第2章随机信号与噪声

西北工业大学2015.3第2章随机信号与噪声分析通信原理2023/2/42第2章随机信号与噪声分析－－本章是本课程的重要数学基础。随机过程研究内容：

2.1引言

2.2随机过程的基本概念

2.3平稳随机过程

2.4高斯随机过程

2.5平稳随机过程通过线性系统

2.6窄带随机过程

2.7正弦波加窄带随机过程

2.8高斯白噪声和带限白噪声2023/2/432.1

引言通信----是在噪声背景下信号通过通信系统的过程，分析与研究通信系统，总是离不开对信号和噪声的分析。●随机信号：通信系统中用于表述信息的信号不可能是单一的、确定的，而是具有不确定性和随机性。●随机噪声：通信中存在的各种干扰和噪声，其波形更是随机的、不可预测的。●随机过程：尽管随机信号和随机噪声是不可预测的、随机的，但它们具有一定的统计规律。从统计学的观点看，均可表示为随机过程。随机过程是一类随时间作随机变化的过程，它不能用确切的时间函数描述。统计学中的有关随机过程的理论可以运用到随机信号和噪声分析中来。2023/2/442.2随机过程的基本概念

2.2.1随机过程的概念

考察：

假设有n台性能相同的接收机，在同样条件下不加信号测试其输出。（n--足够大的正整数）

得到一系列噪声波形—记录x1(t)、x2(t)、x3(t)、...、xn(t)。

结果：理想时，波形似乎应该一致，但实际不然。找不到两个完全相同的波形！2023/2/45讨论：●每一个记录xi(t)都是一个随机起伏的时间函数－－随机函数。●全部随机函数的集合－－随机过程：

X(t)={x1(t),x2(t),…,xn(t)}●每一条曲线xi(t)都是随机过程的一个实现/样本－－为确定的时间函数。●在某一特定时刻t1观察各台接收机的输出噪声值xi(t1)

，发现他们的值是不同的－－是一个随机量（随机变量）。角度1：对应不同随机试验结果的时间过程的集合。角度2：随机过程是随机变量概念的延伸。2023/2/46讨论：●在任一给定时刻t1，每一样本函数xi(t)都有一个确定的数值xi

(t1)。但在同一时刻，不同样本的取值{xi(t1)，i=1，…，n}却是一个随机变量。●即，随机过程在任意时刻t1的值X(t1)是一个随机变量。●因此，又可以把随机过程看作是在时间进程中处于不同时刻的随机变量的集合。角度1：对应不同随机试验结果的时间过程的集合。角度2：随机过程是随机变量概念的延伸。2023/2/47概括：

随机过程X(t)的含义／属性有三点：（1）X(t)是t

的函数。（2）X(t)在任一时刻t1上的取值X(t1)不是确定的，是一个随机变量。（3）X(t)的任一实现xi(t)是一个确定函数，随机性体现在某一样本出现的随机上。概率论：随机变量分析－－分布函数、概率密度和数字特征研究内容－－随机过程统计描述：

1.随机过程的分布函数

2.随机过程的数字特征2023/2/481.随机过程的分布函数设X(t)表示一个随机过程，它在任意时刻t1的值X(t1)是一个随机变量，根据概率论的知识，随机过程X(t)的----（1）随机过程X(t)的一维描述----反映随机过程在任一时刻取值的统计特性。

●一维分布函数

表示随机变量X(t1)小于或等于某一数值x1的概率。

●一维概率密度函数若上式中的偏导存在的话。2023/2/49（2）随机过程X(t)的二维描述---反映随机过程在不同时刻取值之间的关联程度。

●二维分布函数任意给定时刻t1

、t2，和同时成立的概率：●二维概率密度函数若上式中的偏导存在的话。2023/2/410（3）随机过程X(t)的多维描述●n维分布函数●n维概率密度函数2023/2/411目的/意义：

●可以把随机过程X(t)当作一个多元的随机变量来看待，而用这个多元随机变量[X(t1)，X(t2)，...，X(tn)]的分布函数或概率密度来描述随机过程的统计特性。●显然，n越大，对随机过程的描述越充分。统计独立:

对于任何n个随机变量X(t1)，X(t2)，...，X(tn)，如果下式成立

fn(x1,x2,...,xn；t1,t2,...,tn)=f1(x1,t1)f1(x2,t2)...f1(xn,tn)则称这些变量是统计独立的，否则就是不独立的或相关的。

意义？2023/2/4122.随机过程的数字特征引言●问题：随机过程的分布函数（或概率密度）族能够完善地刻画随机过程的统计特性。但实际中：难；不必。●措施：用随机过程的数字特征来描绘随机过程的统计特性，更简单方便。●方法：求随机过程数字特征的方法有“统计平均”和“时间平均”两种。统计平均：对随机过程

X(t)某一特定时刻不同实现的可能取值X(ti)－－随机变量

，用统计方法得出的种种平均值叫统计平均。时间平均：对随机过程X(t)的某一特定实现xi(t)

，用数学分析方法对时间求平均得出的种种平均值叫时间平均。2023/2/413－－随机过程在任意给定时刻t的数学期望。（1）随机过程的数学期望（均值）随机过程X(t)在任意给定时刻t1的取值X(t1)是一个随机变量，其数学期望为

式中f1

(x1,t1)－X(t1)的概率密度函数。由于t1是任取的，所以可以把t1

直接写为t，x1改为x，这样2023/2/414a(t)X(t)的均值是时间的确定函数，常记作a(t)，它表示随机过程的n个样本函数曲线的摆动中心，故又常被称为统计平均或均值。

2023/2/415（2）方差均方值均值平方方差常记为2(t)。这里也把任意时刻t1直接写成了t

。因为 所以，方差等于均方值与均值平方之差，它表示随机过程在时刻t相对于均值a(t)的偏离程度。2023/2/416（3）相关函数与协方差－－随机过程不同时刻取值之间的相互关系假定：X(t1)和X(t2)分别是在t1和t2时刻观测得到的随机变量。（A）自相关函数－－同一随机过程的相关程度f2(x1,x2;t1,t2)－X(t)的二维概率密度函数。可以看出，R(t1,t2)是两个变量t1和t2的确定函数。（B）协方差函数=R(t,τ)2023/2/417相关函数和协方差函数之间的关系：●特别：若a(t)=0，则B(t1,t2)=R(t1,t2)（C）互相关函数－－两个不同随机过程X(t)、Y(t)的相关程度--统计独立时--相互正交●相应地：R(t1,t2)称为自相关函数。●特别：2023/2/418●显然：若aX(t)或aY(t)=0，则BXY(t1,t2)=RXY

(t1,t2)（D）互协方差函数则称X(t)和Y(t)互不相关。●特别：若●统计独立的两个随机过程是不相关的。问：统计独立、互不相关、正交的关系。2023/2/419

2.3平稳随机过程

2.3.1平稳随机过程的概念

1.定义

若一个随机过程X(t)，它的任意n维分布或概率密度函数与时间起点无关，即对于任意的正整数n和所有实数，有则称X(t)是平稳随机过程。2023/2/4202.性质－－该定义表明：平稳随机过程的统计特性不随时间的推移而改变。特别是：●一维分布函数与时间t无关：3.数字特征●而二维分布函数只与时间间隔

=t2–t1有关：可见：（1）其均值与t无关，为常数a；

（2）自相关函数只与时间间隔有关，为R(τ)。2023/2/421严平稳随机过程的数字特征：（1）其均值与t无关，为常数a；

（2）自相关函数只与时间间隔有关。

4.广义平稳随机过程把同时满足（1）和（2）的随机过程定义为广义平稳随机过程。意义：●具有各态历经性平稳随机过程－－十分有趣，非常有用。●通信系统中所遇到的信号与噪声，大多数可视为平稳、具有各态历经性的随机过程。2023/2/4222.3.2平稳随机过程的各态历经性●问题的提出随机过程的数字特征（均值、相关函数）是对随机过程的所有样本函数的统计平均，但在实际中常常很难测得大量的样本。

问题：能否从一次试验而得到的一个样本函数x(t)来决定平稳过程的数字特征呢?●回答是肯定的：平稳过程在满足一定的条件下具有一种十分有用的特性----“各态历经性”（或称“遍历性”）。具有各态历经性的过程，其数字特征（均为统计平均）完全可由随机过程中的任一实现的时间平均值来代替。●条件？2023/2/423●各态历经性条件设：xi(t)是平稳过程X(t)的任意一次实现（样本），则其时间均值和时间相关函数分别定义为：如果平稳过程使下式成立则称该平稳过程具有各态历经性。2023/2/424●“各态历经”的含义随机过程中的任何一次实现都经历了随机过程的所有可能状态，其任一样本都蕴含着平稳随机过程的全部统计信息。

●各态历经随机过程的特点－－好处在求解各种统计平均（均值或自相关函数等）时，无需作无限多次的考察，只要获得一次考察，用一次实现的“时间平均”值代替过程的“统计平均”值即可，从而使测量和计算问题大为简化。●注：具有各态历经的随机过程一定是平稳过程，反之不一定成立。在通信系统中所遇到的随机信号和噪声，一般均能满足各态历经条件。2023/2/425

例2-1、2-2

设一个随机相位的正弦波为其中，A和c均为常数；是在(0,2π)内均匀分布的随机变量。试讨论X(t)是否具有各态历经性。【解】（1）先求X(t)的统计平均值。均值：－－与t无关2023/2/426

－－仅只与时间间隔有关。所以：X(t)是广义平稳过程。自相关函数：令t2–t1=，得到2023/2/427结论：随机相位正弦波是各态历经的。（2）求X(t)的时间平均值综上，有2023/2/4282.3.3平稳过程的自相关函数－－特别重要，因为：●平稳随机过程的统计特性，如数字特征等，可通过相关函数来描述。●相关函数揭示了随机过程的频谱特性。（1）平稳过程自相关函数的定义：（2）平稳过程自相关函数的性质特别：均值为0时，有：平均功率R(0)=2—的偶函数—R()的上界，R()在

=0有最大值。—X(t)的平均功率—X(t)的直流功率—X(t)的交流功率1）2）3）4）5）2023/2/4292）---R(τ)

的上界。证：由于

从而

所以，得对性质2）、4）、5）证明如下。2023/2/4304）

----X(t)的直流功率。证：注：这里利用了当τ→∞时X(t)与X(t+τ)变得没有依赖关系，即统计独立，且认为X(t)不含有周期分量。5）

----方差为X(t)的交流功率。证：由证毕。2023/2/4312.3.4平稳随机过程的功率谱密度PX(ω)

－－相关函数R(τ)的又一重要性质。

设：X(t)平稳，R(τ)绝对可积则在平稳随机过程的理论和应用中是一个非常重要的工具，它是联系频域和时域两种分析方法的基本关系式。意义：平稳随机过程的自相关函数与其功率谱密度之间互为傅里叶关系。简记为：维纳-辛钦关系2023/2/432证明：由信号与系统课程知道，对于任意确定功率信号x(t)，其功率谱密度为式中，是x(t)的短截函数xT(t)的频谱函数。对于功率型平稳随机过程而言，它的任一实现的功率谱密度也可以由上式确定。但一般而言，不同实现具有不同的谱密度。因此，某一实现的功率谱密度不能作为过程的功率谱密度。过程的功率谱密度应看作是对所有实现的功率谱的统计平均，即2023/2/433我们还知道，非周期的功率型确知信号的自相关函数与其功率谱密度是一对傅里叶变换。这种关系对平稳随机过程同样成立，也就是说，平稳随机过程的功率谱密度PX(ω)与其自相关函数R(τ)也是一对傅里叶变换，即2023/2/434讨论：（1）对功率谱密度进行积分，可得平稳过程的平均功率：－－从频域的角度给出了过程平均功率的计算方法。（2）各态历经过程的任一实现的功率谱密度等于过程的功率谱密度：即，任一实现的谱特性都能很好地表现整个过程的谱特性。【证】对各态历经过程，有两边同取傅里叶变换，得此即2023/2/435【解】由例2-1已经得知随相信号是一个平稳过程，且其相关函数为例2-3

试求随相正弦波X(t)=Acos(ct+)的自相关函数、功率谱密度和和平均功率。又由得

功率谱密度

平均功率

2023/2/4362.4高斯随机过程

－－通信中最重要也是最常见的过程。

2.4.1高斯过程的定义

若随机过程X(t)的任意n维分布（n=1,2,…）均服从正态分布，则称它为正态过程或高斯过程。

n维正态概率密度函数表示式见

式（2.4.1）～（2.4.3）

特点：高斯过程的n维分布只依赖各个随机变量的均值、方差和归一化协方差。因此，对于高斯过程，只需要研究它的数字特征就可以了。2023/2/437（2.4-1）

n维正态概率密度函数为（2.4-2）（2.4-3）式中，归一化协方差矩阵的行列式归一化协方差函数----均值、方差为行列式中元素bjk的代数余因子。

2023/2/438特别情况下，当n=1时，式（2.4-1）简单为此即为高斯过程X(t)在时刻t1取值所得随机变量X(t1)的一维概率密度函数，显见其为正态的。式中，a1为X(t1)的均值，为X(t1)的方差。（2.4-4）一维时：2023/2/4392.4.2高斯过程的重要性质－－由定义可分析出（1）高斯过程若广义平稳，则必狭义平稳。（2）高斯过程中的随机变量X(t1)、X(t2)、X(t3)、…之间若不相关，则它们也必是统计独立的。意义：这种情况下，随机过程极其复杂的n维正态概率密度函数表示转化为n个简单的一维分布的乘积。（3）若干个高斯过程之和仍是高斯过程。－－从信号角度。（4）高斯过程经线性变换后，仍是高斯过程。－－从系统角度。（2.4.5）（2.4-1）2023/2/440

则称x为服从正态分布的随机变量，也称高斯随机变量。

a－均值，2－方差。3.3.3高斯随机变量高斯过程在任一时刻上的取值为高斯随机变量。在分析系统抗噪声性能时要反复用到。1.定义/概率密度函数若随机变量x的概率密度函数可表示成●曲线：2023/2/441●性质：1）对称于直线x=a;

2）在内单调上升，在内单调下降，且在a点处达到极大值;3）

4）a表示分布中心，表示集中的程度。一定时，……。2023/2/4422.正态分布函数（1）一般表示式这个积分不易计算，常引入误差函数或Q函数（可查表）来表述。2023/2/443（3）用误差函数表示

正态分布函数常表示成与误差函数相联系的形式。

1）误差函数定义误差函数：互补误差函数：附录B2023/2/4442）误差函数的性质●误差函数是递增函数，它具有如下性质：●互补误差函数是递减函数，它具有如下性质：2023/2/4453）用误差函数表示正态分布函数或：2023/2/446（2）用Q函数表示正态分布函数

Q函数定义：Q函数和erfc函数的关系：

Q函数和分布函数F(x)的关系：Q函数值也可以从查表得到。2023/2/447

2.5平稳随机过程通过线性系统

2.5.1输出过程的表达式

线性系统复习：

设：线性系统的冲击响应和网络函数分别为：h(t)、H(ω)。周知：线性系统响应y(t)等于输入信号x(t)与冲击响应h(t)的卷积，即：确知信号通过线性系统：2023/2/448

理解：

●上式对于确知信号是没有问题的。

●当输入是随机过程X

(t)的任意一个实现时，也应成立。即，如果把x(t)看作是输入随机过程X(t)的某一个样本，则y(t)将是输出随机过程Y(t)的一个相应的样本。

●这一关系可以拓宽到包含所有样本的随机过程。即当输入是随机过程X(t)时，便有输出随机过程Y(t)。且有：

随机信号通过线性系统：2023/2/4492.5.2输出随机过程

Y(t)的统计特性任务：假设X(t)为平稳随机过程，且已知其统计特性，求Y(t)的统计特性。注：考察一个实现就够了。假设：X(t)

－是平稳的输入随机过程，且 均值－aX

， 自相关函数－RX()

， 功率谱密度－PX()

；求输出过程Y(t)的统计特性：均值、自相关函数、功率谱以及概率分布。2023/2/4501.Y(t)的均值结论：●线性系统输出过程的均值，是输入过程均值与系统直流增益的乘积。●输出过程的均值与时间无关。－－与t无关。对两边取统计平均，有2023/2/4512.

Y(t)的相关函数根据自相关函数的定义－－仅与τ有关。综上:

Y(t)平稳。2023/2/452由进行傅里叶变换，得3.Y(t)的功率谱密度令=-+

，代入上式，得到即结论：----2023/2/453由于已假设X(t)是高斯型的，所以上式右端的每一项在任一时刻上都是一个高斯随机变量。因此，输出过程在任一时刻上得到的随机变量就是无限多个高斯随机变量之和－－输出过程也为高斯过程。注：与输入高斯过程相比，输出过程的数字特征已经改变。4.Y(t)的概率分布函数结论：证：从积分原理看可以表示为：2023/2/4542.6窄带随机过程→窄带过程

2.6.1窄带随机过程的概念

1.什么叫窄带随机过程？

频谱：所占频带较窄，满足Δf<<fc的随机过程叫～。

时域：用示波器观察，看到某个实现的波形－－幅度和相位随机缓慢变化的近似正弦。2023/2/455问：窄带随机过程的同相及正交分量是低频的还是高频的?可以看出：●X(t)的统计特性由ρ(t)和(t)或ac(t)和as(t)的统计特性确定。●若X(t)的统计特性已知，则ρ(t)和(t)或ac(t)和as(t)的统计特性也随之确定。2.表达式－－两种！2023/2/4562.6.2

已知X(t)的统计特性，求ac(t)、as(t)的统计特性仅给出结论，详细证明见教材。结论：若：X(t)是均值为0、方差为σ2、窄带、平稳、高斯随机过程。则：（1）ac(t)、as(t)同样是平稳高斯随机过程；（2）ac(t)、as(t)的均值与X(t)的相同，皆为0，即

（3）ac(t)、as(t)的方差与X(t)的相同，皆为σ2

，即（4）在同一时刻（即τ=0）上得到的ac(t)及as(t)互不相关，或说统计独立。2023/2/4572.6.3

已知X(t)的统计特性，求ρ(t)、(t)的统计特性

仅给出结论，详细证明见教材。结论：若：X(t)是均值为0、方差为σ2、窄带、平稳、高斯随机过程。则：（1）其包络ρ(t)的一维概率密度呈瑞利分布；（2）其相位(t)的一维概率密度呈均匀分布；（3）ρ(t)与(t)统计独立。2023/2/4582.7正弦波加窄带高斯噪声2.7.1合成波的表达式信号经过信道传输时，总会受到噪声的干扰，通常在接收机前端设置一个BPF，用以滤除信号频带以外的噪声。BPF的输出是信号与窄带噪声的混合波形，最常见的是正弦波加窄带高斯噪声的合成波：其中：代表各种可能的已调载波信号，A、ωc、θ皆可视为确知量；是均值为0，方差为的窄带高斯噪声，其为窄带高斯过程。

2023/2/459展开上式，有：其中：2023/2/4602.7.2

统计特性（1）同相分量和正交分量的统计特性结论若：n(t)均值为0、方差为σ2、窄带平稳高斯随机过程;θ给定。则：（1）zc(t)、zs(t)同样是窄带平稳高斯随机过程；（2）且－－方差相同，同于n(t)

；（3）但：E[zc(t)]=

E[zs(t)]=（4）在同一时刻（即τ=0）上得到的zc及zs互相关函数为0，即zc与zs互不相关，或说统计独立。2023/2/461（2）合成包络z(t)和相位(t)的统计特性可以证明：

1）随机包络服从广义瑞利分布（也称莱斯（Rice）分布）2）随机相位分布与信道中的信噪比有关，不再是均匀分布了。图2-7

正弦波加窄带高斯噪声的包络和相位分布

2023/2/462讨论：正弦波加窄带高斯噪声的统计特性与信噪比γ有关。

●包络：小信噪比时，接近于瑞利分布；大信噪比时，接近于高斯分布。●相位：小信噪比时，接近于均匀分布，它反映这时窄带高斯噪声为主的情况；大信噪比时，主要集中在有用信号相位附近。2023/2/4632.8高斯白噪声和带限白噪声2.8.1白噪声

在通信系统的抗噪声性能分析时，常把通信信道中的噪声源视为高斯白噪声。

1.定义：凡功率谱密度在整个频域内都是均匀分布的噪声，称