第三节晶列和晶面指数

§1.3晶列和晶面指数(crystalarrayandMillerindices)

一、晶列和晶向指数

(crystalarrayanddirectionindices)二、晶面和密勒指数

（latticeplanesandMillerindices）本节思路：介绍晶列、晶面的概念以及它们的表示。一、晶列和晶向指数(crystalarrayanddirectionindices)

1晶列和晶向(crystalarrayandcrystaldirection)

晶列(crystalarray)--由于晶体的周期性结构，布拉菲格子的格点可以看成分列在一系列相互平行的直线上，而无遗漏，这样的直线系称为晶列。§1.3晶列和晶面指数

(crystalarrayandMillerindices)

同一格子可以形成方位不同的晶列，晶列的取向称为晶向（crystaldirection）。晶列的特点：晶列上的格点具有一定的周期性。

晶列族——如果一平行直线族把格点包括无遗，且每一直线上都布有格点，则称这些直线为同一族晶列。

一族晶列的特征：取向相同，晶列上格点的周期相同。2晶向指数(directionindices)

一组能表示晶列方向的数称为晶向指数。晶向指数可根据晶列上格点的周期性，用如下的方法来表标志：取晶列直线上一格点为坐标原点，该晶列上另一格点相对该点的位矢为：将l’1，l’2，l’3

化为互质的整数l1，l2，l3，记作［

l1l2l3

］，即称为该晶向的指数，又称为晶列指数(crystalarrayindices)。遇到负数，负号记在数的上方。不同的基矢坐标，其晶向指数的表示不同。等价的方向用<

l1l2l3

>表示。如图所示为立方晶格的一些晶向：AB[100]AE[001]AF[101]BA[00]FB[00]BH[11]AD[010]AG[111]AC[110]DA[00]EA[00]……

可以看出，AB，AD，AE，BA，DA,EA六个晶向，其晶向指数的差异完全来自基矢方向的选择。由于对称性，它们在物理上是完全等价的，可以统一用<100>表示。类似地，用<110>表示与［110］等价的12个面对角线晶向；用<111>表示与［111］等价的体对角线晶向。ABCDEFGH简单立方晶格的晶向标志

立方边OA的晶向立方边共有6个不同的晶向简单立方晶格的晶向标志

面对角线OB的晶向——面对角线晶向共有12个

体对角线OC的晶向——体对角线晶向共有8个简单立方晶格的晶向标志

——由于立方晶格的对称性，以上3组晶向是等效的简单立方晶格的晶向标志

——表示为晶向指数晶向指数二、晶面和密勒指数（latticeplanesandMillerindices）1晶面和晶面族(latticeplanesandthefamily)

晶面—布拉菲格子的格点，也可以看成分列在相互平行、间距相等的平面上而无遗漏，这些包含格点的平面称为晶面；晶面族--而那些相互平行、间距相等、格点分布情况相同的总体，称为晶面族。

晶面的标志

晶体的晶面——在布拉伐格子中作一簇平行的平面这些相互平行、等间距的平面可以将所有的格点包括无遗——这些相互平行的平面称为晶体的晶面同一个格子，两组不同的晶面族LatticePlanesandMillerIndicesImaginerepresentingacrystalstructureonagrid(lattice)whichisa3Darrayofpoints(latticepoints).Canimaginedividingthegridintosetsof“planes”indifferentorientations取某一原子为原点O，原胞的三个基矢为坐标系的三个轴——晶格中一族的晶面不仅平行，并且等距——一族晶面必包含了所有格点而无遗漏——三个基矢末端格点必分别落在该族的不同晶面上2晶面指数和密勒指数

(indicesoflatticeplanesandMillerindices)▲晶面指数:

能够标志晶面取向的一组数，称为晶面指数(indicesoflatticeplane)。要描写一个平面的方位，就是要找出一个坐标系中表示该平面的法线方向，或给出该平面在三个坐标轴上截距。显然，根据基矢取坐标系时，晶面指数也有两种标志方法。

(1)固体物理学原胞

(2)结晶学原胞二、晶面和密勒指数

（latticeplanesandMillerindices）

设某一族晶面的面间距为d，它的法线方向的单位矢量为则在这族晶面中，离开原点的距离为的晶面的方程式为

（1.3.1）为了标志一个晶面，通常选取某一个格点为原点，以基矢为坐标轴，并取为沿着三个坐标轴的天然长度。其中为整数；是晶面上任一点的位置矢量。设此晶面与三个坐标轴的交点的位矢分别为依次代入（1.3.1）式就得到取为沿三个坐标轴的天然的长度单位，则得

（1.3.2）所以，晶面的法线方向与三个坐标轴（基矢）之间夹角的余弦之比等于晶面在三个坐标轴上的截距的倒数之比。说明用方向余弦和截距标志晶面是等价的。

可以证明，r、s、t必为有理数

因为在该族晶面中有三个晶面必过所对应的格点。的端点的端点上的格点分别在离原点的距离为的晶面上，这里设都是整数按照（1.3.1）式，对这三个晶面分别有其中是这族晶面公共法线的单位矢量所以有即晶面族的法线方向与三个基矢之间夹角的余弦之比等于三个整数之比。用天然长度之后（1.3.3）比较（1.3.2）式和（1.3.3）式，容易看出，r、s、t分别是两个整数之比，必为有理数，这就是阿羽依的有理指数定律：任一晶面的截距r、s、t必是一组有理数。整数也是互质的在方程（1.3.1）中取，得第一晶面满足的方程组：（1.3.4）设第一晶面某一个格点的格矢为其中为整数。将格矢代入方程（1.3.1），有

（1.3.5）由（1.3.4）和（1.3.5）式，可以得到

（1.3.6）如果不是互质数，而是有公因子m，m一定是大于1的整数。

（1.3.7）令为互质整数，这样式（1.3.6）可以写为在式（1.3.7）中，括号内为非零整数，则此式不成立。所以必为互质数。

显然，这组互质的整数可用来表示晶面的法线方向，就称它们为该族晶面的面指数，习惯上用圆括号表示，记为求晶面指数的方法：

对于给定的晶面族，以基矢为坐标系，求出任意一个晶面在坐标轴上的截距，将截距取倒数并化为互质的整数，记为，就是该晶面族的晶面指数。密勒指数(Millerindices)

用结晶学原胞基矢构成坐标系,得到的晶面指数,称之为密勒指数，用（hkl）表示。

同一族晶面，在不同坐标系中求得的指数往往是不同的。注意：

（1）面指数可正可负，当晶面在基矢坐标轴正方向相截时，截距系数为正，在负方向相截时，截距系数为负。（2）同一晶体中面间距相同的晶面族，由于在垂直于晶面的方向上，其宏观性质相同，所以称为同族晶面族，并以大括号表示之。如立方晶系晶体的晶面族｛111｝包括（111）、、、、、和。立方晶格的几种主要晶面标记

面等效的晶面数分别为：3个表示为面等效的晶面数分别为：6个表示为面等效的晶面数分别为：4个表示为——符号相反的晶面指数只是在区别晶体的外表面时才有意义,在晶体内部这些面都是等效的如图所示，以原胞基矢构成坐标系，晶面族在三个坐标轴上的截距分别是，截距的倒数是，化成互质数为2，3，3，所以晶面指数是（233）。晶面指数为（233）的晶面族中的一个晶面SummarycrystalarrayanddirectionindicescrystalarraycrystaldirectiondirectionindiceslatticeplanesandMillerindiceslatticeplanesMillerindicesCrystaldirections.AnylatticevectorcanbewrittenasthatgivenbyEq:Thedirectionisthenspecifiedbythethreeintegers[l’1l’2l’3

].Ifthenumbersl’1l’2l’3haveacommonfactor,thisfactorisremoved.Forexample,[111]isusedratherthan[222],or[100],ratherthan[400].Whenwespeakaboutdirections,wemeanaholesetofparallellines,whichareequivalentduetotransnationalsymmetry.Oppositeorientationisdenotedbythenegativesignoveranumber.Crystalplanes.TheorientationofaplaneinalatticeisspecifiedbyMillerindices.Theyaredefinedasfollows.Wefindinterceptoftheplanewiththeaxesalongtheprimitivetranslationvectorsa1,a2anda3.Let’stheseinterceptsbex,y,andz,sothatxisfractionalmultipleofa1,yisafractionalmultipleofa2andzisafractionalmultipleofa3.Thereforewecanmeasurex,y,andzinunitsa1,a2anda3respectively.Wehavethenatripletofintegers(xyz).Thenweinvertit(1/x1/y1/z)andredu