第13章 时间序列分析和预测

第13章时间序列分析和预测学习目标时间序列及其分解原理时间序列的描述性分析时间序列的预测程序平稳序列的预测方法有趋势成分的序列的预测方法有季节成分的序列的预测方法复合型序列的分解预测时间序列分析最早的时间序列分析可以追溯到7000年前的古埃及。古埃及人把尼罗河涨落的情况逐天记录下来，就构成所谓的时间序列。对这个时间序列长期的观察使他们发现尼罗河的涨落非常有规律。由于掌握了尼罗河泛滥的规律，使得古埃及的农业迅速发展，从而创建了埃及灿烂的史前文明。

按照时间的顺序把随机事件变化发展的过程记录下来就构成了一个时间序列。对时间序列进行观察、研究，找寻它变化发展的规律，预测它将来的走势就是时间序列分析。我国GDP1978~1999年度数据上证指数月度数据香港恒生指数周线图描述性时序分析案例德国业余天文学家施瓦尔发现太阳黑子的活动具有11年左右的周期研究意义1、能够描述社会经济现象的发展状况和结果

2、能够研究社会经济现象的发展速度、发展趋势和平均水平，探索社会经济现象发展变化的规律，并据以对未来进行统计预测；3、能够利用不同的但互相联系的时间数列进行对比分析或相关分析。时间序列分析已经用在国民经济宏观控制、区域综合发展规划、企业经营管理、市场潜量预测、气象预报、水文预报、地震前兆预报、农作物病虫灾害预报、环境污染控制、生态平衡、天文学和海洋学等方面。时间序列分析方法与其它统计分析方法（回归分析）的主要区别1.时间序列分析方法明确强调变量值顺序的重要性，而其它统计分析方法则不必如此。2.时间序列各观察值之间存在一定的依存关系，而其它统计分析一般要求每一变量各自独立3.时间序列分析根据序列自身的变化规律来预测未来，而其它统计分析则根据某一变量与其它变量间的因果关系来预测该变量的未来。4.时间序列是一组随机变量的一次样本实现，而其它统计分析的样本值一般是对同一随机变量进行N次独立重复实验的结果。5.二者建模思路不同。时间序列

(timesseries)1. 同一现象在不同时间上的相继观察值排列而成的数列2. 形式上由现象所属的时间和现象在不同时间上的观察值两部分组成3. 排列的时间可以是年份、季度、月份或其他任何时间形式平稳序列(stationaryseries)

没有趋势的序列，各观察值在某个固定的水平上波动，但并不存在某种规律，而其波动是随机的.非平稳序列(non-stationaryseries)

包含趋势、季节性或周期性的序列，分为有趋势的序列，或有趋势、季节性和周期性的复合型序列.

含有不同成分的时间序列平稳趋势季节季节与趋势时间序列的成分时间序列的成分趋势T季节性S周期性C随机性I线性趋势非线性趋势平稳序列非平稳序列1.趋势(trend)呈现出某种持续向上或持续下降的状态或规律.2.季节性(seasonality)也称季节变动，是时间序列在一年内重复出现的周期性波动.3.周期性(cyclity)

也称循环波动，不是持续变化，而是一种上下波动，周期在一年以上，且周期长短不一.4.随机性(random)也称不规则波动，是除趋势、周期性和季节性之后的随机波动.时间序列的描述性分析图形描述

(例题分析)图形描述

(例题分析)线性指数三阶曲线随机波动描述性时序分析案例德国业余天文学家施瓦尔发现太阳黑子的活动具有11年左右的周期增长率分析增长率

(growthrate)也称增长速度报告期观察值与基期观察值之比减1，用百分比表示由于对比的基期不同，增长率可以分为环比增长率和定基增长率由于计算方法的不同，有一般增长率、平均增长率、年度化增长率1、环比增长率 报告期水平与前一期水平之比减12、定基增长率

报告期水平与某一固定时期水平之比减13、平均增长率

序列中各逐期环比值(也称环比发展速度)的几何平均数减1后的结果。描述现象在整个观察期内平均增长变化的程度环比和定基发展速度的联系环比发展速度的乘积等于相应的定基发展速度，相邻两期的定基发展速度之商等于后期的环比发展速度平均增长率

(例题分析)【例】计算1990-2004年的平增长率，并预测2005、2006年人均GDP。见人均GDP数据

年平均增长率为2005年和2006年人均GDP的预测值分别为增长率分析中应注意的问题当时间序列中的观察值出现0或负数时，不宜计算增长率例如：假定某企业连续5年的利润额分别为5，2，0，-3，2万元，对这一序列计算增长率，要么不符合数学公理，要么无法解释其实际意义。在这种情况下，适宜直接用绝对数进行分析在有些情况下，不能单纯就增长率论增长率，要注意增长率与绝对水平的结合分析

13.3时间序列预测的程序确定时间序列的类型找出适合此类时间序列的预测方法对预测方法进行评估，确定最佳预测方案利用最佳预测方案进行预测确定时间序列的成分1、确定趋势成分

(例题分析)【例】一种股票连续16周的收盘价如下表所示。试确定其趋势及其类型

确定趋势成分

(例题分析)直线趋势方程回归系数检验P=0.000179R2=0.645确定趋势成分

(例题分析)二次曲线方程回归系数检验P=0.000047R2=0.7841确定趋势成分

(例题分析)对数方程回归系数检验P=0.0000025R2=0.8046y=-3.2442Ln(t)+14.15SPSS分析SPSS结果2、确定季节成分

(例题分析)【例】下面是一家啤酒生产企业2000～2005年各季度的啤酒销售量数据。试根据这6年的数据绘制年度折叠时间序列图，并判断啤酒销售量是否存在季节性年度折叠时间序列图

(foldedannualtimeseriesplot)将每年的数据分开画在图上若序列只存在季节成分，年度折叠序列图中的折线将会有交叉若序列既含有季节成分又含有趋势，则年度折叠时间序列图中的折线将不会有交叉，而且如果趋势是上升的，后面年度的折线将会高于前面年度的折线，如果趋势是下降的，则后面年度的折线将低于前面年度的折线选择预测方法是否时间序列数据是否存在趋势否是是否存在季节是否存在季节否平滑法预测简单平均法移动平均法指数平滑法季节性预测法季节多元回归模型季节自回归模型时间序列分解是趋势预测方法线性趋势推测非线性趋势推测自回归预测模型均方误差MSE(meansquareerror)评估预测方法13.3平稳序列的平滑和预测

一、简单平均法二、移动平均法三、指数平滑法1、简单平均法(simpleaverage)

简单平均法是根据过去已有的t

期观察值来预测下一期的数值的一种预测方法.设时间序列已有的其观察值为则t+1期的预测值为有了t+1的实际值，便可计算出的预测误差为于是t+2期的预测值为

(1)适合对较为平稳的时间序列进行预测，即当时间序列没有趋势时，用该方法比较好.如果时间序列有趋势或有季节变动时，该方法的预测不够准确.(2)简单平均法将远期的数值和近期的数值看作对未来同等重要，从预测角度看，近期的数值要比远期的数值对为来有更大的作用.因此简单平均法预测的结果不够准确.2、移动平均法

(movingaverage)对简单平均法的一种改进方法通过对时间序列逐期递移求得一系列平均数作为预测值(也可作为趋势值)有简单移动平均法和加权移动平均法两种简单移动平均法

简单移动平均法将最近k

期的数据加以平均作为下一期的预测值.设移动间隔为k(1<k<t)，则t

期的移动平均值为t+1期的简单移动平均预测值为预测误差用均方误差(MSE)

来衡量

移动平均法奇数项移动平均:原数列移动平均新数列移动平均移正平均新数列原数列移动平均法偶数项移动平均:简单移动平均法的特点(1)将每个观察值都给予相同的权数.只使用最近期的数据，在每次计算移动平均值时，移动的间隔都为k.应用时，关键是确定合理的移动间隔长.可通过试验的办法，选择一个使均方误差达到最小的.(2)主要适合对较为平稳的时间序列进行预测.不能完整地反映原数列的长期趋势，不便于直接根据修匀后的数列进行预测。(3)由移动平均数组成的趋势值数列，较原数列的项数少，N为奇数时，趋势值数列首尾各少项；N为偶数时，首尾各少项；例13.7

对居民消费价格指数数据，分别取移动间隔k=3和k=5，用Excel计算各期的居民消费价格指数的平滑值(预测值)，计算出预测误差，并将原序列和预测后的序列绘制成图形进行比较.解：采用Excel进行移动平均的步骤.第1步：选择【工具】下拉菜单第2步：选择【数据分析】选项第3步：在分析工具中选择【移动平均】第4步：当对话框出现时在【输入区域】方框内键入时间序列的数据区域,在【间隔】方框内键入移动项数.图13-10消费价格指数移动平均趋势3、指数平滑法

(exponentialsmoothing)是加权平均的一种特殊形式对过去的观察值加权平均进行预测的一种方法观察值时间越远，其权数也跟着呈现指数的下降，因而称为指数平滑有一次指数平滑、二次指数平滑、三次指数平滑等一次指数平滑法也可用于对时间序列进行修匀，以消除随机波动，找出序列的变化趋势一次指数平滑

(singleexponentialsmoothing)只有一个平滑系数观察值离预测时期越久远，权数变得越小以一段时期的预测值与观察值的线性组合作为第t+1期的预测值，其预测模型为

Yt为第t期的实际观察值

Ft

为第t期的预测值为平滑系数(0<<1)一次指数平滑在开始计算时，没有第1期的预测值F1，通常可以设F1等于第1期的实际观察值，即F1=Y12期的预测值为3期的预测值为4期的预测值为预测精度，用误差均方来衡量

可见，Ft+1是第t期的预测值Ft加上用调整的第t期的预测误差(Yt-Ft)一次指数平滑

(的确定)不同的会对预测结果产生不同的影响当时间序列有较大的随机波动时，宜选较大的，以便能很快跟上近期的变化当时间序列比较平稳时，宜选较小的

选择时，还应考虑预测误差误差均方来衡量预测误差的大小确定时，可选择几个进行预测，然后找出预测误差最小的作为最后的值一次指数平滑

(例题分析)第1步：选择【工具】下拉菜单第2步：选择【数据分析】，并选择【指数平滑】，然后【确定】第3步：当对话框出现时

在【输入区域】中输入数据区域

在【阻尼系数】(注意：阻尼系数=1-)输入的值

选择【确定”】【例】对居民消费价格指数数据，选择适当的平滑系数，采用Excel进行指数平滑预测，计算出预测误差，并将原序列和预测后的序列绘制成图形进行比较一次指数平滑

(例题分析)一次指数平滑

(例题分析)13.5趋势序列及其预测方法趋势(trend)持续向上或持续下降的状态或规律有线性趋势和非线性趋势方法主要有线性趋势预测非线性趋势预测自回归模型预测几种趋势的适用范围1、线性趋势线：适合于增长/降低速率较稳定的数据。2、对数趋势线：适合于增长/降低速率开始较快，后逐渐趋于平缓的数据。3、多项式趋势线：适合于增长/降低速率波动较多的数据。CPI指数4、乘幂趋势线：适合于增长/降低速率持续增加，且增加幅度恒定的数据。5、指数趋势线：适合于增长/降低速率持续增加，且增加幅度越来越大的数据。1、线性趋势

(lineartrend)现象随着时间的推移而呈现出稳定增长或下降的线性变化规律由影响时间序列的基本因素作用形成时间序列的成分之一预测方法：线性模型法时间序列以几何级数递增或递减一般形式为2、指数曲线

(exponentialcurve)b0，b1为待定系数

若b1

>1，增长率随着时间t的增加而增加若b1

<1，增长率随着时间t的增加而降低，以0为极限y=aebxy=aebx若a>0，则lny=lna+bx令y'=lny，b0=lna，得：y'=b0+bxab<0x0yb>0yx0aa>0y=aebx指数曲线(例题分析)【例】根据轿车产量数据，确定指数曲线方程，计算出各期的预测值和预测误差，预测2005年的轿车产量，并将原序列和各期的预测值序列绘制成图形进行比较

指数曲线趋势方程：预测的估计标准误差：

2005年轿车产量的预测值

b1=1.27286表示1990—2004年轿车产量的年平均增长率为27.286%指数曲线

(例题分析)1.双曲线函数:

-b/aa>0b<0xy01/ay0x1/a-b/aa>0b>0令y'=1/y,x'=1/x,，得：y'=a+bx'二.非线性函数的线性化方法2.幂函数：

y=axb若a>0，则lny=lna+blnx令y'=lny，b0=lna，x'=lnx，得：y'=b0+bx'b>10<b<1b=1a>00xya1a>0yx0b<0a13.指数函数：y=aebx若a>0，则lny=lna+bx令y'=lny，b0=lna，得：y'=b0+bxab<0x0yb>0yx0aa>04.对数函数：y=a+b

lnx令x'=lnx，得：y=a+bx'b>0x0y0yxb<0有些现象的变化形态比较复杂，它们不是按照某种固定的形态变化，而是有升有降，在变化过程中可能有几个拐点。这时就需要拟合多项式函数当只有一个拐点时，可以拟合二阶曲线，即抛物线；当有两个拐点时，需要拟合三阶曲线；当有k-1个拐点时，需要拟合k阶曲线k阶曲线函数的一般形式为线性化后，根据最小二乘法求多阶曲线多阶曲线

(例题分析)【例】根据的金属切削机床产量数据，拟合适当的趋势曲线，计算出各期的预测值和预测误差，预测2005年的金属切削机床产量，并将原序列和各期的预测值序列绘制成图形进行比较三阶曲线方程：

2005年的预测值预测的估计标准误差：多阶曲线

(例题分析)趋势线的选择观察散点图根据观察数据本身，按以下标准选择趋势线一次差大体相同，配合直线二次差大体相同，配合二次曲线对数的一次差大体相同，配合指数曲线一次差的环比值大体相同，配合修正指数曲线对数一次差的环比值大体相同，配合Gompertz曲线倒数一次差的环比值大体相同，配合Logistic曲线3.比较估计标准误差在一般指数曲线的方程上增加一个常数项K一般形式为修正指数曲线

(modifiedexponentialcurve)K，b0，b1

为待定系数

K>0，b0

≠0，0<b1

≠1用于描述的现象：初期增长迅速，随后增长率逐渐降低，最终则以K为增长极限修正指数曲线

(求解k，b0，b1的三和法)

趋势值K无法事先确定时采用将时间序列观察值等分为三个部分，每部分有m个时期令预测值的三个局部总和分别等于原序列观察值的三个局部总和修正指数曲线

(求解k，b0，b1的三和法)

根据三和法求得设观察值的三个局部总和分别为S1，S2，S3修正指数曲线

(例题分析)【例】我国1990—2004年城镇新建住宅面积数据如右表所示。试确定修正指数曲线方程，计算出各期的预测值和预测误差，预测2005年的城镇新建住宅面积，并将原序列和各期的预测值序列绘制成图形进行比较

修正指数曲线

(例题分析)修正指数曲线

(例题分析)解得K，b0

，b1如下修正指数曲线

(例题分析)新建住宅面积的修正指数曲线方程2005年的预测值预测的估计标准误差修正指数曲线

(例题分析)以英国统计学家和数学家B·Gompertz

的名字而命名一般形式为Gompertz曲线

(Gompertzcurve)描述的现象：初期增长缓慢，以后逐渐加快，当达到一定程度后，增长率又逐渐下降，最后接近一条水平线两端都有渐近线，上渐近线为YK,下渐近线为Y=0K，b0，b1为待定系数

K>0，0<b0

≠1，0<b1≠1Gompertz曲线

(求解k，b0，b1的三和法)

仿照修正指数曲线的常数确定方法，求出lg

b0、lg

K、b1取

lg

b0、lg

K的反对数求得b0

和K

则有：将其改写为对数形式：令：Gompertz曲线

(例题分析)【例】我国1990—2004年城镇新建住宅面积数据如右表所示。试确定修正指数曲线方程，计算出各期的预测值和预测误差，预测2005年的城镇新建住宅面积，并将原序列和各期的预测值序列绘制成图形进行比较

Gompertz曲线

(例题分析)Gompertz曲线

(例题分析)Gompertz曲线计算过程Gompertz曲线

(例题分析)新建住宅面积的Gompertz曲线方程2005年的预测值预测的估计标准误差Gompertz曲线

(例题分析)有些现象的变化形态比较复杂，它们不是按照某种固定的形态变化，而是有升有降，在变化过程中可能有几个拐点。这时就需要拟合多项式函数当只有一个拐点时，可以拟合二阶曲线，即抛物线；当有两个拐点时，需要拟合三阶曲线；当有k-1个拐点时，需要拟合k阶曲线k阶曲线函数的一般形式为线性化后，根据最小二乘法求多阶曲线多阶曲线

(例题分析)【例】根据的金属切削机床产量数据，拟合适当的趋势曲线，计算出各期的预测值和预测误差，预测2005年的金属切削机床产量，并将原序列和各期的预测值序列绘制成图形进行比较三阶曲线方程：

2005年的预测值预测的估计标准误差：多阶曲线

(例题分析)趋势线的选择观察散点图根据观察数据本身，按以下标准选择趋势线一次差大体相同，配合直线二次差大体相同，配合二次曲线对数的一次差大体相同，配合指数曲线一次差的环比值大体相同，配合修正指数曲线对数一次差的环比值大体相同，配合Gompertz曲线倒数一次差的环比值大体相同，配合Logistic曲线3.比较估计标准误差确定并分离季节成分计算季节指数，将季节成分从时间序列中分离出去，以消除季节性建立预测模型并进行预测对消除季节成分的序列建立适当的预测模型，并根据这一模型进行预测计算出最后的预测值用预测值乘以相应的季节指数，得到最终的预测值13.7复合型序列的分解预测确定并分离季节成分季节指数

(例题分析)【例】下表是一家啤酒生产企业2000—2005年各季度的