第四章数字控制器的模拟设计法

第4章计算机控制系统的模拟化设计本章主要教学内容

1.设计方法概述2.传递函数与Z传递函数的相互转换3.数字PID调节器的设计4.1概述典型的计算机控制系统如下图所示。设计计算机控制系统，主要是设计数字控制器，使上图所示的闭环控制系统既要满足系统的期望指标，又●计算机设计方法概述图4.1-1计算机控制系统实用、结构简单并易于实现的数字控制器是计算机控制系统的主要设计任务之一。数字控制器的设计方法经典法状态空间设计法间接设计法—模拟化设计法直接设计法—数字化设计法又要满足实时控制的要求。因此，设计一个可靠、●模拟化设计法数字控制器的模拟化设计法就是先将计算机控制系统看作模拟系统（如图4.1-2所示），针对该模拟系统的被控对象的传递函数和系统的性能指标要求，运用连续系统的理论和方法设计闭环控制系统的模拟控制器（校正装置），然后利用本章介绍的离散图4.1-2连续控制系统化方法将其离散为数字控制器，即转换成图4.1-3所示的计算机控制系统。图4.1-3

离散闭环控制系统由于人们对于连续控制系统的设计方法（如频率法、根轨迹法等）比较熟悉，从而应用模拟方法设计数字控制器比较易于接受和掌握。但是这种方法并不是按照真实情况设计的，因此又可称为间接设计法。●模拟控制器D(s)与数字控制器D(z)的等效原理和等效条件图4.1-4零阶保持器的信息传递设有模拟信号，零阶保持器的输入为，输出为。离散信号的频谱函数为

—采样角频率零阶保持器的传递函数为其频率特性为零阶保持器输出的频率特性当信号的截止频率时，则于是上式说明，输出和输入频谱的的差别是是有零阶保持器产生的相位移，如果能补偿这一相位移或者大大减小这一相位移对系统的影响（如前置滤波、超前校正等），就可以保证离散控制器和模拟控制器具有完全一致或非常接近的频率特性，即实现二者的完全等效。若时，其滞后相角大约为，于是就有即由以上分析可知，若系统的采样频率相对于系统的工作频率是足够高的，以至于采样保持器所引起的附加滞后影响可忽略时，系统的数字控制器可用模拟控制器代替，使整个系统可用模拟化方法设计。等效的必要条件是采样频率足够小。●模拟化设计法的步骤：（1）在已知被控对象的传递函数G(s)的情况下，根据性能指标要求，用连续系统的设计方法确定闭环反馈控制系统的模拟控制器D(s)。如图4.1-2所示。（2）选择适当的离散化方法将D(s)转换为数字调节器D(z)。（3）用求得的D(z)构成图4.1-3所示的离散控制系统，并分析系统的动态特性，看其是否满足要求。若满足要求，设计过程结束，否则进行再设计。（5）将D(z)转化为差分方程，在计算机上用数字算法实现。为简便起见，零阶保持器的传递函数可近似为4.1.2传递函数与Z传递函数的相互转换转换方法Z变换法差分法冲激响应不变法阶跃不变法零阶保持器法零极点点匹配映射法后向差分法前向差分法双线性变换法预防频率失真的双线性变换法从信号理论角度看，模拟控制器就是模拟信号滤波器应用于反馈控制系统作为校正装置。模拟控制器离散化成的数字控制器，也可以认为是数字滤波器。离散后的数字控制器与等效前的连续控制器应具有近似相同的动态特性和频率响应特性，这是不容易实现的。采用某种离散化技术可能达到相同或几乎相同的脉冲响应特性，但不能具有较好的频率响应逼真度，反之亦然。对于大多数情况，要匹配等效前后的频率响应特性是很困难的。离散后数字控制器的动态特性取决于采样频率和特定的离散化方法。如果采样频率足够高，等效离散的数字控制器和原连续控制器具有很近似的特性。4.2.1冲激不变法基本思想：设计的数字控制器的Z传递函数D(z)的单位冲激响应序列d(kT)与其对应的传递函数D(s)的单位脉冲响应d(t)的采样值相等。即由来建立D(z)与D(s)的等效关系。一般连续环节的传递函数可展成部分分式它的单位脉冲响应对采样，有式中：为连续环节的参数。按等效的要求，与对应的为可见，用冲激不变法将D(s)转换为D(z)就是第三章讨论过的部分分式法求Z变换。冲激不变法的特点：（1）D(z)与D(s)的脉冲响应相同。（2）若D(s)稳定，则D(z)稳定。（4）D(z)将的整数倍频率变换到Z平面上的同一个点的频率，因而出现了混叠现象。（3）D(z)不能保持D(s)的频率响应。此法的应用范围：连续控制器D(s)应具有部分分式结构或能较容易地分解为并联结构。D(s)具有陡的衰减特性，且为有限带宽信号的场合。这时采样频率足够高，可减少频率混叠影响，从而保证D(z)的频率特性接近原连续控制器D(s)。则与等效。4.2.2阶跃不变法基本思想：数字控制器的Z传递函数D(z)的单位阶跃响应序列u(kT)等于连续传递函数D(s)的单位阶约响应u(t)的采样值。即，若连续环节单位阶跃响应是离散值基本思想：用零阶保持器与模拟控制器串按设计要求数字调节器4.2.3零阶保持器法联，然后进行Z变换离散化为。即要求的输出响应序列u(kT)

等于带有零阶保持器的连续传递函数输出量u(t)

的采样值，即，于是或例4.2-1已知，用零阶保持器法求。【解】控制算法：零阶保持器法的特点：（1）若D(s)稳定，则D(z)也稳定；（2）D(z)不能保持D(s)的脉冲响应和频率响应。4.2.4零极点匹配法基本思想：S域中零极点的分布直接决定了系统的特性，Z域中亦然。因此当S域与Z域时，应当保证零极点具有一一对应的映射关系。根据S域与Z域的转换关系，可将S平面的零极点直接一一对应地映射到Z平面上，使D(z)的零极点与D(s)的零极点完全相匹配，这种等效离散法称为“零极点匹配法”或“根匹配法”。零极点匹配的步骤（规则）：（1）将D(s)进行因式分解(m≦n)（2）将D(s)的零点或极点映射到Z平面，变换关系为a.可以用或在相对应的的某期望特征频率

c.无穷远处的零点b.复数的零点或极点a.实数的零点或极点（3）Z传递函数中的增益的确定：记的频率特性记的频率特性点上的值相等来确定。选取某一特征点，并使，即幅频相频特别地，令，利用或可求得。（为采样频率），即D(s)有位于S平面主频带之外（4）如果D(s)有的零点，其中零极点匹配法的特点与注意事项：（1）当D(s)的零极点已知时，采用零极点匹配法非常方便；（2）若D(s)稳定，则D(z)必稳定；（3）有时D(s)的分母比分子的阶数高（n>m），考虑D(s)有n-m个无限远的零点，在D(z)中用来匹配，因此D(z)

的分母与分子是同阶的；的零点，则变换后D(z)的频率特性将出现混叠现象，不宜使用此种转换方法。例4.2-2已知求数字控制器D(z).

【解】于是有所以4.2.5差分变换法（又称数值积分法）基本思想：模拟控制器的传递函数D(s)可转换为微分方程，再离散为差分方程，最后求得Z传递函数D(z)。这种方法就是教材第三章介绍的由积分环节求Z传递函数的方法。1.后向差分法微分环节积分环节差分方程微分环节积分环节Z传递函数S平面的虚轴，经后向差分变换，可见后向差分的变换关系为或即可推导出映射到Z平面上是一个圆心在（1/2，j0），半径为或这是Z平面上的一个圆。可见，S平面上的虚轴，1/2，与单位圆相切的一个小圆；S的左半平面映射为[S][Z]ReIm图4.2-1后向差分变换[S]与[Z]的关系这个小圆的内部，如图4.2-1所示。因此，若D(s)稳定，则D(z)必稳定。2

前向差分变换微分环节积分环节对于前向差分，当时，，即S平面的由上述差分方程可推得前向差分的D(s)和D(z)的变换关系或所以虚轴映射到Z平面上，是一条过（1，j0）平行于虚轴的直线。S左半面平面映射到Z平面上，只有一部分在单位圆内，因此若D(s)稳定，D(z)不一定稳定。[S][Z]单位圆图4.2-2前向差分变换[S]与[Z]的关系4.2.6双线性变换法（梯形积分法或Tustin变换）基本思想：根据定义取z与s的线性近似关系实现D(s)与D(z)的转换。则离散化后的Z传递函数于是有或由Z变换的定义及级数展开式可知同样其中T为正数，令，上式写成再看映射关系若Re(s)<0，则上式右边的实部，即可见，S平面的负半平面映射为Z平面中以原点为圆心的单位圆的内部，如图4.2-3所示。[S][Z]ImReImRe001-1j-j图4.2-3双线性变换的映射关系双线性变换的映射结果与Z变换的映射结果总体上是一致的，稳定域相同，然而在对离散控制器的暂态响应和频率响应特性方面，二者却有很大的差异。与原连续控制器相比，用双线性变换法获得的离散控制器的暂态响应特性有显著的畸变，频率响应也有畸变，所以在工程设计中常采用双线性变换法预畸变校正设计。双线性变换的特点：（1）将S平面的整个左半平面映射至Z平面的单位圆内，没有混叠效应。（2）若D(s)稳定，D(z)也稳定。（3）D(z)不能保持D(s)的脉冲响应和频率响应。D(s)的频率和D(z)的频率之间存在非线性。上式表明了模拟频率和离散频率之间的非设，代入，用欧拉公式化率之间却存在非线性关系。4.2.7预防频率失真的双线性变换双线性变换，将S平面的虚轴变换到Z平面的单位圆周，因而没有混叠现象。但是在模拟频率与离散频简得到线性关系。当取0～时，的值为0～.这意味着模拟滤波器的频率响应特性被压缩到离散滤波器的频率范围之内。这两种频率之间的非线性特性，使得由双线性变换所得的离散频率响应产生畸变，因此可以采用预防畸变的办法来补偿频率特性的畸变。基本思想：在设计离散数字调节器D(z)代替模拟调节器D(s)时，对双线性变换关系式进行修正，其修正准则是要求在某一关键频率（如截止频率）处，使D(s)与D(z)的频率特性相同。将代入上式求得设在处D(s)与D(z)的频率特性相同，按上述准则，将双线性变换关系式修改为则于是数字调节器为在所设计的处，必然满足预防频率失真的双线性变换的特点：（1）具有前述双线性变换的特点；（3）在设计点所得到的离散频率响应不产生畸变。（2）D(z)不能保持D(s)的脉冲响应和频率响应；4.2.8八种离散方法的比较（1）上述各方法，除了前向差分外，若原系统稳定，则变换后的离散系统也是稳定的。（2）采样频率对设计结果有影响。当采样频率远高于系统的截止频率时，用任何一种方法所变换的离散系统与原连续系统相差不大。随着采样频率降低，各方法就有差别。按设计结果的优劣排序为：双线性变换法、零极点匹配法、后向差分、阶跃响应不变法、冲激不变法。（3）上述个方法各有自己的特点：阶跃不变法和冲激不变法可以保证离散系统的响应与连续系统相同。零极点匹配法能保证变换前后直流增益相同。双线性变换法可以保证前后特征频率不变。4.3数字PID调节器的设计PID控制器，即按偏差的比例（Proportional）、积分（Integral）、微分（Differential）进行控制，自20世纪30年代出现以来，在工业控制领域得到很大发展和广泛应用。其特点是结构简单，可灵活改变（如PI，PD…），参数易于调整。特别是在工业过程控制中，由于被控对象的精确数学模型难以建立，系统的参数经常发生变化，运用控制理论进行分析综合，不仅耗费很大代价，且难以实现预期的控制在应用计算机实现控制的系统中，用计算机算法（数字PID调节器）代替模拟式PID调节器，很容易通过编程实现。4.3.1模拟PID调节器的数学模型在实际工业控制中，大多数被控对象有储能元件存在造成系统对输入的响应有一定的惯性；在能量和信息的传输过程中，由于管道和传输通道等原因会引入时间上的滞后，往往导致系统的响应变差，甚至不稳定。因此，为改善系统的调节品质，常引入偏差的比式中为比例系数；为积分时间常数；为微分例调节以保证系统的快速性，引入偏差的积分调节以控制精度，引入偏差的微分调节来消除系统的惯性的影响。模拟PID调节器的微分方程为时间常数。取拉氏变换（4.3-1）（4.3-2）为微分系数。其中：为积分系数；传递函数为+-图4.3-1模拟PID控制系统（4.3-3）PID调节器的控制作用有如下几点：（1）比例调节器：对偏差的反应是即时的，使输出量朝着减少偏差的方向变化。比例调节虽然简单快速，但对于系统响应为有限值的控制对象存在稳态误差。加大比例系数可以减小稳态误差，但是过大，会使系统的动态质量变坏，引起输出量振荡，甚至导致闭环系统不稳定。（2）比例积分调节器：在比例调节的基础上加上积分调节，可以消除系统的残余稳态误差。只要偏差不为零，积分调节通过累积作用影响控制量u(t)，从而减小偏差，直到偏差为零。增大积分时间常数，将减慢消除稳态误差的过程，但可见效超调，提高稳定性。引入积分的代价是降低系统的快速性。（3）微分调节：为加快控制过程，有必要在偏差出现或变化的瞬间，按偏差变化的趋向进行控制，使偏差消灭在萌芽状态。微分作用的加入，有助于减少超调，克服振荡，使系统趋于稳定。提高系统响应速度。其不足之处是放大了噪声。4.3.2数字PID的控制算法最常见的离散化方法：若采样周期T足够小，令（1）数字PID的位置式算法（4.3-4）上列诸式代入式（4.3-1）得为积分系数；对上式作Z变换因而可得数字PID的Z传递函数式中：为比例系数；为微分系数。（4.3-5）（4.3-6）+++图4.3-2

数字PID调节器的方框图式（4.4-3）给出的输出量u(kT)对应执行机构应该到达的位置（如阀门开度），因此称为位置式数字PID算法。当执行机构需要的控制量不是绝对值，而是其增量时，可用增量式算法。（2）增量式数字PID控制算法由式（4.3-4）得（4.3-7）将式（4.4-7）中同一时刻的输入值合并，则（4.3-8）式中增量式数字PID控制器的优点：（1）计算机只输出控制增量，即执行机构位置的变化部分，因而误动作影响小。（2）在计算k时刻的输出增量△u(kT)时，只需要用到此时刻的偏差e(kT)以及前一时刻的偏差e(kT-T)、前两时刻的偏差e(kT-2T)，这就大大节约了内存和计算（4）在进行手动-自动切换时，控制量冲击小，能够较平滑地过渡。时间。（3）位置式算法由于积分项可能使控制量超出执行机构的线性区，产生积分饱和引起非线性。而增量式算法的输出量可改善此类情形，超调量减少，过渡过程时间缩短，系统的动态性能有所提高。；将被控对象与零阶保持器串联后离4.3.3数字PID调节器的Z域设计法●数字PID调节器的设计法模拟化设计法（间接法）—先按模拟系统设计出模拟PID控制器D(s)，然后用差分法或双线性离散化设计法（直接法）—也称为Z域设计法。变换法转换为D(z)；将PID控制器离散化，然后待定系数散化，得到广义对象的Z传递函数；然单位阶跃信号，采样周期试设计数字PID后，根据系统性能要求，分别试用比例（P）、比例+积分（PI）和比例+积分+微分（PID）等结构形式的控制规律进行分析计算，确定各参数；最后，通过计算机仿真检验系统性能是否满足设计指标。现以一个例子讨论上述方法。例4.3-1单位负反馈系统，已知被控对象的的传递函数为本采用零阶保持器。输入为调节器。【解】系统的广义对象的Z传递函数为控制系统的结构框图如图4.1-3所示，系统的闭环传递函数为（4.3-9）（4.3-10）1.选用比例控制，确定将调节器和代入式（4.3-10），得单位阶跃输入时，输出Y(z)为由终值定理可求出输出序列y(kT)的稳态值稳态误差

0.5

0.717

0.283

1

0.835

0.165

2

0.91

0.09

4

0.953

0.047

8

0.976

0.024由右表可见，加大时，可使系统动作灵敏，速度加快；若系统稳定，稳态误差将减小，但不能完全消除。太大时系统会趋于不稳定。图4.3.3

取不同值时的输出波形设，并设。系统闭环传递2.选用比例+积分控制（PI），确定为消除稳态误差，需要使用积分控制。函数和输出的Z变换分别为图4.3-4取不同值时输出波形！取不同值时的输出波形不同。量，偏大时系统的振荡次数较多；太大时系统不系统的稳态输出为可见系统的稳态误差为0。由上述分析可见，积分作用能消除稳态误差，提高控制的精度。但系统引入积分作用提高系统输出的超稳定。

●可采用零点与极点对销的方法来确定。PI调节器给增加了一个积分环节PI调节器的的Z传递函数（差分变换）（4.3-11），可以消除系统的稳态误差。同时也增加了一个零点。可以用它来抵消中不稳定的极点或远离原点的极点，令（4.3-12）联立式（4.3-12）和（4.3-13），可解出和。通常比例系数根据式来确定，其中是系统的静态速度误差系数。（4.3-13）在本例中有若选取，则由上式可以求出，于是在单位阶跃输入时，输出量的Z变换、输出量的稳态值分别为稳态误差为0。但是从输出响应曲线可以看出，超调量达到45%。为减小超调量，可以减小，但引起上升时间增加。3.采用比例+积分+微分控制（PID），确定设，并设、，则当取不同值时的输出波形不同。图4.3.5

取不同值时的输出波形。

●同样可采用零点与极点对销的方法来确定和（4.3-14）由上式可见，D(z)给系统的开环Z传递函数D(z)HG(z)增加了一个积分环节；D(z)的分子为二阶，有两个零点，可以用来抵消HG(z)中两个不稳定的极点或远离，可以解得原点的极点、。令得到方程（5.3-15）（5.3-16）在本例中，代入上两个方程，并设数字PID调节器的Z传递函数为采用PID后由Y(z)可以求出输出响应y(kT)。输出量的稳态值为可见由于积分的作用，输出稳态误差为0。用，不仅降低了超调量，而且缩短了上升时间，改善了系统动态性能。由输出曲线图4.3.6可以看出，由于微分的控制作图4.3.6PID控制系统的阶跃输出响应4.3.4数字PID控制的改进算法问题的提出—为什么要对控制算法进行改进？●任何一种执行机构都存在一个线性工作区。当控制信号过大，超过这个线性区，就进入饱和区或截止区，其特性变为非线性；●执行机构还存在一定的阻尼和惯性，对控制信号的响应速度受到了限制。控制信号的变化率过大也会使执行机构