第2章-信号与噪声

第2章信号与噪声本章主要内容预备知识:信号与系统、卷积和相关1、信号的频谱分析2、卷积和相关3、信号通过线性系统4、随机信号及频谱分析5、噪声信号分类（预备知识）数字信号和模拟信号周期信号和非周期信号确定信号和随机信号确定信号：可以用确定的时间函数来表示；随机信号：不能用确定的时间函数来表示，但具有一定的统计规律性。信号分类（续）能量信号和功率信号功率：电压u(t)或电流i(t)在电阻R上的瞬时功率。其归一化功率为：p（t）=f2（t）， 其中f（t）为电压或电流信号。能量：功率对时间的积分。P=0E=∞能量信号：指的是一个有界的、持续时间有限的信号，信号能量为有限值，全部时间的平均功率为零。功率信号：周期信号在正负无穷大的全部时间内存在，因此它有无限的能量，但是它的平均功率为有限值。一般说来，周期信号都是功率信号，非周期信号或是能量信号或是功率信号，或者既非能量信号又非功率信号。系统分类线性系统与非线性系统时不变和时变系统1、信号的频谱分析（确知信号）（1）周期信号的傅里叶级数复指数形式（通信中广泛应用，是傅里叶变换的基础）【例】幅度为A，宽度为τ，周期为T的脉冲序列，用指数傅立叶级数展开。周期信号的频谱特点：频谱（幅度谱）是离散的，脉冲周期越长，谱线间隔越小。（2）非周期信号的傅里叶变换非周期信号可以看成是周期T为无穷大的信号。【例】求图示脉冲的频谱解:（3）信号的能量谱密度与功率谱密度能量谱密度结论：信号的能量在时域和频域是守恒的。为什么要截短？（4）常用信号的傅里叶变换正弦和余弦信号2、卷积和相关（1）卷积时域卷积定理频域卷积定理（2）相关设两个信号f1(t)和f2(t)

，如果f1(t)和f2(t)不同，是互相关积分。f1(t)和f2(t)相同，是自相关积分。相关是不可交换的，即对于实信号，f*(t)=f(t)，

卷积和相关的对比 卷积关系表明一个函数和另一个折叠函数的相关关系。自相关函数的性质1）能量信号的自相关函数R(0)等于信号的能量2）对所有τ有

3、信号通过线性系统不失真传输：所谓不失真传输,是指信号经过线性系统后,输出信号r(t)与输入信号f(t)相比较只是有衰减、放大和时延,而没有波形的失真。用数学式表示信号通过线性系统不产生波形失真,要求系统应具备以下两个条件:

(1)系统的幅频特性应该是一个不随频率变化的常数。

(2)系统的相频特性应与频率成直线关系。无失真传输系统 无失真传输的条件要求系统带宽无限宽。显然这样的系统在物理上是不可实现的。 实际中，信号能量总是随着频率的增高而减小，因此，只要系统允许信号绝大多数能量通过，就认为该系统能实现无失真传输。(补充)信号带宽的常用定义3dB带宽3dB带宽：指的是比峰值功率小3dB（就是峰值的50％）的频谱范围的带宽；6dB带宽同上，6dB对应的是峰值功率的25％。当计算A的功率相比于B大或小多少个dB时，可按公式10lgA／B计算。例如：A功率比B功率大一倍，那么10lgA／B＝10lg2＝3dB，也就是说，A的功率比B的功率大3dB。4、随机信号分析确定信号信号在指定时间取值为一定值。随机信号信号参数不确定，不能预先确定信号在任意时刻的取值，取值具有随机性。（1）随机过程无穷多随机函数的总体在统计学上称为随机过程。每一个随机函数叫做随机过程的一个样本函数或者一次实现。无穷多随机函数的总体在统计学上称为随机过程。每一个随机函数叫做随机过程的一个样本函数或者一次实现。（1）随机过程（2）平稳随机过程（补充）随机过程的统计特性分布函数和概率密度函数了解随机过程X(t)的一维分布函数F(x1,t)的定义；二维分布函数F(x1,x2,t1,t2)的定义。了解随机过程X(t)的一维概率密度函数p(x1,t)的定义；二维概率密度函数p(x1,x2,t1,t2)的定义。分布函数和概率密度函数的定义一维概率分布函数为：一维概率密度函数可以定义为：一维概率分布和密度函数仅仅描述了随机过程在某个时刻上的统计分布特性，不能反映随机过程在不同时刻取值间的关联程度。X(t1)为随机过程X(t)在t=t1时刻的取值。N维分布和概率密度函数的定义n维概率分布函数为：n维概率密度函数可以定义为：随着n的增大，随机过程描述得就越充分，可问题的复杂性也随之增加，一般掌握二维就足够了。

随机过程X(t)，如果它的n维概率密度函数pn(x1,x2,……,xn；t1,t2,…tn)与时间起点的选择无关，对于任何n和τ，X(t)的n

维概率密度函数满足

pn(x1,x2,…，xn;t1,t2,…tn) =pn(x1,x2,…，xn;t1+τ,t2+τ,…,tn+τ)称为平稳随机过程。对于某个n值成立，称为n

阶平稳随机过程。若对所有阶都是平稳的，则称为严平稳随机过程或狭义平稳随机过程。本书只讨论广义平稳随机过程，特点：一维概率密度函数与时间无关；二维概率密度函数只与时间差有关。数字特征：统计平均和时间平均统计平均1、数学期望mX是时间t的函数，它表示随机过程的n个样本函数曲线的摆动中心，又叫均值。（3）随机过程的数字特征2、均方值3、方差方差等于均方值与数学期望平方之差，表示随机过程在时刻t对于均值的偏离程度。随机过程的数学期望和方差都只是与随机过程的一维概率密度函数有关，不能反映随机过程在任意两个时刻之间的内在联系；为了定量地描述随机过程的内在联系特征（即在任意两个不同时刻上的取值之间的相关程度），引入自相关函数。4、自相关函数

设X(t1)和X(t2)是随机过程X(t)在t1和t2的状态，p(x1,x2;t1,t2)=p(x1,x2;τ)是相应的二维概率密度函数，则自相关函数的定义： 时间平均：随机过程X(t)的某一特定实现，对时间求平均。设x(t)是随机过程X(t)的一个典型的样本函数。

1）平均值（直流分量）

2）均方值（总平均功率）

3）方差（交流功率）4）自相关函数样本函数x(t)的时间自相关函数定义为：当τ=0时例：设随机变量在（0，2）内均匀分布，求Asin的数学期望和方差，其中A为常数。例：求随机相位信号的自相关函数、功率谱密度和功率。（是否为平稳随机过程）（4）平稳随机过程的遍历性设X(t)是一个平稳随机过程，如果它的统计平均可用时间平均来代替，它的统计方差可用时间方差来代替，它的统计自相关函数也可用时间自相关函数来代替，则称该平稳随机过程具有遍历性（各态历经）。平稳随机过程的一个样本函数都经历了随机过程的各种可能状态，每个实现可代替整个随机过程。一般随机信号和噪声都满足遍历条件。（5）随机过程的功率谱对于确知信号，通过傅里叶变换可用频谱来描述，但对于随机信号和噪声，由于每一个样本函数都是在整个事件域内存在的，因此属于功率信号，不能直接用傅里叶变换进行频谱分析，但可以用功率谱来描述，它和自相关函数也是一对傅立叶变换。随机信号分析时域分析（自相关函数）频域分析（功率谱密度）例已知平稳随机过程的自相关函数，求该平稳随机过程的功率谱。解：练习若信号，试求其自相关函数、功率谱密度、信号功率P。定义：1、输出过程Y(t)的数学期望（6）随机过程通过线性系统2、Y(t)的功率谱：5、噪声（1）噪声的分类：按来源分:自然噪声、人为噪声、电路噪声；按特征分：脉冲型噪声和连续型噪声；按谱形状分：白噪声和有色噪声；按对信号作用的方式分：加性和乘性噪声；按概率密度函数分：分布服从高斯分布就称它为高斯噪声；所谓白噪声是指功率谱密度函数在整个频率轴上服从均匀分布的一类噪声。功率谱密度：单位是W/Hz（单边功率谱密度？）自相关函数：（2）白噪声白噪声是一个理想化模型，实际中，只要噪声频谱比所研究的系统频带宽得多，并且功率谱在系统带宽范围内接近常数，就可以做为白噪声处理。白噪声的自相关函数仅在等于0时才不为零，而对于其它任意的时刻，自相关函数都为零，所以它在任意两个时刻上的随机变量都是不相关的。(补充高斯过程)若随机过程X(t)的任意n维分布都是正态分布，则称它为高斯随机过程或正态过程。高斯过程在任一时刻的样值是一个高斯随机变量，一维概率密度函数如下：定义：白噪声的概率密度函数服从高斯分布（正态分布）。

（3）高斯白噪声标准正态分布当a=0，时，为标准正态分布。（4）窄带高斯噪声当高斯白噪声通过一个窄带系统，其输出噪声集中在中心频率附近的带宽W内，这种噪声称为窄带噪声。窄带系统是指带宽W远远小于其中心频率的系统。大多数通信系统都是窄带的，可用一个带通滤波器模拟。

将一段时间长度的高频信号的峰值点连线，就可以得到上方（正的）一条线和下方（负的）一条线，这两条线就叫包络线。包络线就是反映高频信号幅度变化的曲线。对于等幅高频信号，这两条包络线就是平行线。

缓慢变化的包络频率近似为根据窄带噪声特点，可以定义如下：其中：同相分量正交分量的性质：123例1：设RC低通滤波器如图所示，当输入均值为0，双边功率谱密度为n0/2的白噪声时，求输出噪声功率谱密度和自相关函数。解（1）低通滤波器的传输特性为：由随机过程通过线性系统的性质可知：例2:将一个均值为0，功率谱密度为的高斯白噪声加到一个带宽为B，中心角频率为（远大于B）的理想