第十一章振动和机械波(上)

§11-1谐振动§11-2阻尼自由振动§11-3受迫振动共振§11-4一维谐振动的合成第十一章振动与机械波（上）随后在大风中因产生共振而断塌1940年华盛顿的塔科曼大桥在大风中产生振动振动与波动是与人类生活和科学技术密切相关的一种基本运动形式。机械振动：物体在一定位置附近作来回往复的运动。问：广义地说什么是振动？任一物理量在某一定值附近周期性变化的现象称振动。力学量（如位移）机械振动电磁振动电磁量（如I、V、E、B）实例:心脏的跳动，钟摆，乐器，地震等

振动分类非线性振动线性振动受迫振动自由振动周期和非周期振动

简谐运动最简单、最基本、最重要的振动谐振子作简谐运动的物体简谐运动复杂振动合成分解★弹簧振子模型弹簧振子：弹簧—物体系统

平衡位置：弹簧处于自然状态的稳定位置轻弹簧—质量忽略不计，形变满足胡克定律

物体—可看作质点

§11-1简谐振动一、简谐振动的特征及其表达式受力特点：线性回复力

动力学特征令弹簧振子的运动分析得即具有加速度与位移的大小x成正比,而方向相反特征的振动称为简谐运动简谐运动的微分方程积分常数，根据初始条件确定解方程设初始条件为:解得简谐运动方程简谐振动表达式简谐振动（simpleharmonicmotion,SHM）：

物体运动时，离开平衡位置的位移(或角位移)按余弦(或正弦)规律随时间变化。vm=A

称为速度幅

；am=2A

称为加速度幅

。简谐振动的速度和加速度：由初始条件(x0，

v0)求解振幅和初位相：设t=0时，振动位移：x=x0振动速度：v=v0图图图取简谐运动方程二、描述谐振动的特征量2.周期（period）

T：完成一次全振动所经历的时间。1.振幅（amplitude）：A

（即最大位移，x=±A

）角频率（或称圆频率）

：频率（frequency）

：单位时间内完成全振动的次数。=1/T(Hz)AxtOT相位差：=(2

t+20

)-(1t+10)对两同频率的谐振动=20-

10初相差

当

=2k

，(k=0,1,2,…)，两振动步调相同，称同相。初相位（initialphase）

：0

（t+0

）—描述振动状态3.相位（phase）：

当

=(2k+1)，

(k=0,1,2,…)，两振动步调相反，称反相。

若0<

20-

10<，称x2比x1超前

(或x1比x2落后)。x2xA1-A1-A2x1A2OtTtx2xOA1-A1A2-A2x1反相txOA1-A1A2-A2x1x2T同相x2超前于x1速度相位比位移相位超前/2。加速度与位移反位相。初相位：是t=0时刻的相位0

。(t=0称时间零点，是开始计时的时刻，不一定是开始运动的时刻)。x0=Acos0注：0是由时间原点的选择所决定的，所以叫做振动的初相位。对于一个简谐运动，A，ω和0都知道了，就可以写出它的完整的表达式。★要熟记典型0值所相应的振动情况和振动曲线(如图)。

常数和的确定初始条件对给定振动系统，周期由系统本身性质决定，振幅和初相由初始条件决定.已知求讨论图取1、解释法（由振动表达式）已知表达式

A、T、0

已知A、T、0

表达式由x=Acos(t+0)２、曲线法(由振动曲线)已知曲线

A、T、0

已知

A、T、0

曲线三、简谐振动的描述方法旋转矢量自Ox轴的原点O作一矢量，使它的模等于振动的振幅A，并使矢量在Oxy平面内绕点O作逆时针方向的匀角速转动，其角速度与振动频率相等，这个矢量就叫做旋转矢量.３、旋转矢量－振幅矢量－法(可优先选用)以O为原点旋转矢量的端点在轴上的投影点的运动为简谐运动.以O为原点旋转矢量的端点在轴上的投影点的运动为简谐运动.

以O为原点旋转矢量的端点在轴上的投影点的运动为简谐运动.谐振动与旋转矢量的对应关系A谐振动旋转矢量A0t+0T振幅初相相位圆频率谐振动周期半径初始角坐标角坐标角速度圆周运动周期利用旋转矢量求简谐振动的相位和初相位★已知相位求状态如：相位，问状态？,且向负向运动。位相，问状态？，且向正向运动。★已知状态求相位（特别是初相位）,,,求？如：>0或如：，，<0,求？如：oo相位差与两振动的步调——超前与落后★相位差和初相位

对两同频率的简谐振动，相位差等于初相差。

=(t+20)-(t+10)=20

-10

★同相和反相

当=2k

,k=0,±1,±2…,两振动步调相同,称同相当=(2k+1)

,k=0,±1,±2...，两振动步调相反,称反相★领先和落后

若

=20-10

>0，称x2比x1领先(或x1比x2落后)。用旋转矢量表示相位关系同相反相xt+0O·A由图可见a超前v

：π/2v超前x

：π/2例

已知某简谐振动的速度与时间的关系曲线如图所示试求其振动方程。解：方法1设振动方程为故振动方程为方法2：用旋转矢量法辅助求解。v的旋转矢量与v轴夹角表示t时刻相位由图知例一质量为0.01kg的物体作简谐运动，其振幅为0.08m，周期为4s，起始时刻物体在x=0.04m处，向ox轴负方向运动（如图）.试求（1）t=1.0s时，物体所处的位置和所受的力；（2）由起始位置运动到x=-0.04m处所需要的最短时间.代入解已知代入上式得可求（1）（2）由起始位置运动到x=-0.04m处所需要的最短时间.法一设由起始位置运动到x=-0.04m处所需要的最短时间为t法二起始时刻时刻例

一物体沿x

轴作简谐振动，振幅A=0.12m,周期T=2s。当t=0时,物体的位移x=0.06m,且向x

轴正向运动。求：(1)简谐振动表达式;(2)t=T/4时物体的位置、速度和加速度;(3)物体从x=-0.06m向x轴负方向运动，第一次回到平衡位置所需时间。解：(1)设简谐振动表达式为由初始条件：简谐振动表达式：(2)或T=2s，t=T/4=0.5s设在某一时刻t1，x=-0.06m(3)且向x

轴负方向运动。设t2时刻第一次回到平衡位置解法2四、几种常见的谐振动1.单摆重物所受合外力矩：由转动定律令(q很小时)振动表式：角振幅

和初相由初始条件求得。单摆周期T与角振幅的关系为

T0为很小时单摆的周期。当q不是很小时：2.复摆q很小时一个可绕固定轴摆动的刚体称为复摆。例

一质量为m

的平底船，其平均水平截面积为S，吃水深度为h，如不计水的阻力，求此船在竖直方向的振动周期。船静止时浮力与重力平衡，

船在任一位置时，以水面为坐标原点，竖直向下的坐标轴为y

轴，船的位移用y

表示。解：船的位移为y

时船所受合力为：船在竖直方向作简谐振动，其角频率和周期为：★以弹簧振子为例谐振动系统的能量=系统的动能Ek+系统的势能Ep某一时刻，谐振子速度为v，位移为x谐振动的动能和势能是时间的周期性函数五、谐振动的能量动能情况同动能。机械能简谐振动系统机械能守恒势能简谐运动能量图4T2T43T能量第一周作业：

课后习题

10-2，10-6，10-9，10-15§11-2阻尼振动

振动物体不受任何阻力的影响，只在回复力作用下所作的振动，称为无阻尼自由振动。

在回复力和阻力作用下的振动称为阻尼振动。阻尼：消耗振动系统能量的原因。对在流体(液体、气体)中运动的物体，当物体速度较小时，阻力大小正比于速度，且方向相反，表示为

：阻力系数辐射阻尼：振动以波的形式向外传播，使振动能量向周围辐射出去。阻尼种类：摩擦阻尼，辐射阻尼摩擦阻尼：系统克服阻力作功使振幅受到摩擦力的作用，系统的动能转化为热能。以弹簧一维振动为例由牛顿第二定律有整理得令系统固有频率式中阻尼振动方程为阻尼振动微分方程，为二阶常系数齐次微分方程。上述方程的解是什么形式呢？从物理上考虑：如果无阻尼，是谐振动的形式；如果存在阻尼，能量会衰减。称阻尼因子在小阻尼条件下，微分方程的解为：其中

和为积分常数，由初始条件决定。所以方程解的形式必定是在简谐振动的基础上乘上一衰减因子.阻尼振动的准周期性余弦项表征了在弹性力和阻力作用下的周期运动；—减幅振动反映了阻尼对振幅的影响。阻尼振动的周期：阻尼振动的三种情形：

欠阻尼

过阻尼

临界阻尼三种阻尼的比较★

欠阻尼每一周期内损失的能量越小，振幅衰减越慢，周期越接近于谐振动。阻尼振动的振幅按指数衰减阻尼振动的准周期欠阻尼★临界阻尼系统不作往复运动，而是较快地回到平衡位置并停下来★过阻尼系统不作往复运动，而是非常缓慢地回到平衡位置临界阻尼x

(t)t过阻尼x(t)t§11-3受迫振动共振一、受迫振动

物体在周期性外力（驱动力）的持续作用下发生的振动称为受迫振动（forcedvibration）。设驱动力：运动方程：设欠阻尼谐振子系统在驱动力作用下的受迫振动的方程当阻尼较小(欠阻尼),<0时,方程的解：暂态项稳定项稳定振动状态：第一项为阻尼振动项，当时间较长时衰减为0。第二项为驱动力产生的周期振动。开始时运动比较复杂，当第一项衰减为0后，只作受迫振动，振动频率为驱动力的频率。稳定项(1)频率:等于驱动力的频率d

(2)振幅:(3)初相:特点:稳态时的受迫振动按简谐振动的规律变化稳态时振动物体速度：

在受迫振动中，周期性的驱动力对振动系统提供能量，另一方面系统又因阻尼而消耗能量，若二者相等，则系统达到稳定振动状态。二、共振

当驱动力的角频率等于某个特定值时，位移振幅达到最大值的现象称为位移共振（displacementresonance）。

受迫振动速度在一定条件下发生共振的的现象称为速度共振（velocityresonance）。在阻尼很小的前提下，速度共振和位移共振可以认为等同。速度共振时，速度与驱动力同相，一周期内策动力总作正功，此时向系统输入的能量最大。

1）位移共振--共振时振幅最大。2）速度共振--共振时速度最大3）能量共振--共振时能量最大共振---最强烈的强迫振动现象★共振现象的应用

核内的核磁共振被利用来进行物质结构的研究以及医疗诊断等等。

一些乐器利用共振来提高音响效果；

收音机利用电磁共振进行选台；㊣共振现象的危害华盛顿的塔科曼大桥1940年§11-4一维谐振动的合成

当一个物体同时参与几个谐振动时，就需考虑振动的合成问题。本节只讨论满足线性叠加的情况。本节所讨论的同频率的谐振动合成结果

是波的干涉和偏振光干涉的重要基础。本节所讨论的不同频率的谐振动合成结果可以给出重要的实际应用。一、同一直线上两个同频率谐振动的合成

某一质点同时参与两个独立的、同方向、同频率的简谐振动。振动合成可用三角函数法、矢量法、复数法求合振动。利用旋转矢量法（向量图法）求合振动两个同方向同频率简谐运动合成后仍为简谐运动，角速度不变。A1和A2用同样的角速度匀速转动，所以在旋转过程中平行四边形的形状保持不变，因而合矢量A的长度保持不变，并以同一角速度匀速转动。所以合矢量A就是相应的合振动的振幅矢量。注意合振幅A不仅与两个分振动的振幅有关，还与它们的初相差有关。

(1)若两分振动同相

2010=2k

(k=0,±1,±2,…)则，合振幅最大。讨论：两种特殊情况

(2)若两分振动反相