第七章几何光学基础

第七章几何光学基础在许多实际的光学工程应用中，由于光的频率很高（10-14Hz），波长很短（10-7m），光的传输特性可以利用波长趋于零的极限情况近似，这就是几何光学处理光传输特性的基本思想。因此，可以认为几何光学是波动光学在波长趋于零时的极限。对于大多数光学工程技术问题，应用几何光学理论都可以得到较满意的近似结果。第一节几何光学的基本定律

一、波面、光线和光束

光波是横波，在各向同性介质中，其电场的振动方向与传播方向垂直，振动相位相同的各点在某时刻所形成的曲面称为波面。

波面可以是平面、球面或其它曲面。

当发光体（光源）的大小和其辐射能的作用距离相比可以忽略不计时，该发光体称为发光点或点光源。

在几何光学中，发光点被抽象为一个既无体积又无大小的几何点，任何被成像的物体都是由无数个这样的发光点所组成。

在几何光学中，光线被抽象为既无直径又无体积的几何线。它的方向代表光线的传播方向即光能的传播方向。

在各向同性介质中，光沿着波面的法线方向传播，可以认为光波波面法线就是几何光学中的光线，与波面对应的法线束称为光束。

平面波对应于平行光束；球面波对应于会聚或发散光束；其光线既不相交于一点，又不平行所对应的光束称为像散光束。如图7-1所示。

几何光学中的传播规律和成像原理，是用光线的传播途径加以表示的，光线的这种传播途径称为光路。

二、几何光学的基本定律

1、光的直线传播定律

在各向同性的均匀介质中，光线按直线传播，这就是光的直线传播定律。--只有光在均匀介质中无阻拦地传播时才成立。

2、光的独立传播定律

从不同光源发出的光线，以不同的方向通过介质某点时，各光线彼此不影响，好像其它光线不存在似的独立传播，这就是光的独立传播定律。3、光的折射定律和反射定律当光在传播中遇到两种不同介质的光滑界面时，光线将发生折射和反射，其继续传播的规律遵循折射定律和反射定律。

说明：

在几何光学应用中，必须考虑角量的符号规定。

如图7-2，按照角度符号法规的规定：

入射角∠AON和折射角∠CON’均应以锐角来量度，由光线沿锐角转向法线，顺时针转成的角为正，反之为负。

nSinI=n’SinI’折射定律如图7-3，根据角度符号法规的规定，I=-I”

三、全反射现象当光线由光密介质进入光疏介质时，当入射角大于由两种介质折射率所决定的临界角时，光线将完全被界面反射回来，这就是全反射。

四、费马原理

费马原理指出：光线从A点到B点，是沿着光程为极值的路径传播的。也就是说，光由A点到B点的传播在几何方面存在着无数条可能的路径，每条路径都对应着一个光程值，光由A点传播到B点的实际光路包含在这些可能的路径之中。

任何一条实际的光路，其光程有一个共同的特点，即它均满足极值条件。亦即，或者是所有光程可能值中的极小值，或者是所有光程可能值中的极大值，或者是某一稳定值。

若把任意一条几何上可能的路径记为l,则与l对应的光程L(l)可用下列方程表示：

对应不同的路径l,光程L(l)可能取不同的值。

如果广义地把路径l看是自变量，则光程L(l)可以视为是l的函数。这种形式函数取极值条件为

这就是费马原理的数学表达式。

五、物像的基本概念

使用光学仪器，离不开物像的基本概念，物体通过光学系统成像，所成的像由人眼接收，这就是人们使用光学仪器的一般过程。

光学系统由一系列的光学零件所组成。

常见的光学零件有：

透镜、棱镜、平行平板和反射镜等，其截面如图7-8所示。

光学系统一般是轴对称的，即有一条公共的轴线通过系统各表面的曲率中心，该轴线通常叫做光轴，这样的系统称为共轴光学系统。

绝大多数光学系统中的光学零件均由球面构成（平面可以看作无限大的球面）。这样的系统称为“球面系统”。在球面系统中，如果所有球心均位于同一线上，由于球面对于通过球心的任意一条直线都对称，因此该直线就是整个系统的对称轴线，也就是系统的光轴。这样的系统称为“共轴球面系统”。

透镜是光学仪器中最常用的光学零件。透镜可分为正的和负的两类。正透镜具有正的像方焦距，对光束起会聚作用。负透镜具有负的像方焦距，对光束具有发散作用。

物和像概念的规定：

把光学系统之入射线会聚点的集合或入射线之延长线会聚点的集合，称为该系统的物。

出射线会聚点的集合或出射线之延长线会聚点的集合，称为物对该系统所成的像。实物与虚物：

若入射线真正地会交于一点称为实物；若射线不真正地会交于一点，只是其延长线交于同一点，则称为虚物。

实像与虚像：

若出射线真正地会交于一点则称为实像；若出射线不真正地会交于一点，只是其延长线交于同一点，则称为虚像。

物和像的的概念具有相对性，在图7-10所示的光学系统中，A’点既是物点又是像点。

物像空间：

物体所在的空间称为物空间，像所在空间称像空间。

六、单个折射球面的折射

研究光线经单个球面的折射，是一般光学系统的成像基础。

1、符号法则

如图7-12所示，球形折射面是折射率为n和n’两种介质的分界面，C为球心，OC为球面曲率半径，以r表示。顶点以O表示。

在包含光轴的平面（即子午面）内，入射到球面的光线，其位置可由两个参量来决定：

一个是顶点O到光线与光轴的交点A的距离，以L表示，称为截距；另一个是入射光线与光轴的夹角∠EAO，以U表示，称为孔径角。

光线AE经过球面折射后，交光轴于A’点。光线EA’的确定也和AE相似，以相同字母表示两个参量，仅在字母右上角加“’”以示区别，即L’=A’O和u’=∠EA’O，也称为截距和孔径角。

为了区别，L和U称为物方截距和孔径角

L’和U’称为像方截距和孔径角

符号规定：

1）光路方向

规定光经从左到右的传播方向为正方向，反之为反向光路。

2）线量

沿轴线量：凡由规定的原点（计算起点）到终点的方向与光线的传播方向相同者取为正，反之为负。

沿轴线段以原点为起始点，向右为正，向左为负；

规定，曲率半径r和物方截距L，像方截距L’均以球面顶点为原点，球折射面之间的间隔以字母d表示，规定以前一球面顶点为原点。

垂轴线量：以光轴为准，在光轴之上为正，光轴之下为负。

3）角量

一律以锐角来衡量，由规定的起始边沿顺时针转成者为正，逆时针转成者为负。

对光线与光轴的夹角U和U’，规定光轴为起始边，由光轴转向光线，顺时针为正，逆时针为负。

对光线与法线的夹角，即入射角I和折射角I’，规定光线为起始边，由光线顺时针转到法线为正，反之为负。

对法线与光轴的夹角，球心角ψ，规定光轴为起始边，由光轴顺时针转到法线为正，反之角负。

2、单个折射球队面的光路计算公式

如图7-12，在ΔAEC中

，有：在ΔA’EC中，有：折射定律：

由图可知：

上述四式，是计算子午面内光线光路的基本公式。可由已知的L和U通过上列四式求U’和L’。

由公式可知，当L为定值时，L’是角U的函数。

在图7-13中，若A为轴上物点，发出同心光束，由于各光线具有不同的U角值，所以光束经球折射后，将有不同的L’值，即在像方和光束不和光轴交于一点，失去了同心性。因此，当轴上点宽光束经球面成像时，其像是不完善的，这种成像缺陷称为像差。

若物体位于物方光轴上无限远处，这时可认为由物体发出的光束是平行光束，即L=-∞，u=0，如图7-14所示。校对公式：

为保证光路计算的准确性，需对结果进行校对，下面为大L公式的校对公式。

3、近轴光的光路计算公式

在图7-12中，如果U角很小，即从A点发出的光线都离光轴很近，这样的光线称为近轴光。

此时，光路计算公式为：

当光线平行于光轴时，有由（5）式可知，当u角改变k倍时，i,i’,u’亦改变k倍，而l’不随u角改变而改变。即表明由物点发出的一束细光束经折射后仍交于一点，其像是完全像，称为高斯像。

高斯像的位置由l’决定，通过高斯像点垂直于光轴的像面，称为高斯像面。构成物像关系的这一对点，称为其轭点。

校对公式：

近轴光线光路计算的校对公式为：

第二节单个折射球面近轴区成像

根据前面六个公式可以导出以下三个公式：

表示单个折射球面，物方和像方的一些参量具有不变量形式，称为阿贝不变量，用字母Q表示，Q值的大小只与共轭点的位置有关。

表示近轴光经球面折射前后的孔径角u和u’的关系。

表示折射球面成像时，物像位置l（物距）和l’（像距）之间的关系。

一、物像公式

如图7-16，F’点（轴上无限远特点的像点），称为球面的像方主焦点或第二焦点。（用f’表示），称为第二主焦距。

F点称为第一主焦点，称为第二主焦距。

上式表明，单个球面像方焦距f’与物方焦距f的比等于相应介质折射率之比。

二、高斯公式和牛顿公式

物距l、像距l’，物方焦距f以及像方焦距f’有以下关系：

上式称为球面折射的高斯公式。

如果物距和像距不以球折射面的顶点为原点，而分别从物方焦点F和像方焦点F’算起，并用x和x’表示，分别称为焦物距和焦像距，如图7-17所示。

则有：xx’=ff’

上式为牛顿公式。

三、光焦度

令：

对于一定的介质及一定形状的表面来说，是一个不变量，它表征球面的光学特征，称之为光焦度。

当r以米为单位时，的单位称为折光度，以字母D表示。

四、垂轴放大率β

物体经球面折射成像后，通常不仅需要知道像的位置，而且还希望知道像的大小、虚实和倒正。因此，引入垂直放大率β。如图7-18所示。

当求得一对共轭点的截距l和l’后，便可求得β。

结论：

当β<0时，表示y’和y异号，成倒像；同时l和l’异号表示物像处于球面两侧，实物成实像，虚物成虚像。当β>0时，y’和y同号，成正像；同时l和l’同号物像处于球面的同侧，实物成虚像，虚物成实像。，表示为放大像；，表示为缩小像。五、轴向放大率

对于有一定体积的物体，除垂轴放大率外，其轴向也有尺寸，故还有轴向放大率α。

---只在物体轴向尺寸很小时适用

如果物体轴向尺寸足够大，如图7-19则轴向放大率用表示。

β1和β2分别为物在A1和A2两点的垂轴放大率

六、角放大率γ

令：

三个放大率的关系：

七、拉亥不变量J（拉格朗日—亥姆霍兹不变量）

上式表明，在一对共轭平面内，成像的物高y，成像光束的孔径角u和所在介质的折射率n三者的乘积是一个常数—J。

--拉格朗日—亥姆霍兹恒等式第三节球面反射镜

只需在单个折射球面的公式中，使，即可得到反射球面的相应公式。

1、球面反射镜的物像位置公式

2、球面反射镜的焦距

球面反射镜的二焦点重合。对凸球面反射镜，r>0，则f’>0；对凹球面镜，r<0，则f’<0。

3、球面反射镜的高斯公式

4、球面反射镜的放大率公式

球面反射镜的轴向放大率永为负值，当物体沿光轴移动时，像总以相反方向沿轴移动。

5、球面反射情况下的拉亥不变量

球面反射镜的物像关系如图7-21所示。当物体处于球面反射镜的球心时，则球心处的放大率为β=1，α=1,γ=1。

第四节平面镜、棱镜系统

一、平面反射镜

平面反射镜又称为平面镜，是光学系统中最简单而且也是唯一能成完善像的光学零件。

1、单平面镜的成像特性

如图7-22所示。

反射光线PA和BO延长线的交点A’就是A经平面反射镜所成的虚像。

如果射向平面反射镜的是一会聚同心光束，即物点是一个虚物点，如图7-23所示，则当光束经平镜反射后成一实像点。

不管物和像是虚还是实，相对于平面反射镜来说，物和像始终是对称的。由于其对称性，如果物体为左手坐标系O-XYZ，其像的大小与物相同，但却是右手坐标系O’-X’Y’Z’，如图7-24所示，这种物像不一致的像，叫做“镜象”或“非一致像”。反之，称为一致像。

平面镜还有一个性质，即当保持入射光线的方向不变，而使平面镜转动一个α角，则反射光线将转动2α角。

综上所述，单个平面镜的成像特性可归纳为：

点物成点像

物和像以平面镜对称，成非一致像

实物成虚像，虚物成实像

平面镜转动具有“光放大作用”

2、双平面镜的成像特性

将两个平面反射镜组合在一起，使两个反射面构成一个二面角，这就是所谓的双平面镜系统。

物体经双平面镜的成像特性可分为光线经双平面镜多次反射和两次反射的情况进行讨论。

如图7-27所示，两平面反射镜RP和QP相交于P棱，图面为垂直于棱线P的任意平面，该平面称为主截面。

图中，像点数目的多少与双面镜的夹角α有关，α愈小，数目愈多，直到像点位于两反射镜背后不能再被反射镜反射为止。

下面讨论物体被双平面镜相继反射一次时的成像情况。

如图7-28所示，两平面镜间夹角为α，主截面内任意一条光线经两平面镜依次反射后，入射线和出射线的夹角为β，则有：

β=2α

上式表明，出射光线和入射光线之间的夹角与入射角无关，只决定于反射镜夹角α。因此，光线方向的改变可以根据实际需要通过选择适当的α角来实现。

双平面反射镜的成像特性可归纳为：二次反射像的坐标系统与原物坐标系统相同，成一致像。

位于主截面内的光线，不论其入射方向如何，出射线转角永远等于两平面镜夹角的二倍。

二、平面折射

1、平面折射的基本公式

在光学系统中经常遇到一些平面光学零件，如平凸、平凹透镜及全反射棱镜等，因此需要导出光线入射于平面时折射成像的公式。

如图7-29所示，一光线AO入射到平面介面上，将产生折射。由图可知：以上四式为平面折射的基本公式，由此就能够确定任意一条光线经过平面折射后的光路。

由上式可知，对于一个折射平面来说，L’也是U角的函数，即由光轴上同一物点发出的具有不同U角的光线，经过平面折射之后，并不能都相交于一点。也就是说，不能成完善像。

如果入射光线为近轴光线，则上述平面折射的基本公式可表示如下形式：

由上式可知，近轴光线经过平面折射，可以成完善像，并β=±1，即为正像，像的大小与物一样。

2、光线经平行平板时的折射

光学仪器中常用到由两个折射平面构成的玻璃平板，或者由一些特定材料构成的平行平板，如红外探测器的窗口等。

图7-30给出了一个厚度为d的平行平板，设它处于空气中，即两边折射率都等于1，平行平板玻璃的折射率为n。

结论：

(1)光线经平行平板折射后方向不变。

(2)放大率为:α=β=γ=1

(3)光线经平行平板折射后，虽然方向不变，但要产生位移。

侧向位移（即平行位移）

轴向位移

同样可知，从物点A发出的同心光束经过平行平板后，就不再是同心光束，成像是不完善的。

如果入射光束以近于无限细的近轴光束通过平行平板成像，则

因此，物点以近轴光经平行平板成像是完善的。

三、反射棱镜

1、反射棱镜的分类及作用

反射棱镜一般有两个折射面和若干个反射面，统称为工作面。两个工作面之交线称为棱，垂直棱的截面称为主截面。

2、屋脊棱镜

在光学系统中有奇数个反射面时，物体成镜像。为了获得和物相似的像，在不宜增加反射面的情况下，可以利用两个互相垂直的反射面代替其中的一个反射面，这两个互相垂直的反射面叫作屋脊面。

带有