第16章机械波和电磁波

第十六章机械波和电磁波§16-1机械波的产生和传播1.机械波产生的条件

波动是振动的传播过程。机械波：机械振动在介质中的传播过程。介质注：波动是波源的振动状态或振动能量在介质中的传播，介质的质点并不随波前进。波源产生机械振动的振源传播机械振动的介质电磁波：变化的电场和变化的磁场在空间的传播过程。2.横波和纵波横波：质点的振动方向和波的传播方向垂直。

注：在固体中可以传播横波或纵波，在液体、气体(因无剪切效应)中只能传播纵波。纵波：质点的振动方向和波的传播方向平行。振动方向传播方向波谷波峰波密波疏横波和纵波当波源作简谐振动时，介质中各个质点也作简谐振动，这时的波动称为简谐波(正弦波或余弦波)。纵波和横波的传播过程：3.波阵面和波射线波线：沿波的传播方向作的一些带箭头的线。波线的指向表示波的传播方向。波阵面：在波动过程中，把振动相位相同的点连成的面(简称波面)。波前：在任何时刻，波面有无数多个，最前方的波面即是波前。波前只有一个。平面波：波面为平面球面波：波面为球面柱面波：波面为柱面波阵面和波射线平面波球面波波线波阵面波阵面波线1、在各向同性介质中传播时，波线和波阵面垂直。注：2、在远离波源的球面波波面上的任何一个小部份，都可视为平面波。球面波、柱面波的形成过程：波阵面和波射线4.波的传播速度波速：单位时间内一定的振动状态所传播的距离，用表示，是描述振动状态在介质中传播快慢程度的物理量，的值通常取决于介质的弹性和质量密度。基本概念—应力或胁强—应变或胁变—正压力—受力面积—受力前立方体的体积—受力后立方体的体积—体积的增量(容变情形)波的传播速度体变模量（对于流体

）(长变情形)—应力或胁强—应变或胁变—横截面积杨氏模量(切变情形)—切向力—柱体底面积切变模量流体中传播声速对于理想气体，有,M,g,

R,T

分别为理想气体的摩尔质量，比热容比，普适气体常数，热力学温度。液体的表面可出现有重力和表面张力所引起的表面波，其速度计算式为：—液体深度—波长—表面张力系数—液体密度—重力加速度—双曲正切函数波阵面和波射线浅水波()深水波()固体介质中的横波和纵波声速表达式：横波纵波柔软细索和弦线中横波的传播速度：横波—细索或弦线中张力—细索或弦线单位长度的质量波阵面和波射线5.波长和频率频率和周期只决定于波源，和介质种类无关。周期：传播一个波长距离所用的时间，用T表示波长：简谐波动传播时，在同一条波线上，相差为的质点间的距离。用表示。波速、周期和波长之间存在如下关系：—波速—周期—波长—频率频率：周期的倒数，用表示。波长和频率波长、频率和波速之间的关系个当波长远大于介质分子间的距离时，宏观上介质可视为是连续的；若波长小到分子间距尺度时，介质不再具备连续性，此时不能传播弹性波。弹性波在介质中传播时存在一个频率上限。例16-1频率为3000Hz的声波，以1560m/s的传播速度沿一波线传播，经过波线上的A点后，再经13cm而传至B点。求(1)B点的振动比A点落后的时间。(2)波在A、B两点振动时的相位差是多少？(3)设波源作简谐振动，振幅为1mm，求振动速度的幅值，是否与波的传播速度相等？解(1)波的周期波长B点比A点落后的时间为即

。波长和频率(2)A、B

两点相差，B点比A点落后的相差为(3)振幅

A=1mm，则振动速度的幅值为振动速度是交变的，其幅值为18.8m/s，远小于波速。波长和频率解横波传播过程中各个质点在其平衡位置附近振动，且振动方向与传播方向垂直。头表示该波的传播方向。试分别用小箭头表明图中A、B、C、D、E、F、G、H、I各质点的运动方向，并画出经过1/4周期后的波形曲线。例16-2设某一时刻绳上横波的波形曲线如下图所示，水平箭根据图中的波动传播方向，可知在C以后的质点B和A开始振动的时刻总是落后于C点，而在C以前的质点D、E、F、G、H、I开始振动的时刻却都超前于C点。波长和频率在C达到正的最大位移时，质点B和A都沿着正方向运动，向着各自的正的最大位移行进,质点B比A更接近于自己的目标。质点F、E、D已经过各自的正的最大位移，而进行向负方向的运动。质点I、H不仅已经过了自己的正的最大位移，而且还经过了负的最大位移，而进行着正方向的运动。质点G则处于负的最大位移处。波长和频率经过T/4，波形曲线如下图所示，它表明原来位于C和I间的波形经过T/4，已经传播到A、G之间来了。波长和频率§16-2平面简谐波波动方程

波动方程：描述介质中各质点的位移随时间的变化关系。

平面简谐波传播时，介质中各质点都作同一频率的简谐波动，在任一时刻，各点的振动相位一般不同，它们的位移也不相同。据波阵面的定义可知，任一时刻在同一波阵面上的各点有相同的相位，它们离开各自的平衡位置有相同的位移。平面简谐波1.平面简谐波的波动表式平面简谐行波，在无吸收的均匀无限介质中沿x

轴的正方向传播，波速为u

。取任意一条波线为x

轴，取O

作为x轴的原点。O点处质点的振动表式为平面简谐波的波动表式考察波线上任意点P，P点振动的相位将落后于O点。若振动从O传到P所需的时间为t，在时刻t，P点处质点的位移就是O点处质点在t–t

时刻的位移，从相位来说，P点将落后于O点，其相位差为

t

。P点处质点在时刻t的位移为：因波线上任一点的质点任一瞬时的位移由上式给出，此即所求的沿x

轴方向前进的平面简谐波的波动方程。利用关系式

和，得其中平面简谐波的波动表式波动表式的意义：上式代表x1处质点在其平衡位置附近以角频率w作简谐运动。即x

一定。令x=x1，则质点位移y

仅是时间t

的函数。t一定。令t=t1，则质点位移y仅是x的函数。平面简谐波的波动表式即以y为纵坐标、x为横坐标，得到一条余弦曲线，它是t1时刻波线上各个质点偏离各自平衡位置的位移所构成的波形曲线(波形图)。平面简谐波的波动表式沿波线方向，任意两点x1、x2的简谐运动相位差为：x、t都变化。实线：t1时刻波形；虚线：t2时刻波形Dx=uDt波的传播平面简谐波的波动表式当t=t1时，当t=t1+Δt时，

在t1和t1+Δt时刻，有

平面简谐波的波动表式

显然，令x(2)=x(1)+uΔt，得

这就是说，在（t1+Δt）时刻，位于x(2)=x(1)+uΔt处的质点的位移，正好等于在t1时刻位于x(1)处质点的位移。即在Δt时间内,整个波形向波的传播方向移动了Δx=x(2)-x(1)=uΔt，波速u是整个波形向前传播的速度。平面简谐波的波动表式沿x

轴负方向传播的平面简谐波的表达式O点简谐运动方程：y

xoP点的运动方程为：平面简谐波的波动表式2.波动方程对

求x、t

的二阶偏导数,得到任何物理量y，若它与时间、坐标间的关系满足上式，则这一物理量就按波的形式传播。平面波的波动微分方程在三维空间中的一切波动过程，只要介质无吸收且各向同性，都适合下式：波动方程代表振动位移。球面波的波动方程：球面波的余弦表式如下：——振幅3.波动方程的推导设固体细长棒的截面为S、密度为体积元ab，其原长为x，体积为V=Sx。a

处胁强b

处胁强波动方程的推导体积元所受合力：体积元质量为S

x

，其振速为v，据牛顿第二定律，得因—协变—杨氏模量利用

，牛顿第二定律变为：将求导后代入微分方程后可知，当时等式成立。细长棒中传播的纵波的波速为按照偏微分方程理论，方程的一般解为：波动方程的推导例题16-3频率为=12.5kHz的平面余弦纵波沿细长的金属棒传播，棒的杨氏模量为Y=1.91011N/m2，棒的密度=7.6103kg/m3。如以棒上某点取为坐标原点，已知原点处质点振动的振幅为A=0.1mm，试求:(1)原点处质点的振动表式，(2)波动表式，(3)离原点10cm处质点的振动表式，(4)离原点20cm和30cm两点处质点振动的相位差，(5)在原点振动0.0021s时的波形。解棒中的波速波长波动方程的推导周期(1)原点处质点的振动表式y0=Acos

t=0.110-3cos(212.5103t)m=0.110-3cos25103tm

(2)波动表式式中x以m计，t以s计。(3)离原点10cm处质点的振动表式波动方程的推导可见此点的振动相位比原点落后，相位差为

，或落后，即210-5s。(4)该两点间的距离，相应的相位差为(5)t

=0.0021s时的波形为式中x以m计。波动方程的推导例题16-4一横波沿一弦线传播。设已知t=0时的波形曲线如下图中的虚线所示。弦上张力为3.6N，线密度为25g/m，求(1)振幅，(2)波长，(3)波速，(4)波的周期，(5)弦上任一质点的最大速率，(6)图中a、b两点的相位差，(7)3T/4时的波形曲线。

t

=0波动方程的推导解由波形曲线图可看出：(3)由波速公式计算出(2)=40cm；(1)A=0.5cm；(4)波的周期波动方程的推导(5)质点的最大速率(6)a、b两点相隔半个波长，b点处质点比a点处质点的相位落后

。

(7)3T/4时的波形如下图中实线所示，波峰M1和M2已分别右移

而到达

和

处。t=3T/4波动方程的推导§16-3波的能量波的强度弹性波传播到介质中的某处，该处将具有动能和势能。在波的传播过程中，能量从波源向外传播。1.波的能量考虑棒中的体积V，其质量为m(m=V)。当波动传播到该体积元时，将具有动能Wk和弹性势能Wp。平面简谐波可以证明波的能量体积元的总机械能W对单个谐振子在波的传播过程中，任一体积元都在不断地接受和放出能量，其值是时间的函数。与振动情形相比，波动传播能量，振动系统并不传播能量。波的能量密度：介质中单位体积的波动能量。通常取能量密度在一个周期内的平均值2.波动能量的推导位于x处的体积元ab

的动能为体积元ab

的振速波动能量的推导体积元ab

的胁变据杨氏模量定义和胡克定律,该积元所受弹性力为体积元弹性势能由V=Sx

,，结合波动表达式

最后得：若考虑平面余弦弹性横波,只要把上述计算中的和

f分别理解为体积元的切变和切力,用切变模量G代替杨氏模量Y，可得到同样的结果。波动能量的推导3.波的强度能流在介质中垂直于波速方向取一面积S

，在单位时间内通过S的能量。平均能流：平均能流密度或波的强度通过与波传播方向垂直的单位面积的平均能流，用I

来表示，即波的强度介质的特性阻抗。I的单位：瓦特/米2(W.m-2)平面余弦行波振幅不变的意义:若，有

。对于球面波，

，，介质不吸收能量时，通过两个球面的总能流相等球面波表达式：式中a为波在离原点单位距离处振幅的数值。波的强度例题16-5用聚焦超声波的方式，可以在液体中产生强度达120kW/cm2的大振幅超声波。设波源作简谐振动，频率为500kHz，液体的密度为1g/cm3，声速为1500m/s，求这时液体质点振动的振幅。解因，所以可见液体中声振动的振幅实示上是极小的。波的强度4.波的吸收若波不被介质吸收，对于平面简谐波，S1和S2处振幅相同。若介质吸收机械波的能量，则波线上不同点处振幅是不相同的。上图的dA

<

0。---介质的吸收系数。若a为常数,则有A0为x

=

0处的振幅。式中的I0和I分别为x=0和x=x处的波的强度。波的吸收例题16-6空气中声波的吸收系数为1=210-11v2m-1，钢中的吸收系数为2=410-7vm-1，式中v代表声波频率的数值。问5MHz的超声波透过多少厚度的空气或钢后，其声强减为原来的1%？解据题意，空气和钢的吸收系数分别为2=410-7(5106)2m-1=2m-1

1=210-11(5106)2m-1=500m-1把1、2

分别代入

I=I0e-2

x或下式，

波的吸收据题意有，得空气的厚度钢的厚度为可见高频超声波很难透过气体，但极易透过固体。波的吸收§16-4声波按频率范围划分：1.声压次声波f

<

20Hz

声波20

<

f

<2000Hz超声波f

>2000Hz介质中有声波传播时的压强与无声波时的静压强之差称为声压。设介质中没有声波时的压强为p0，有声波时各处的实际压强为p。p=p-p0是声压,用p来有示。声压密度为的流体中传播平面波的方程：

在流体中

x

处取一截面积为S、长度为x

的柱形体积元，其体积V=Sx。当声波传播时，这段流体柱两端的位移分别为y和y+y。体积增量为V=Sy。

流体体变弹性模量流体中有声波传播时，式中压强增量

p就是声压p。或对于平面波，有声压考虑为声压振幅。将声压表达式改写为：因此，声压波比位移波在相位上落后。声压2.声强声强级

声强是声波的平均能流密度，即单位时间内通过垂直于声波传播方向的单位面积的声能量。声压和声强随频率增加而增大。对于每个可闻频率，声强有上下两个限值。痛觉阈：恰好能引起痛觉的最低声强。听觉阈：恰好能引起听觉的最低声强。声强的上下限值随频率而异。声强声强级在1000Hz时，正常人听觉的最高声强为1W/m2,最低声强为10-12W/m2。将I

0=

10-12W/m2作为测定声强的标准。声强级单位为贝尔（bel）。若采用分贝（dB），声强级公式为几种典型声音的声强级：聚焦超声波的声强级—210dB炮声的声强级—110dB细语—10dB把加速度振幅am=A2代入声强表达式，得对于极大的高频声强情形，压力振幅可达千百个大气压，获得的加速度振幅可达重力加速度的数百万倍。高频超声波的作用异常巨大。对于频率极低的次声波，其波长很长，只有遇到非常大的障碍物或介质分界面时，才会发生明显的反射和折射。声强声强级例题16-7频率为500kHz，声强为1200W/m2,声速为1500m/s的超声波，在水(水的密度为1g/cm3)中传播时,求其声压振幅为多少大气压?又位移振幅、加速度振幅各为多少？解I=1200W/m2，

=1103kg/m3，利用声强表达式得声压振幅:位移振幅:声强声强级am=A

2=1.2710-8(2

500103)2

m/s2加速度振幅:=1.26105m/s2≈重力加速度的1.29104倍

解毕。声强声强级§16-5电磁波1.平面电磁波的波动方程变化的电场和变化的磁场不断地交替产生，由近及远以有限的速度在空间传播，形成电磁波。最初由麦克斯韦在理论上预言，1888年赫兹进行了实验证实。在无限大均匀绝缘介质(或真空)中，=0，=0，且介电常量

和磁导率

是常量。麦克斯韦方程简化为：平面电磁波的波动方程讨论一维问题,场量E和H是坐标

x

和时间

t

的函数。前述方程组可简化为：平面电磁波的波动方程经过一系列变换，得到表明变化电磁场

Ey和Hz是按波动形式传播。去掉Ey和Hz的下标

y

和

z，得（E沿y方向）（H沿z方向）平面电磁波的波动方程平面电磁波的波动方程电磁波的波速真空中的波速

平面电磁波的波动方程2.电磁波的性质电磁波是横波。沿

x

轴正方向传播的平面余弦电磁波特解：据计算出H：电磁波的性质积分得

——H的振幅

H和E有相同的频率,且两者同相位，二者满足瞬时关系：平面简谐电磁波的传播(1)电磁波的电场和磁场都垂直于波的传播方向,三者相互垂直,并构成右手螺旋关系。电磁波是横波。电磁波的一般性质：电磁波的性质(4)任一时刻、空间任一点,E和H在量值上满足(2)沿给定方向传播的电磁波,E和H分别在各自平面内振动，这种特性称为偏振。(3)E和H作周期性的变化，而且相位相同，同地同时达到最大，同地同时减到最小。(5)电磁波的传播速度通常

和与电磁波的频率有关，在介质中不同频率的电磁波具有不同的传播速度，此即电磁波在介质中的色散现象。电磁波的性质3.电磁波的能量电磁波所携带的电磁能量，称为辐射能。单位时间内通过垂直于传播方向的单位面积的辐射能,称为能流密度或辐射强度。电场和磁场的能量体密度分别为电磁场的总能量体密度：辐射能量的传播速度是电磁波的传播速度，辐射能的传播方向是电磁波的传播方向。电磁波的能量dA—P点处垂直于电磁波传播方向的微小面积空间某点辐射强度的计算dl—底面积为dA的小长方

体的高dAPdl小长方体中的电磁能量为w

dA

dl

P点处的辐射强度S：

波速利用得辐射能的传播方向、E的方向及H的方向三者相互垂直，辐射强度用矢量式表示为：辐射强度矢量S也称为坡印廷(J.H.Poynting)矢量。电磁波的能量考虑平面余弦电磁波的情形据辐射强度计算公式，得取一个周期内的平均值，的时间平均值为1/2，平均辐射强度因

以及，得电磁波的能量例题16-8设有一平面电磁波在真空中传播,电磁波通过某点时，该点的E=50V/m。试求该时刻该点的B

和H

的大小，以及电磁能量密度w和辐射强度S的大小。解由B=0H

和以及

得电磁能量密度:w=0E2=8.8510-12502J/m3=2.2110-8J/m3辐射强度:S=E

H=500.134J/(m2s)=6.7J/(m2s)电磁波的能量例题16-9某广播电台的平均辐射功率。假定辐射出来的能流均匀地分布在以电台为中心的半个球面上,(1)求在离电台为r=10km处的辐射强度;(2)在r=10km处一个小的空间范围内电磁波可看作平面波,求该处电场强度和磁场强度的振幅。解(1)在距电台r

=10km处,辐射强度的平均值为(2)由,得解毕。电磁波的能量4.电磁波的动量电磁场是客观存在的物质，具有能量和动量。质能关系：W

—电磁能量单位体积中电磁场的质量：w

—单位体积的电磁能量单位体积中电磁场的动量：辐射强度(或能流密度):S=w

c

动量流密度:在单位时间内,通过垂直于传播方向的单位面积的电磁动量。电磁波的动量动量流密度：电磁波入射到一物体上,伴随着动量的传递,对物体表面产生辐射压力。单位面积所爱的辐射压力（条件：垂直入射且被全部吸收）单位面积所爱的辐射压力（条件：垂直入射且被全部反射）辐射压力测量原理图5.电磁波的辐射提高振荡电流辐射电磁场的方法

任何振动电荷或电荷系都是发射电磁波的波源，如天线中振荡的电流、原子或分子中电荷的振动都会在其周围空间产生电磁波。ILC+q-q振荡偶极子：电流在直线形电路中往复振荡,两端出现正负交替的等量异号电荷。电磁波的辐射赫兹在1888年采用振荡偶极子，实现了发送和接收电磁波。采用下图装置，证实了振荡偶极子能够发射电磁波。赫兹电磁理论证明,振荡偶极子在单位时间内辐射的能量与频率的四次方成正比。为有效辐射电磁能量，要求：(1)振荡电路中所产生的电场和磁场必须散布到周围的空间中(2)提高辐射频率振荡偶极子电矩：

一条闭合电场线的形成过程电磁波的辐射振荡电偶极子不仅产生电场，而且产生磁场。振荡电偶极子周围的电磁场线如下图示：电磁波的辐射振荡偶极子在真空中、远离偶极子的P点处、在时刻

t

的E、H的量值可表为电磁波的辐射振荡偶极子的辐射强度：因得—方向因子os电磁波的辐射6.电磁波谱电磁波谱:按照频率或波长的顺序把电磁波排列成图表。电磁波谱各种无线电波的范围及用途0.400.450.500.550.600.650.700.75紫蓝青绿黄橙红可见光能使人眼产生视觉效应的电磁波段。红外线波长范围在0.76～750mm之间的电磁波。红外线最显著的性质是热效应。紫外线波长范围在4×10-7～10-9m之间的电磁波。紫外线有明显的生理作用。电磁波谱X射线(伦琴射线)波长比紫外线更短的电磁波，其波长范围在10-7～10-13m之间。X射线具有很强的穿透能力。射线在原子核内部的变化过程(常称衰变)发出的一种波长极短的电磁波，其波长在3×10-8～10-14m以下。

射线可应用于对金属探伤等，研究

射线可以帮助了解原子核的结构。

电磁波谱§16-6惠更斯原理波的衍射反射和折射1.惠更斯原理波在弹性介质中运动时,任一点P的振动,将会引起邻近质点的振动。就此特征而言，振动着的

P点与波源相比，除了在时间上有延迟外，并无其他区别。因此，P

可视为一个新的波源。1678年，惠更斯总结出了以其名字命名的惠更斯原理：介质中任一波面上的各点，都可看成是产生球面子波的波源；在其后的任一时刻，这些子波的包络面构成新的波面。惠更斯惠更斯原理障碍物的小孔成为新的波源原波阵面新波阵面S1S2t时刻t+Dt时刻uDtt

+t时刻波面·平面波····ut波传播方向t

时刻波面球面波··············tt+t····a惠更斯原理2.波的衍射当波在传播过程中遇到障碍物时，其传播方向绕过障碍物发生偏折的现象，称为波的衍射。波在窄缝的衍射效应3.波的反射和折射反射与折射也是波的特征，当波传播到两种介质的分界面时，波的一部分在界面返回，形成反射波，另一部分进入另一种介质形成折射波。in1n2CABDirr折射定律的推导4.反射波、透射波的强度和相位平面简谐波垂直入射到两种介质的交界面上,设界面处x=0，并设入射波在x=0处的振动初相位为零。入射波、反射波和透射波的表达式为：入射波反射波透射波和

2分别为x=0处反射波、透射波的振动相对入射波振动的相位差。反射波、透射波的强度和相位入射波反射波透射波介质1介质2将入射波、反射波和透射波的表达式以指数形式给出：x=0处边界条件：振动位移连续：

应力连续：结合上述等式的等号右方是实数,导致和

也应为实数。

反射波、透射波的强度和相位当，当，半波损失强度反射系数：反射波强度与入射波强度之比。（能量守恒）反射波、透射波的强度和相位5.电磁波的反射和折射介质1(n1)介质2(n2)电场矢量平行于入射面的情形：幅度反射系数幅度透射系数电磁波的反射和折射介质1(n1)介质2(n2)电场矢量垂直于入射面的情形：当电磁波垂直入射时，存在幅度反射系数强度反射系数§16-7波的叠加原理波的干涉驻波1.波的叠加

波传播的独立性:几个波源产生的波，同时在一介质中传播,如果这几列波在空间某点处相遇，那么每一列波都将独立地保持自己原有的特性(频率、波长、振动方向等)传播。1S2S波的叠加波的叠加原理:有几列波同时在媒质中传播时，它们的传播特性（波长、频率、波速、波形）不会因其它波的存在而发生影响。在相遇区域，合振动是分振动的叠加。叠加原理表明，可将任何复杂的波分解为一系列简谐波的组合。2.波的干涉干涉条件：振动方向相同频率相同相位相同或相位差恒定相干波：满足相干条件的几列波称为相干波。相干波源：能发出相干波的波源称为相干波源。干涉现象：满足干涉条件的几列波在空间任何一点相遇时，在空间某些点处，振动始终加强，而在另一点处，振动始终减弱或完全抵消的现象。波的干涉强弱分布规律两个相干波源波源S1和

S2的振动方程分别为：S1和

S2单独存在时,在P点引起的振动的方程为:P

点的合方程为:振幅A和相位f

0对于P点

为恒量，因此

A

也是恒量，并与

P点空间位置密切相关。波的干涉（合振幅最大）（合振幅最小）当时，得当时，得当

为其他值时，合振幅介于若f10=f20，上述条件简化为：（合振幅最大）（合振幅最小）波的干涉和之间波程差两列相干波源为同相位时，在两列波的叠加的区域内，在波程差于零或等于波长的整数倍的各点，振幅最大；在波程差等于半波长的奇数倍的各点，振幅最小。若I1=I2，叠加后波的强度：波的干涉因波的强度正比于振幅的平方同频率、同方向、相位差恒定的两列波,在相遇区域内,某些点处振动始终加强,另一些点处的振动始终减弱,这一现象称为干涉现象。干涉现象的强度分布波的干涉干涉现象的强度分布波的干涉例题16-10试计算并分析两个频率相近、振幅相等、同方向振动的简谐波的叠加。解波动方式：叠加后得到xy波的干涉变化缓慢（对应包络曲线）或或xy令波的干涉把看成是一个角频率为、波数为

的波，这个波的速度为：

Am(x,t)具有沿x方向传播的简谐波的形式,它的角频率和波数分别为波速两个频率相近、等振幅的简谐波叠加的结果是一个振幅缓慢变化的波,它的角频率为

，波数为,波速为。它的振幅的变化也像一个传播的波,它的角频率为,波数为,波速为。上述讨论的合成波称为波包。相速度群速度波的干涉3.驻波驻波的形成

驻波是两列振幅相同的相干波在同一条直线上沿相反方向传播时叠加而成的。驻波实验——弦线上的驻波：驻波实验——弦线上的驻波：OACEFGHBD波节OBDFH波腹ACEG沿x轴的正、负方向传播的波合成波合成波的振幅与位置x

有关。波腹位置驻波波节位置相邻两个波腹(节)间的距离为

。在驻波形成后，各个质点分别在各自的平衡位置附近作简谐运动。能量(动能和势能)在波节和波腹之间来回传递，无能量的传播。能量分布驻波相位分布图相位分布振幅项

可正可负,时间项对波线上所有质点有相同的值，表明驻波上相邻波节间质点振动相位相同，波节两边的质点的振动有相位差p

。驻波对于波沿分界面垂直入射的情形,把密度与波速u的乘积u较大的介质称为波密介质，u

较小的介质称为波疏介质。当波从波疏介质传播到波密介质，分界面反射点是波节，表明入射波在反射点反射时有相位的突变相当于在波程上突变。这一现象称为半波损失。

波疏波密波疏波密驻波4.弦线上的驻波弦线长度等于半波长的整数倍时形成驻波。——驻波条件两