第七章激光器特性2

速率方程增益饱和激光器工作特性振荡阈值振荡模式输出功率输出线宽弛豫振荡选模调Q/锁模/放大稳频LD直接调制/增益开关DFB谐振腔理论高斯光束频率技术输出频率第七章激光器特性的控制与改善主要内容:1.模式选择技术（横模和纵模）2.稳频技术3.Q调制技术4.锁模技术参考文献:<<激光技术>>,蓝信钜,科学出版社7.1模式选择选模意义：方向性或单色性很好的光束质量

基横模（TEM00）～发散角小～空间相干性单纵模～单色性好～时间相干性横模选择纵模选择方形镜对称共焦腔的行波场－厄米-高斯光束不同横模的光场强度分布1.横模选择横模选择原则横模选择的物理基础：不同横模有不同的衍射损耗

尽量加大高阶模和基模之间的衍射损耗差

尽可能减少除衍射损耗外的其它损耗，加大衍射损耗在总损耗中的比例①与腔型和g参数有关，不同的腔型和g，衍射损耗不同。②同一种腔型，不同横模，衍射损耗不同。模最小，随着模序数增加，越来越大。③同一种腔型，菲涅尔数不同，衍射损耗不同。在不同N，g下，和模的衍射损耗曲线，这是选模的设计依据。影响衍射损耗的因素基模体积和腔型有关：增大腔镜的曲率半径，基模体积增大(R增大大)。影响基模体积的因素在选模中，不但选出单一基模，而且应尽可能使选择的腔型增模体积－输出功率增大。共焦腔横模选择方法

谐振腔设计

小孔光阑非稳腔微调谐振腔合理选择腔型及腔结构参数，使TEM00和TEM10模之间有足够的差异圆形平面镜腔圆形镜共焦腔小孔光阑选横模小孔小孔小孔光阑选模聚焦光阑选模聚焦光阑法腔内望远镜法基本思路：减小谐振腔的菲涅耳数，增加衍射损耗TEM00模和其它高阶模有不同的光斑尺寸特点：方法简单不易获得大功率输出非稳腔选横模适用于高增益激光器选横模非稳腔的输出光束为球面波或平面波

微调谐振腔高损耗腔，相邻横模间衍射损耗差异大，模体积大平凹2.纵模选择－提高时间相干性

－在特定跃迁谱线范围内获得单纵模的方法纵模选择原则

扩大相邻纵模的增益差或人为引入损耗差在选纵模之前先选横模-基模在多横模的腔中，光的频率很复杂，各频率间隔小，在增益线宽中振荡的频率多原理：在腔中加入一色散元件，使不同波长的光发生分离，其中只有较窄波长范围的光振荡，其他波长的光偏离腔外。色散腔粗选频率

2纵模选择方法色散元件:棱镜，光栅①棱镜:光通过棱镜时，不同的光出射角不同，则损耗不同，能够振荡的光只有一范围。角色散率最大偏离角利用炫耀光栅方程：满足上式的光才能在腔中振荡(入射光线和反射光线重合)。偏离此式的光损耗大，偏离的多，光不能振荡。光沿槽法线方向入射，出射光沿此方向。特点：上述两种色散腔粗选法只能选出具有一定宽度的谱线，不能选出单一的频率。

②光栅

短腔法－缩短腔长，增大纵模间隔适用于荧光线宽窄的激光器

单模YAG：例：He-Ne

腔内插入

F-P标准具F-P标准具的设计考虑L激光工作物质插入FP后自由光谱区透射宽度隔离器激光工作物质抑制空间烧孔效应

行波环形腔激光器一端的反射镜被三块反射镜的组合所代替，其中M3和M4为全反射镜，M2是具有适当透射率的部分透射部分反射镜这相当于两个谐振腔的耦合，一个是由M1、M3组成，其腔长为L1+L2；另一个由M3、M4组成，其腔长为L1+2L2+L3，两个谐振腔的纵模频率间隔分别为：

c/2(L1+L2)和c/2(L1+2L2+L3)只有同时满足两个谐振条件的光才能形成振荡，故选择合适的L2,L3就可以获得单纵模输出

组合腔三反射镜法LD外腔半导体激光器直接测量：1.直接观测(适合连续激光器)2.照相（适合连续、脉冲激光器）3.目前广泛应用的采用摄像管或电荷耦合器件（CCD）来测量模式并能测出光斑大小及发散角的大小。光电扫描法把输出激光光强的x、y方向上逐点扫描在示波器上显示出来，或用函数记录仪把光强的分布直接接收下来划出曲线，根据曲线的形状，判定模式。适用于连续激光器的横模测量。测量????一、外界因素对频率稳定性的影响

纵模频率：频率稳定性：谐振腔几何长度变化：温度、振动10-3/oC折射率变化：温度，D起伏（放电电流、驱动电流等），气压、湿度单模氦氖激光器频率稳定性：10-4-10-5Dn=1010Hz

采取恒温、防震、隔声、稳压、稳流措施：10-7

7.2稳频激光器稳定度：指激光器在一次连续工作

时间内的频率漂移与振荡频率之比复现性：激光器在不同地点、时间、

环境下使用时频率的相对变化量对共焦腔的TEM00模来说，谐振频率的公式可以简化为：当L的变化为L，的变化为时，引起的频率相对变化为：一般希望稳定度和复现度都在10-8以上。目前稳定度一般在10-9左右，较高的可达10-11~10-13；复现度一般在10-7左右，高的可达10-10~10-12。频率稳定性二、稳频基本原理：－稳定谐振腔光学长度选择标准参考频率获取误差信号

驱动电子伺服系统自动调节腔长三、稳频方法*兰姆凹陷

*饱和吸收

塞曼吸收F-P标准具稳频系统光电接收频率稳定性：10-9n>n0

同相

n<n0反相

n=n0

2fn>n0

同相n<n0

反相压电陶瓷：改变腔长外表面加正电压,内加负电压,伸长直流:调节激光器输出频率交流信号:

搜索信号，判断+,-正电压外(+)，内(-)负电压外(-)，内(+)

n>n0

同相

负电压输出压电陶瓷

腔长q拉回n0n<n0反相

正向压电陶瓷

腔长q拉回n0n=n02f

0电压压电陶瓷不变n=n0频率复现性差10-7要求兰姆凹陷对称,窄且深

图不同同位素对兰姆凹陷的影响注意事项第一、激光器的激励电源是稳压和稳流的。第二、氖的不同同位素的原子谱线中心有一定频差。第三、频率的稳定性与兰姆凹陷中心两侧的斜率大小有关。饱和吸收稳频－反兰姆凹陷压电陶瓷吸收管内充气压:1~10Pa

多普勒加宽为主低压气体吸收峰频率稳定性好b(n1)+P~n1曲线上形成反兰姆凹陷频率稳定性:10-11~10-12频率复现性10-11632.8nm:

碘同位素蒸汽；3.39mm:甲烷；1530.3718nm：乙炔稳频系统光电接收半导体激光器F-P无源腔稳频F-P标准具稳频短脉冲技术

调Q技术与锁模技术是应人们对高峰值功率、窄脉宽激光脉冲的应用需求而发展起来的。两种方式机理不同，压缩的程度也不同。调Q技术可将激光脉宽压缩至纳秒量级（峰值功率达106W以上）。锁模技术可将激光脉宽压缩至皮秒或飞秒量级（峰值功率可达到1012W)7.3调Q技术7.3.1调Q的基本理论一.脉冲固体激光器的输出的驰豫振荡将普通脉冲固体激光器输出的脉冲，用示波器进行观察、记录，发现其波形并非一个平滑的光脉冲，而是由许多振幅、脉宽和间隔作随机变化的尖峰脉冲组成的。如图(a)所示。每个尖峰的宽度约为0.1～1μs，间隔为数微秒，脉冲序列的长度大致与闪光灯泵浦持续时间相等。图(b)所示为观察到的红宝石激光器输出的尖峰。这种现象称为激光器弛豫振荡。

E1E2泵浦使激光器达到阈值，产生激光反转粒子数减少至低于阈值激光熄灭特点(2)加大泵浦能量，只是增加尖峰的个数，不能增加峰值功率(1)峰值功率不高，只在阈值附近原因:激光器的阈值始终保持不变二、谐振腔的品质因数Q储存在腔内的总能量（E）单位时间内损耗的能量（P）谐振腔的损耗越小，Q值越高定义：Q的普遍定义

泵浦时令腔损耗很大(Q很小),突然减小损耗(增大Q),使积蓄的反转粒子数在短时间内完成受激辐射,形成光脉冲。

改变激光器的阈值是提高激光上能级粒子数积累的有效方法。从“激光原理”得知，激光器振荡的阈值条件可表示为三、调Ｑ的基本原理

(1)要求工作物质必须能在强泵浦下工作；其次，要求工作物质必须有较长的寿命,若激光工作物质的上能级寿命为τ2，则上能级上的反转粒子数n2因自发辐射而减少的速度为n2/τ

2，这样，当泵浦速率（要大）为Wp时，在达到平衡情况下，应满足：则上能级达到最大反转粒子数取决于

n2=Wpτ2实现调Q对激光器的基本要求(3)谐振腔的Q值改变要快（最好是突变），一般应与谐振腔建立激光振荡的时间相比拟。(2)光泵的泵浦速度必须快于激光上能级的自发辐射速率。四、调Q激光器的两种储能方式调Q激光器工作物质储能谐振腔储能1.工作物质储能调Q脉冲反射式调Q。将能量以激活离子的形式储存在工作物质中。能量储存的时间，取决激光上能级的寿命。1.工作物质储能调Q（1）工作过程调Q激光脉冲的建立过程，各参量随时间的变化情况，如图所示。图(a)表示泵浦速率Wp随时间的变化；图(b)表示腔的Q值是时间的阶跃函数(虚线)；图(c)表示粒子反转数△n的变化；图(d)表示腔内光子数Φ随时间的变化。Q时间光子数密度粒子反转数谐振腔损耗泵浦速率在泵浦过程,谐振腔处于低Q值(Qo)状态，反转粒子数不断累，直至t0时刻，粒子数反转达到最大值△ni，Q值突然升高(损耗下降)，振荡阈值随之降低，于是激光振荡开始建立。由于此△ni>>△nt(阈值粒子反转数)，因此受激辐射增强非常迅速，激光介质存储的能量在极短的时间内转变为受激辐射场的能量，结果产生了一个峰值功率很高的窄脉冲。Q时间光子数密度粒子反转数谐振腔损耗泵浦速率t0调Q脉冲的建立有个过程，当Q值阶跃上升时开始振荡，在t=t0振荡开始建立过程中，光子数Φ增长十分缓慢，其值始终很小，受激辐射几率很小。tfΦiΦD从开始振荡到脉冲形成的过程只有振荡持续到t＝tD时，增长到了ΦD，雪崩过程才形成，Φ才迅速增大，受激辐射才迅速超过自发辐射而占优势。因此，调Q脉冲从振荡开始建立到巨脉冲激光形成需要一定的延迟时间△t(也就是Q开关开启的持续时间)。到t=tp时刻，△ni=

△nt，光子数达到最大值Φm之后，可见，调Q脉冲的峰值是发生在反转粒子数等于阈值反转粒子数(△ni=

△nt)的时刻。ΦiΦD（2）工作物质储能调Q的特点巨脉冲的宽度一般为10~20ns；输出方式为边形成激光振荡边输出，输出光脉冲的形状与腔内光强的变化状态一致；激光振荡终止时，工作物质的能量没有被全部取出。2.谐振腔储能调Q脉冲透射式调Q.将能量以光子的形式储存在谐振腔中，当腔内光子数密度达到最大值时，瞬间将腔内能量全部输出，因而也称为腔倒空法。(1)工作过程谐振腔储能调QV=0：损耗大，Q值低，反转粒子数得到积累反转粒子数达最大Q值突增，激光振荡迅速建立，当工作物质储能全部转化为腔内光子能量时，撤去晶体上电压，则腔内存储的最大光能量瞬间透过P2。（2）谐振腔储能调Q的特点当工作物质的储能全部转化为腔内能量时，瞬间将腔倒空；巨脉冲宽度更窄，峰值功率更高；调Q脉冲的能量利用率更高。综上所述，谐振腔的Q值与损耗δ成反比，如果按照一定的规律改变谐振腔的δ值，就可以使Q值发生相应的变化。谐振腔的损耗一般包括有：反射损耗、衍射损耗、吸收损耗等。那么，我们用不同的方法控制不同类型的损耗变化，就可以形成不同的调Q技术。有机械转镜调Q、电光调Q技术，声光调Q技术，染料调Q技术等。调Q技术就是通过某种方法使腔的Q值随时间按一定程序变化的技术。或者说使腔的损耗随时间按一定程序变化的技术。E1E2

调Q脉冲的形成过程以及各种参量对激光脉冲的影响，可以采用速率方程来进行分析，它是描述腔内振荡光子数和工作物质的反转粒子数随时间变化规律的方程组。根据这些规律，又可推导出调Q脉冲的峰值功率、脉冲宽度等和粒子数反转的关系。7.3.2调Q激光器的速率方程三方面简化：（1）Q开关函数是理想的阶跃函数（2）能级结构为二能级系统，Q开关打开前，忽略自发辐射，打开后光泵停止。（3）只研究Q值阶跃后的脉冲形成过程。一、速率方程工作物质的受激辐射过程中，腔内光子数密度随距离的增长率为腔内光子数密度随时间的增长率为若δ为Q值阶跃后的单程损耗率，t1为光在腔内传播一个单程所需要的时间（t1=nL/c)，则腔内光子数密度φ随时间的衰减率为于是腔内光子数密度的总变化率为两侧同乘谐振腔的体积V，则得腔内总光子数Φ的变化率在增益等于损耗的阈值条件下得阈值增益系数因增益正比于工作物质上、下能级的反转粒子数N设在dτ时间内，反转粒子数N的变化量dN，考虑到由于受激跃迁而产生的光子数变化率应为；此外，对于简化的二能级系统，每产生一个光子，反转粒子数N相应的减少两个，故有上两式为调Q脉冲激光器的速率方程二、速率方程的解1.腔内光子数上两式相除，得积分，得式中，为腔内初始光子数，为初始反转粒子数，当时，腔内光子数达到其最大值在附近做级数展开，可得2.峰值功率当腔内光子数达到最大值时，输出的巨脉冲功率也达到其最大值，即为输出镜单位时间内光能量的衰减率。设输出镜透过率为T,腔长为L，光在腔内的运动速度为v,可得3.输出能量E4.单脉冲能量利用率定义为初始反转粒子数Ni和剩余反转粒子数Nf之差与Ni的比值其意义为一个调Q脉冲可以从工作物质的储能中提取多大比率的能量。设脉冲终止时工作物质的反转粒子数为Nf，此时为提高调Q器件单脉冲的能量利用率，器件应该有大的Ni和低的Nf。要达到Ni/Nf>3以上，这样才能保证器件有较高的工作效率。Ni

/Nt下面再讨论一下调Q脉冲的脉宽和波形问题5．调Q脉冲的时间特性积分上式可用数值积分的方法求出t的数值解脉冲宽度定义为半功率点的宽度利用某些晶体的电光效应可以做成电光Q开关器件。电光调Q具有开关时间短，效率高，调Q时刻可以精确控制，输出脉冲宽度窄（10~20ns)，峰值功率高(几十兆瓦以上）等优点。7.3.3电光调Q下图所示是电光晶体调Q装置的工作原理图。激光工作物质是Nd:YAG晶体，偏振器采用方解石空气隙格兰—付克棱镜，调制晶体用KD*P(磷酸二氘钾)晶体，它是z-00切割的(使通光面与z轴垂直)，利用其γ63的纵向电光效应。将调制晶体两端的环状电极与调Q电源相接。一、带偏振器的Pockels电光调Q器件1.激光器的结构全反镜

电光晶体偏振片

聚光腔输出镜镀全反染料盒输出镜调Ｑ模块染料调Ｑ激光器聚光腔电光调Ｑ激光器如果在调制晶体上施加λ／4电压，由于纵向电光效应，当沿x方向的线偏振光通过晶体后，两分量之间便产生π／2的相位差，则从晶体出射后合成为相当于圆偏振光；经全反射镜反射回来，再次通过调制晶体，又会产生π／2的相位差，往返一次总共累积产生π相位差，合成后得到沿y方向振动的线偏振光，相当于偏振面相对于入射光旋转了900，显然，这种偏振光不能再通过偏振棱镜，此时，电光Q开关处于“关闭”状态。因此，如果在氙灯刚开始点燃时，事先在调制晶体上加上λ／4电压，使谐振腔处于“关闭”的低Q值状态，阻断激光振荡的形成。2.工作原理待激光上能级反转的粒子数积累到最大值时，突然撤去晶体上的λ／4电压，使激光器瞬间处于高Q值状态，产生雪崩式的激光振荡，就可输出一个巨脉冲。由电光调Q基本原理可知，要获得高效率调Q的关键之一是精确控制Q开关“打开”的延迟时间。被动式Q开关，即利用某些可饱和吸收体本身特性，能自动地改变Q值的一种方法。一、可饱和吸收染料的调Q原理某些有机染料是一种非线性吸收介质，即其吸收系数并不是常数，当在较强激光作用下，其吸收系数随光强的增加而减小直至饱和，对光呈现透明的特性，这种染料称为可饱和吸收染料，吸收系数：7.3.4被动式可饱和吸收调Q式中，α0为光强很小(I→0)时的吸收系数；Is为染料的饱和吸收光强，其大小与染料的种类和浓度有关，一般来说，染料的浓度增加，Is值也增加；I为入射光强。由上式可以看出，当I>>Is时，吸收系数趋于零，染料对通过的光束于是变为透明(图示出了染料透过率与光功率密度的关系，透射率=1-吸收率）

染料透过率与光功率密度的关系那么，将具有这种性能的染料(溶液或固态片)置于谐振腔内时（见下图),开始泵浦腔内光弱吸收系数大Q值低不能形成激光继续泵浦腔内光变强吸收系数变小光达到一定值时，吸收系数饱和燃料被漂白Q值突增，形成激光脉冲泵浦结束激光介质染料盒

激光全反镜输出镜氙灯声光Q开关器件的结构，由声光介质、电-声换能器、吸声材料和驱动电源组成。其装置示意图如下图所示。7.3.5声光调Q激光介质声光器件全反镜输出镜激光介质声光器件激光全反镜输出镜1、Q开关开启2、Q开关关闭声光介质主要采用熔融石英、玻璃、钼酸铅等。换能器常采用石英、铌酸锂等晶体制成。吸声材料常用铅橡胶或玻璃棉等。把声光Q开关器件插入谐振腔内，当声光电源产生的高频振荡信号加在声光调Q器件的换能器上时，在声光介质中，使折射率发生变化，形成等效的“相位光栅”，当光束通过声光介质时，便产生布拉格衍射。衍射光相对于0级光有2θ角的偏离(如当超声频率在20～50MHz范围时，石英对1.06μm的光波的衍射角为0.30

～0.50)，这一角度完全可以使光波偏离出腔外，使谐振腔处于高损耗低Q值状态，不能产生振荡，或者说Q开关将激光“关断”。当高频信号的作用突然停止，则声光介质中的超声场消失，于是谐振腔又突变为高Q值状态，相当于Q开关“打开”。Q值交替变化一次，就使激光器输出一个调Q脉冲。7.3.6转镜调Q简介转镜调Q就是利用改变反射镜的平行度反射损耗来控制Q值的方法。激光介质

激光半反镜架棱镜磁头磁钢电源光泵电动机触发电路如图所示的是转镜调Q激光器的示意图。

调Q激光器的工作方式是多种多样的，且都具有各自的特点，在不同的应用中可以选用，现归纳如下：(1)转镜调Q其开关时间与脉冲时间近似相等，故属于慢开关类型。由于这种Q开关无插入损耗，也不存在光损伤的问题，所以可用于能量较大的脉冲激光器中。其主要缺点是在高转速下的机械磨损会影响使用寿命，且装配工艺要求较高。目前这种Q开关已基本上不采用。(2)电光晶体调Q其开关时间主要取决于电路的高压脉冲上升和退压时间，一般都能做到小于脉冲建立时间，故属于快开关类型。它能产生窄脉冲，且同步性能好，使用寿命长，输出巨脉冲稳定。可获得峰值功率为几十兆瓦以上、脉宽为十几纳秒的巨脉冲，故是目前应用最广泛的一种Q开关，其主要缺点是半波电压较高，需要几千伏的高压脉冲，对其他电子线路易造成干扰。(3)声光调Q其开关时间小于脉冲建立时间，属于快开关类型。开关的调制电压只需一百多伏，易与连续激光器配合调Q，可获得kHz高重复频率的巨脉冲，且脉冲的重复性好，可获得峰值功率为几百千瓦，脉宽约为几十纳秒的巨脉冲。但由于它对高能量激光器的开关能力较差，所以，只能用于低增益的连续激光器上。(4)可饱和吸收体调Q这是一种被动式的快开关类型，这种Q开关结构简单，使用方便，没有电的干扰，可获得峰值功率为几兆瓦、脉宽为十几纳秒的巨脉冲。其主要缺点是，由于它是一种被动式Q开关，产生调Q脉冲的时刻有一定的随机性，不能人为地控制。另外，染料易变质，需经常更换，输出不稳定。7.4锁模技术

超短脉冲（纳秒以下的光脉冲ps-fs

）激光器的模式分为纵模和横模。锁模也分为锁纵模、锁横模、锁纵横模三种。本节介绍纵模锁定。锁模ModeLocking的基本理论一、多模激光器的输出特性未经锁摸的多纵模自由运转激光器的输出特性。腔长为L的激光器，其纵模的频率间隔为如图所示。这些模的振幅及相位都不固定，激光输出随时间的变化是它们无规则叠加的结果，是一种时间平均的统计值。假设在激光工作物质的净增益线宽内包含有2N+1个纵模，那么激光器输出的光波电场是N个纵模电场的和，即式中，q＝0，1，2，…，

N是激光器内(2N+1)个振荡模中第q个纵模的序数；Eq是纵模序数为q的场强;ωq及φq是纵模序数为q的模的角频率及相位。三大特点：1.各纵模初相位彼此无确定关系，完全独立、随机的。2.频谱。由于存在频率牵引和推斥作用，各相邻纵模之间频率间隔并不严格相等。各纵模不相干。3.输出光强。输出光强由于各纵模之间非相干叠加而呈现随机的无规则起伏。若振幅相同二、锁模的基本原理1.锁模的概念使各纵模在时间上同步，频率间隔也保持一定，则激光器将输出脉宽极窄、峰值功率很高的超短脉冲。2.锁模脉冲的特征先看三个不同频率光波的叠加：Ei=E0cos(2πνi

t+

i)i=1,2,3设三个振动频率分别为ν1、

ν2、

ν3

的三个光波沿同一方向传播，且有关系式：ν3=3ν1，ν2=2ν1,E1=E2=E3=E0

输出的光强只在平均光强3E02/2级基础上有一个小的起伏扰动。3E02/2但若设法使

1=

2=

3=0时，有

E1=E0cos(2πν1t)E2=E0cos(4πν1t)E3=E0cos(6πν1t)当t=0时,E=3E0,E2=9E02;t=1/(3ν1)时,E

=0;

当各光波振幅同时达到最大值处时，由于“建设性”的干涉作用，就周期性地出现了极大值（I=E2=9E02）。当然,对于谐振腔内存在多个纵模的情况，同样有类似的结果。3E02/2激光器各模的相位己按照q+1-q=常数的关系被锁定，这种激光器叫做锁模激光器，相应的技术称为“锁模技术”。要获得窄脉宽、高峰值功率的光脉冲，只有采用锁模的方法，就是使各纵模相邻频率间隔相等并固定为，并且相邻位相差为常量。这一点在单横模的激光器中是能够实现的。ω-5ω-1ω0ω1ω5ω

N=5,2N+1=11式中，q为腔内振荡纵模的序数。设多模激光器的所有振荡模均具有相等的振幅E0，超过阈值的纵模共有2N十1个，处在介质增益曲线中心的模，其角频率为ω0，初相位为0，其模序数q=0，即以中心模作为参考，各相邻模的相位差为α，模频率间隔为Δω，假定第q个振荡模为激光器输出总光场是2N+1个纵模相干的结果：(a）2N+1个模式经过锁定以后，总的光波场变为频率为 的单色调幅波，振幅A(t)－即总光波场受到振幅调制。(b)光强 是时间的函数。(c)光波电场调幅波按傅立叶分析是由2N+1个纵模频率 组成，因此光波的脉冲包括2N+1个纵模的光波。由上面分析可知，只要知道振幅A(t)的变化情况，即可了解输出激光的持性。假定α=0上式分子、分母均为周期函数，因此A(t)也是周期函数。只要得到它的周期、零点，即可以得到A(t)的变化规律。可求出A(t)的周期为在t=0和t=2L/c时，A(t)取得极大值，因A(t)分子、分母同时为零，利用罗彼塔法则可求得此时振幅（2N+1)E0。令分母→等；因为△ω=2△υ=c/L,所以，，在一个周期内2N个零值点及2N+1个极值点。频率间隔△υ=c/2L倒数(2)每个脉冲的宽度可见增益线宽愈宽，愈可能得到窄的锁模脉宽.0，t1

由于光强正比于A2(t)，所以在t=0和t=2L/c时的极大值，称为主脉冲。在两个相邻主脉冲之间，共有2N个零点，并有2N-1个次极大值，称为次脉冲。所以锁模振荡也可以理解为只有一个光脉冲在腔内来回传播。(1)激光器的输出是间隔为τ=2L/c的规则脉冲序列。通过分析可知以下性质：(4)多模(ω0+q△ωq)激光器相位锁定的结果，实现了q+1-

q=常数，导致输出一个峰值功率高，脉冲宽度窄的序列冲。(3)输出脉冲的峰值功率正比于，因此，由于锁模，峰值功率增大了2N+1倍。q=-N注意：1.主动锁模：主动锁模采用的是周期性调制谐振腔参量的方法。7.4.2实现锁模的锁模的主要方法2.被动锁模：腔内插入饱和吸收体。3.自锁模：当激活介质本身的非线性效应能够保持各个振荡纵模频率的等间隔分布，并有确定的初相位关系，不需要在谐振腔内插入任何调制元件，就可以实现纵模锁定的方法。主动锁模是在激光腔内插入一个调制器，调制器的调制频率应精确地等于纵模间隔，这样可以得到重复频率为f＝c/2L的锁模脉冲序列。根据调制的原理，可分为相位调制(PM)(或频率调制FM)锁模及振幅调制(AM或称为损耗调制)锁模。7.4.3主动锁模原理与器件利用声光或电光调制器均可实现振幅调制锁模。设在某时刻t1通过调制器光信号受到的损耗为α(t1)，则在脉冲往返一周时，这个光信号将受到同样的损耗如α(t1)≠0，则这部分信号就会消失。而在损耗α(t1)＝0时刻通过调制器的光，那么将形成脉宽很窄，周期为2L/c的脉冲序列输出。一、振幅调制锁模（AM)式中，Am，分别为调制信号的振幅和角频率。设调制信号b(t)b(t)假定调制前腔内的光场为:调制器的损耗调制信号透过率图所示为时域内损耗调制锁模原理波形图。图(a)为调制信号的波形；图(b)为腔内损耗的波形，其频率为调制信号频率的两倍；图(c)为调制器透过率波形；图(d)为腔内未调制的光波电场；图(e)为腔内经过调制后的光波电场；图(f)为锁模激光器输出的光脉冲。上式说明：一个频率为ωc的光波，经过外加频率为（1/2）ωm的调制信号调制后，其频谱包括了三个频率，即ωc

，上边频(ωc+ωm)，下边频(ωc–ωm)，而且这三个频率的光波的相位均相同。由此可见，损耗是以频率fm=ωm/2π＝△υq（频率间隔）变化的，因此，第q个振荡模里会出现其他模的振荡。损耗调制的结果把各个纵模联系起来了，其锁模过程如下：

从频率域讨论锁模原理。现将展开得：由调制激发的边频实际上是与υ0相邻的两个纵模频率，这样使得与它相邻的两个纵模开始振荡，它们具有确定的振幅和与υ0相同的相位关系。假设处于增益曲线中心的纵模频率为υ0，由于它的增益最大，首先开始振荡，电场表达式为当该光波通过腔内的调制器时，受到损耗调制，调制的结果产生了两个边频分量υ0±υm。当损耗变化的频率υm和腔内纵模的频率间隔相等时，

E(t)=E0cosω0t相位调制是在激光腔内插入一个电光调制器。当调制器介质折射率按外加调制信号而周期性改变时，光波在不同的时刻通过介质，便有不同的相位延迟，这就是相位调制的原理。二、相位调制锁模相位调制器的作用可理解为一种频移，使光波的频率发生向大(或小)的方向移动。只有那些与相位变化的极值点(极大或极小