第四章控制系统的频率特性

第四章控制系统的频率特性Frequency-responseanalysis4.1频率特性的基本概念4.２频率特性表示法4.３控制系统的闭环频响4.４系统的瞬态响应指标和频率响应指标之间的关系例1：如图所示的机械系统，K为弹簧刚度系数，C是阻尼系数，当输入力为正弦信号f(t)=Fsinwt时，求其位移x(t)的稳态响应。解：列写力平衡方程

其传递函数为：

拉氏变换：

输出位移上式中第一项为稳态分量，第二项为瞬态分量，当时间t趋向于无穷大时为零。系统稳态输出为：f(t)KcX(t)从上式的推导可看出，频率响应是时间响应的一种特例。4．1频率特性1．频率响应：指控制系统对正弦输入信号的稳态正弦输出响应。对于线性定常系统，任何输入信号的输出响应都是由瞬态响应和稳态响应两部分组成，同样正弦输入也不例外。但在正弦输入信号作用下其输出的瞬态部分不是正弦信号，而稳态部分是与原输入的正弦信号频率相同的正弦波形，其幅值和相位都与输入有所不同。一、频率响应的基本概念

二频率特性及其求解方法1．频率特性：指线性系统或环节在正弦函数作用下，稳态输出与输入幅值比和相位差随输入频率的变化关系。用G(jw)表示

G(jw)称为系统的频率特性，其模

称为系统的幅频特性，相位差

称为相频特性.（3）通过实验测得

令传递函数中的s=jw，则得到频率表达式G(jw)，将其分解为实部和虚部，即：2．频率特性求解方法（1）根据已知系统的微分方程，输入用正弦函数代入，求其稳态解，取输出和输入的复数比（2）根据传递函数来求取例2.某闭环系统传递函数为，当输入为时，试求系统稳态输出。

解：正弦输入信号系统输出与输入频率相同，其输出幅值与相位取决于系统幅频特性与相频特性

系统输出幅值为：

输出相位：

系统输出响应为：4．2频率特性的表示法频率法是一种直观的图解法，表示形式为：

奈魁斯特图（Nyquist）或称幅相频率特性，它通过极坐标来表示频率特性G(jw)中的幅值和相位间的关系。２．伯德图(Bode)，又称对数频率特性图，它由半对数坐标系上表示的幅频特性和相位特性图组成。３．尼柯尔斯图（Nichols），又称对数幅相频率特性图，它在对数坐标系中表示G(jw)的幅值和相角间的关系。一.幅相频率特性图（Nyquist）

典型环节的幅相频率特性曲线1．比例环节

传递函数

频率特性

UKjV2．积分环节

传递函数

频率特性

当w=0A(w)=∞当w→∞A(w)=0

UwjV传递函数

频率特性

3．微分环节

当w=0A(w)=0当w→∞A(w)=∞

UwjV传递函数

频率特性

4．惯性环节

当w=0A(w)=1

w=1/T

w→∞A(w)=0

UwjV(0.5,j0)传递函数

频率特性

5.一阶微分

当w=0A(w)=1

w→∞A(w)=∞UwjV(1,j0)G(jw)传递函数

频率特性

6.振荡环节

UwjVξ=0.8ξ=0.5ξ=0.3(1,j0)当w=0A(w)=1

w→∞A(w)=0w=1/T

当小到一定程度时其振幅会有峰值出现，称这个峰值为谐振峰值Mr，所对应的频率为谐振频率wr。

谐振峰值出现的条件（）传递函数

频率特性

7.二阶微分

当w=0A(w)=1

w=1/T

w→∞A(w)=∞

UwjVξ1ξ3ξ2(1,j0)ξ1<ξ2<ξ3

传递函数

频率特性

8.延时环节

UwjV(1,j0)例3.已知系统传递函数为，试画其奈氏曲线图

解：将传递函数化为频率特性

当w=0A(w)=1

w→∞

UwjV(1,j0)τ<Tτ>T要画准确的奈氏曲线需计算不同频率下的幅值和相位，或实部和虚部，得到相应的各点，将各点顺次连接得到奈氏曲线。若系统传递函数是由多个环节组成，幅频特性曲线其幅值是各环节幅值的乘积，相角是各环节相位相加。奈魁斯特曲线不能表示系统各环节的单独作用，而且计算工作量较大，因此对频率特性中的幅频特性取对数，各环节的幅值相乘变为相加，曲线可用直线代替，这样绘出的图形简单、方便、直观地表示各环节的作用。二．对数频率特性图（Bode）（一）概念：对数幅频特性图：将幅频特性A(w)取常用对数后再乘以20记为：L(w)=20lgA(w),单位(dB)

对数幅频特性坐标系中，横坐标采用对数分度，但标注时只标w，纵轴采用线性分度。横轴上频率满足的关系：若在横轴上任取两点，使两点间的频率满足w2/w1=10，则w1与w2间距离为1=lg(w2/w1)=lg10

一个10倍频程：不论坐标轴的起点是多少，只要角频率w变化10倍，在横轴上线段长度均为1个单位（dec）（二）典型环节的Bode图

1．比例环节

比例环节的特点：不改变曲线的形状，只改变L(w)的大小。wL(w)/dBw20lgKφ(w)°2.积分环节

wL(w)/dBw20φ(w)°0.11-90°-20dB/dec3．微分环节

wL(w)/dBw-20φ(w)°0.1190°20dB/dec4．惯性环节

当wT<<1(低频)L(w)=0

wT>>1（高频）L(w)≈-20lgTww=1/T

当w2/w1=10时（频率变化10倍，幅值变化多少）

wT=1/T时曲线误差最大为-3dB，称wT为转折频率。惯性环节具有低通滤波的作用。

wL(w)/dBwφ(w)°01/T-90°-20dB/dec-45°1/T5．一阶微分

wL(w)/dBwφ(w)°01/T90°20dB/dec45°1/T6．振荡环节wL(w)/dBwφ(w)°01/T-180°-40dB/dec-90°1/T当wT<<1(低频)L(w)=0

wT>>1（高频）L(w)≈-20lg(Tw)2=-40lgTwW=1/T=Wn时,L(w)≈0当w2/w1=10时（频率变化10倍，幅值变化多少）

7.二阶微分

wL(w)/dBwφ(w)°01/T180°40dB/dec90°1/T8.延时环节wL(w)/dBwφ(w)°（三）绘制伯德图的步骤（1）将传递函数G(s)化为由典型环节组成的形式；

（2）令s=jw，求得频率特性G(jw)；（3）找出各环节的转折频率，并作各环节的渐近线；（4）将各环节的对数幅值相加得到系统幅频特性曲线；（5）作各环节相位曲线，然后相加得到系统相频曲线；（6）如要得到精确曲线，对各渐近线进行修正。例4作传递函数为的Bode图。

解：将传递函数化为典型环节wL(w)/dBwφ(w)°0-90°-20dB/dec-45°0.41210401000.4-20102020dB/dec[-20][-20][0]45°φ2φ3φ1φL1(w)=20lg3=9.5dBj0.5w+1w1=1/T=2

各环节的转折频率1/(j2.5w+1)w2=1/T=0.4

1/(j0.025w+1)w3=1/T=40

例5作传递函数为

的Bode图

解：化为标准传递函数wwφ(w)°0.1-90°-20dB/dec-225°132104017.5[-60][-20][-80]φ-270°-180°L(w)/dB[-60]60L1(w)=20lg7.5=17.5(1/3jw+1)w1=1/T=3

(1/jw)过（1，j0）点

1/(0.5jw+1)w2=1/T=2

1/(0.5(jw)2+0.5jw+1)

比例环节的幅值和各转折频率Bode图的特点：最低频段的斜率取决于积分环节的数目v，斜率为-20dB/dec。最低频段的对数幅频特性可近似为：

L(w)=20lgK-20vlgw

当w=1rad/s时，L(w)=20lgK，即最低频段的对数幅频特性或其延长线在w=1rad/s时的数值等于20lgK。如果各环节的对数幅频特性用渐近线表示，则对数幅频特性为一系列折线，折线的转折点为各环节的转折频率。对数幅频特性的渐近线每经过一个转折点，其斜率发生变化，斜率变化量由当前转折频率对应的环节决定。惯性环节，斜率下降-20dB/dec；振荡环节，下降-40dB/dec；一阶微分环节，上升20dB/dec；二阶微分环节，上升40dB/dec

。4.3控制系统的闭环频率响应一．由开环频率特性估计闭环频率特性开环频率特性是指开环传递函数用s=jw代入所得的频率特性。设开环频率特性为G(jw)H(jw)，而闭环频率特性为设系统为单位反馈控制系统，则有H(jw)=1，系统频率特性为

G(s)H(s)—+X0(s)Xi(s)在低频段时，则有：

在高频段时，则有：

在单位反馈系统中（最小相位），如果输入是低频信号，则输出与输入近似认为相同；而在高频时，闭环频率特性与开环频率特性相似。二．频率特性的性能指标1．带宽频率wb和带宽wBw

wL(w)/dB0w

rw

bwBW-3dB20lgMr

带宽频率（wb）：指闭环对数幅值L(w)下降到-3dB时对应的频率，也称闭环截止频率。系统带宽（wBw）：指闭环系统的对数幅值不低于-3dB时所对应的频率范围（）。

关于几点带宽的说明系统带宽表示超过此范围后，输出急剧衰减，形成系统响应的截止状态。对于低通滤波器，希望带宽小，即只允许频率较低的输入信号通过，频率高的输入信号被滤掉。对于随动系统，系统的带宽表征系统允许工作的最高频率。带宽大，则系统的动态性能好。对于系统响应的快速性来说，带宽越宽，系统响应的快速性越好，过渡过程的上升时间越短。2．谐振峰值Mr和谐振频率Wr谐振峰值Mr

：闭环频率特性幅值的最大值只与阻尼比有关。标志系统相对稳定性的一个指标。谐振频率wr：系统发生谐振峰值处的频率称为谐振频率。

表征了系统的响应速度，wr越大，系统带宽越宽，响应速度越快。三．最小相位系统1．最小相位系统：在复平面[s]右半部分无零点或极点（所有极点和零点均在[s]平面的左半平面）的传递函数称为最小相位传递函数，该传递函数所描述的系统称为最小相位系统。2．非最小相位系统：控制系统的传递函数中存在零、极点位于复平面[s]的右半部分，这样的系统称为非最小相位系统

σ-1/T1jw-1/T2σ1/T1jw-1/T2wL(w)/dBwφ(w)°0-180°-20dB/dec-90°w2w1-2020[0]φ2φ1[-20]四．由频率特性确定系统传递函数

建立系统数学模型方法有：（1）采用数学公式推导（2）由实验方法

1．系统类型和增益K的确定设系统频率特性为：

为串联积分环节的数目

当根据来确定系统的类型

（1）当时，称为零型系统

G(jw)=k

L(w)=20lg|G(jw)|=20lgkwL(w)/dB0[-20]0型系统20lgk（２）当时，称为Ⅰ型系统

G(jw)=k/jwL(w)=20lg|G(jw)|=20lgk-20lgw频率特性低频段为-20dB/dec，渐近线或