B，D都不正确．答案：C2．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体可以是()A．棱柱 B．棱台C．圆柱 D．圆台解析：从俯视图可看出该几何体上下底面为半径不等的圆，正视图与侧视图为等腰梯形，故此几何体为圆台．答案：D3．一个四面体共一个顶点的三条棱两两互相垂直，其长分别为1，eq\r(6)，3，其四面体的四个顶点在一个球面上，则这个球的表面积为()A．16π B．32πC．36π D．64π解析：将四面体可补形为长方体，此长方体的对角线即为球的直径，而长方体的对角线长为eq\r(12＋\r(6)2＋32)＝4，即球的半径为2，故这个球的表面积为4πr2＝16π.答案：A4.已知水平放置的△ABC按斜二测画法得到如图所示的直观图，其中B′O′＝C′O′＝1，A′O′＝eq\f(\r(3),2)，那么△ABC是一个()A．等边三角形B．直角三角形C．三边中只有两边相等的等腰三角形D．三边互不相等的三角形解析：由斜二测画法的规则可得BC＝B′C′＝2，AO＝2A′O′＝2×eq\f(\r(3),2)＝eq\r(3)，又∵AO⊥BC，∴AB＝AC＝2，故△ABC是等边三角形．答案：A5．一个几何体的三视图如图所示，该几何体从上到下由四个简单几何体组成，其体积分别记为V1，V2，V3，V4，上面两个简单几何体均为旋转体，下面两个简单几何体均为多面体，则有()A．V1＜V2＜V4＜V3 B．V1＜V3＜V2＜V4C．V2＜V1＜V3＜V4 D．V2＜V3＜V1＜V4解析：由三视图可知，四个几何体自上而下分别为圆台，圆柱，四棱柱，四棱台．结合题中所给数据可得：V1＝eq\f(1,3)(4π＋π＋2π)＝eq\f(7π,3)，V2＝2π，V3＝23＝8，V4＝eq\f(1,3)(16＋4＋8)＝eq\f(28,3).故V2＜V1＜V3＜V4.答案：C6．过圆锥的高的三等分点作平行于底面的截面，它们把圆锥的侧面分成的三部分的面积之比为()A．1∶2∶3 B．1∶3∶5C．1∶2∶4 D．1∶3∶9解析：如图，由题意知O1A1∶O2A2∶OA＝1∶2∶3，以O1A1，O2A2，OA为半径的圆锥的侧面积之比为1∶4∶9.故圆锥被截面分成的三部分侧面的面积之比为1∶(4－1)∶(9－4)＝1∶3∶5.答案：B7．用与球心距离为1的平面去截球，所得的截面面积为π，则球的体积为()\f(32π,3)\f(8π,3)C．8eq\r(2)π\f(8\r(2)π,3)解析：设截面圆的半径为r，则πr2＝π，故r＝1，由勾股定理求得球的半径为eq\r(1＋1)＝eq\r(2)，所以球的体积为eq\f(4,3)π(eq\r(2))3＝eq\f(8\r(2)π,3)，故选D.答案：D8.如图，在棱长为4的正方体ABCD－A1B1C1D1中，P是A1B1上一点，且PB1＝eq\f(1,4)A1B1，则多面体P－BCC1B1的体积为()\f(8,3)\f(16,3)C．4 D．5解析：V多面体P－BCC1B1＝eq\f(1,3)S正方形BCC1B1·PB1＝eq\f(1,3)×42×1＝eq\f(16,3).答案：B9．如图所示，三棱台ABC－A1B1C1中，A1B1∶AB＝1∶2，则三棱锥B－A1B1C1与三棱锥A1－ABC的体积比为()A．1∶2 B．1∶3C．1∶eq\r(2) D．1∶4解析：三棱锥B－A1B1C1与三棱锥A1－ABC的高相等，故其体积之比等于△A1B1C1与△ABC的面积之比，而△A1B1C1与△ABC的面积之比等于A1B1与AB比的平方，即1∶4.故三棱锥B－A1B1C1与三棱锥A1－ABC的体积比为1∶4.答案：D10．一个正三棱柱的三视图如图所示，则此三棱柱的表面积和体积分别为()A．24＋8eq\r(3)，8eq\r(3) B．4eq\r(3)，4eq\r(3)C．12＋2eq\r(3)，4eq\r(3) D．24＋4eq\r(3)，4eq\r(3)解析：由三视图可知此正三棱柱的底面三角形的高为2eq\r(3)，三棱柱的高为2，所以其底面边长为4，于是S表＝24＋8eq\r(3)，V＝eq\f(1,2)×eq\f(\r(3),2)×42×2＝8eq\r(3).答案：A二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上)11．棱锥的高为16，底面积为512，平行于底面的截面面积为50，则截得的棱台的高为________．解析：设棱台的高为x，则有eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(16－x,16)))2＝eq\f(50,512)，解之，得x＝11.答案：1112．把球的表面积扩大到原来的2倍，那么体积扩大到原来的________倍．解析：设原来球的半径为r，扩大后的半径为R，则有4πR2＝2×4πr2，则R＝eq\r(2)r.则扩大后的体积V＝eq\f(4,3)πR3＝eq\f(4,3)π(eq\r(2)r)3＝2eq\r(2)·eq\f(4,3)πr3，即体积扩大到原来的2eq\r(2)倍．答案：2eq\r(2)13．已知矩形ABCD的顶点都在半径为4的球O的球面上，且AB＝6，BC＝2eq\r(3)，则棱锥O－ABCD的体积为________．解析：如图所示，OO′垂直于矩形ABCD所在的平面，垂足为O′，连接O′B，OB，则在Rt△OO′B中，由OB＝4，O′B＝2eq\r(3)，可得OO′＝2，故VO－ABCD＝eq\f(1,3)S矩形ABCD·OO′＝eq\f(1,3)×6×2eq\r(3)×2＝8eq\r(3).答案：8eq\r(3)14.如图所示，已知正三棱柱ABC－A1B1C1的底面边长为2，高为5，一质点自A点出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周到达A1点的最短路线的长为________．解析：如图所示，将三棱柱沿AA1剪开，可得一矩形，其长为6，宽为5，其最短路线为两相等线段之和，其长度等于2eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)))2＋62)＝13.答案：13三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分12分)画出下图中几何体的三视图．解析：图中几何体组合体，下部是三个正方体，上部是一个圆柱，按照正方体和圆柱的三视图的画法画出该组合体的三视图．该几何体的三视图如图所示．16.(本小题满分12分)如图所示，用一个平行于圆锥SO底面的平面截这个圆锥，截得圆台上、下底面的面积之比为1∶16，截去的圆锥的母线长是3cm，求圆台O′O的母线长．解析：设圆台O′O的母线长为l，由截得圆台上、下底面的面积之比为1∶16，可设截得圆台的上、下底面的半径分别为r,4r.过轴SO作截面，如图所示．则△SO′A′∽△SOA，SA′＝3cm.故eq\f(SA′,SA)＝eq\f(O′A′,OA)，即eq\f(3,3＋l)＝eq\f(r,4r).解得l＝9，故圆台O′O的母线长为9cm.17．(本小题满分12分)轴截面为正三角形的圆锥内有一个内切球，若圆锥的底面半径为1cm，求球的体积．解析：如图作出轴截面，∵△ABC是正三角形，∴CD＝eq\f(1,2)AC.∵CD＝1cm，∴AC＝2cm，AD＝eq\r(3)cm.∵Rt△AOE∽Rt△ACD，∴eq\f(OE,AO)＝eq\f(CD,AC).设OE＝R，则AO＝eq\r(3)－R，∴eq\f(R,\r(3)－R)＝eq\f(1,2)，∴R＝eq\f(\r(3),3)(cm)．∴V球＝eq\f(4,3)πeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)))3＝eq\f(4\r(3),27)π(cm3)．∴球的体积等于eq\f(4\r(3),27)πcm3.18．(本小题满分14分)如图，正方体ABCD－A′B′C′D′的棱长为a，连接A′C′，A′D，A′B，BD，BC′，C′D，得到一个三棱锥．求：(1)三棱锥A′－BC′D的表面积与正方体表面积的比值；(2)三棱锥A′－BC′D的体积．解析：(1)∵ABCD－A′B′C′D′是正方体，∴A′B＝A′C′＝A′D＝BC′＝BD＝C′D＝eq\r(2)a，∴三棱锥A′－BC′D的表面积为4×eq\f(1,2)×eq\r(2)a×eq\f(\r(3),2)×eq\r(2)a＝2