高中数学人教B版第二章数列学业分层测评12

学业分层测评(十二)等比数列(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．2＋eq\r(3)与2－eq\r(3)的等比中项是()A．1 B.－1C．±1 【解析】2＋eq\r(3)与2－eq\r(3)的等比中项为G＝±eq\r(2＋\r(3)2－\r(3))＝±1，故选C.【答案】C2．在等比数列{an}中，a2016＝8a2015，则公比qA．2 B．3C．4 【解析】因为a2016＝8a2015，所以a1q2015＝8a1·q2014，解得q＝8.【答案】D3．已知一等比数列的前三项依次为x,2x＋2,3x＋3，那么－13eq\f(1,2)是此数列的()A．第2项 B．第4项C．第6项 D.第8项【解析】由x,2x＋2,3x＋3成等比数列，可知(2x＋2)2＝x(3x＋3)，解得x＝－1或－4，又当x＝－1时，2x＋2＝0，这与等比数列的定义相矛盾．∴x＝－4，∴该数列是首项为－4，公比为eq\f(3,2)的等比数列，其通项an＝－4eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))n－1，由－4eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))n－1＝－13eq\f(1,2)，得n＝4.【答案】B4．已知a，b，c，d成等比数列，且曲线y＝x2－2x＋3的顶点坐标是(b，c)，则ad等于()A．3 B．2C．1 D.－2【解析】由y＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2，得b＝1，c＝2.又a，b，c，d成等比数列，即a,1,2，d成等比数列，所以d＝4，a＝eq\f(1,2)，故ad＝4×eq\f(1,2)＝2.【答案】B5．(2023·全国卷Ⅱ)已知等比数列{an}满足a1＝3，a1＋a3＋a5＝21，则a3＋a5＋a7＝()A．21 B．42C．63 【解析】∵a1＝3，a1＋a3＋a5＝21，∴3＋3q2＋3q4＝21，∴1＋q2＋q4＝7，解得q2＝2或q2＝－3(舍去)．∴a3＋a5＋a7＝q2(a1＋a3＋a5)＝2×21＝42.故选B.【答案】B二、填空题6．已知等比数列{an}中，a1＝2，且a4a6＝4aeq\o\al(2,7)，则a3＝________.【导学号：33300066】【解析】设等比数列{an}的公比为q，由已知条件得aeq\o\al(2,5)＝4·aeq\o\al(2,5)q4.∴q4＝eq\f(1,4)，q2＝eq\f(1,2)，∴a3＝a1q2＝2×eq\f(1,2)＝1.【答案】17．已知等比数列{an}中，a3＝3，a10＝384，则该数列的通项an＝________.【解析】由已知得eq\f(a10,a3)＝eq\f(a1q9,a1q2)＝q7＝128＝27，故q＝2.所以an＝a1qn－1＝a1q2·qn－3＝a3·qn－3＝3×2n－3.【答案】3×2n－38．在等比数列{an}中，an>0，且a1＋a2＝1，a3＋a4＝9，则a4＋a5＝________.【解析】由已知a1＋a2＝1，a3＋a4＝9，∴q2＝9.∴q＝3(q＝－3舍)，∴a4＋a5＝(a3＋a4)q＝27.【答案】27三、解答题9．在各项均为负的等比数列{an}中，2an＝3an＋1，且a2·a5＝eq\f(8,27).(1)求数列{an}的通项公式；(2)－eq\f(16,81)是否为该数列的项？若是，为第几项？【解】(1)因为2an＝3an＋1，所以eq\f(an＋1,an)＝eq\f(2,3)，数列{an}是公比为eq\f(2,3)的等比数列，又a2·a5＝eq\f(8,27)，所以aeq\o\al(2,1)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))5＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))3，由于各项均为负，故a1＝－eq\f(3,2)，an＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))n－2.(2)设an＝－eq\f(16,81)，则－eq\f(16,81)＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))n－2，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))n－2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))4，n＝6，所以－eq\f(16,81)是该数列的项，为第6项．10．数列{an}，{bn}满足下列条件：a1＝0，a2＝1，an＋2＝eq\f(an＋an＋1,2)，bn＝an＋1－an.(1)求证：{bn}是等比数列；(2)求{bn}的通项公式．【解】(1)证明：∵2an＋2＝an＋an＋1，∴eq\f(bn＋1,bn)＝eq\f(an＋2－an＋1,an＋1－an)＝eq\f(\f(an＋an＋1,2)－an＋1,an＋1－an)＝－eq\f(1,2).∴{bn}是等比数列．(2)∵b1＝a2－a1＝1，公比q＝－eq\f(1,2)，∴bn＝1×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))n－1＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))n－1.[能力提升]1．已知等比数列{an}中，各项都是正数，且a1，eq\f(1,2)a3,2a2成等差数列，则eq\f(a6＋a7,a8＋a9)等于()\r(2)＋1 B．3＋2eq\r(2)C．3－2eq\r(2) \r(2)－3【解析】设等比数列{an}的公比为q，由于a1，eq\f(1,2)a3,2a2成等差数列，则2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)a3))＝a1＋2a2，即a3＝a1＋2a2，所以a1q2＝a1＋2a1q.由于a1≠0，所以q2＝1＋2q，解得q＝1±eq\r(2).又等比数列{an}中各项都是正数，所以q>0，所以q＝1＋eq\r(2).所以eq\f(a6＋a7,a8＋a9)＝eq\f(a1q5＋a1q6,a1q7＋a1q8)＝eq\f(1,q2)＝eq\f(1,1＋\r(2)2)＝3－2eq\r(2).【答案】C2．(2023·全国卷Ⅱ)已知等比数列{an}满足a1＝eq\f(1,4)，a3a5＝4(a4－1)，则a2＝()A．2 B．1\f(1,2) \f(1,8)【解析】法一∵a3a5＝aeq\o\al(2,4)，a3a5＝4(a4－1)，∴aeq\o\al(2,4)＝4(a4－1)，∴aeq\o\al(2,4)－4a4＋4＝0，∴a4＝2.又∵q3＝eq\f(a4,a1)＝eq\f(2,\f(1,4))＝8，∴q＝2，∴a2＝a1q＝eq\f(1,4)×2＝eq\f(1,2)，故选C.法二∵a3a5＝4(a4－1)，∴a1q2·a1q4＝4(a1q3－1)，将a1＝eq\f(1,4)代入上式并整理，得q6－16q3＋64＝0，解得q＝2，∴a2＝a1q＝eq\f(1,2)，故选C.【答案】C3．(2023·浙江高考)已知{an}是等差数列，公差d不为零．若a2，a3，a7成等比数列，且2a1＋a2＝1，则a1＝________，d【解析】∵a2，a3，a7成等比数列，∴aeq\o\al(2,3)＝a2a7，∴(a1＋2d)2＝(a1＋d)(a1＋6d)，即2d＋3a1＝0.①又∵2a1＋a2＝1，∴3a1＋d＝1.②由①②解得a1＝eq\f(2,3)，d＝－1.【答案】eq\f(2,3)－14．已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝2an＋1.(1)求证：数列{an＋1}是