庄浪县第一中学2021届高三数学第四次模拟试题理

甘肃省庄浪县第一中学2021届高三数学第四次模拟试题理甘肃省庄浪县第一中学2021届高三数学第四次模拟试题理PAGEPAGE13甘肃省庄浪县第一中学2021届高三数学第四次模拟试题理甘肃省庄浪县第一中学2021届高三数学第四次模拟试题理一、单选题(本大题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）1．设集合,,则()A． B． C．D．2．圆上的点到直线的距离的取值范围是（)A． B． C． D．3．据记载，欧拉公式是由瑞士著名数学家欧拉发现的，该公式被誉为“数学中的天桥”.特别是当时，得到一个令人着迷的优美恒等式，这个恒等式将数学中五个重要的数（自然对数的底e，圆周率,虚数单位，自然数的单位1和零元0)联系到了一起,有些数学家评价它是“最完美的公式”.根据欧拉公式，若复数z=的共轭复数为,则（)A． B． C． D．4．将正整数12分解成两个正整数的乘积有，，三种，其中是这三种分解中两数差的绝对值最小的，我们称为12的最佳分解.当（且p､)是正整数n的最佳分解时，我们定义函数，例如，则数列的前2020项和为()A． B． C． D．5．在不超过20的素数(注：如果一个大于1的整数除了1和自身外无其它正因数，则称这个整数为素数）中，随机选取2个不同的数，这两个数的和等于20的概率是（)A． B． C． D．6．已知，平面ABC，若,则四面体PABC的外接球(顶点都在球面上）的体积为（）A． B． C． D．7．若曲线的一条切线为(为自然对数的底数)，其中为正实数,则的取值范围是()A． B． C． D．8．在数列中，，，则（）A． B． C． D．9．若将函数的图象向左平移个单位长度后。得到的函数图象关于对称。则函数在上的最小值是（）A． B． C． D．010．已知椭圆两焦点,P为椭圆上一点，若，则的的内切圆半径为(）A． B． C． D．11．广为人知的太极图,其形状如阴阳两鱼互纠在一起，因而被习称为“阴阳鱼太极图”．如图，是由一个半径为的大圆和两个半径为的半圆组成的“阴阳鱼太极图”，圆心分别为、、，若一动点从点出发,按路线运动(其中、、、、五点共线），设的运动路程为，，与的函数关系式为，则的大致图象为（）A． B．C． D．12．设实数,已知函数f（x)=，若函数在区间上有两个零点，则的取值范围是(）A．B．C． D．二、填空题（本大题共20分，含4小题，每小题5分.）13．已知等差数列前项的和为，若,且三点共线(该直线不过点），则________________14．法国数学家拉格朗日于1778年在其著作《解析函数论》中提出一个定理:如果函数满足如下条件：（1)在闭区间上是连续不断的；（2)在区间上都有导数．则在区间上至少存在一个数，使得，其中称为拉格朗日中值．则在区间上的拉格朗日中值________．15．设函数则使得f（）>f（3x-1）成立的x的取值范围是___________。16．若对任意，都有，（为正整数），则的值等于_______.三、解答题:（本大题共70分,解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。)17．如图，在圆内接中，内角A，B，C所对的边分别为a，b,c,满足.（1）求B;（2)若点D是劣弧AC上一点，AB=2，BC=3，AD=1,求四边形ABCD的面积。18．2018年至今，美国对“中兴"、“华为”等中国高科技公司进行疯狂的打压，引发国内“中国芯”研发热潮，但芯片的生产十分复杂，其中最重要的三种设备：刻蚀机、离子注入机、光刻机所需的核心技术仍被一些欧美国家垄断，国内某知名半导体公司组织多个科研团队，准备在未来2年内全力攻关这三项核心技术,已知在规定的2年内，刻蚀机、离子注入机和光刻机所需的三项核心技术，被科研团队攻克的概率分别为，,,各项技术攻关结果彼此独立．按照该公司对科研团队的考核标准，在规定的2年内，攻克刻蚀机、离子注入机所需的核心技术，每项均可获得30分的考核分，攻克光刻机所需的核心技术,可获得60分的考核分，若规定时间结束时,某项技术未能被攻克，则扣除该团队考核分10分．已知团队的初始分为0分，设2年结束时,团队的总分为，求：（1）已知团队在规定时间内,将三项核心技术都攻克的概率为，求该团队恰能攻克三项核心技术中的一项的概率；(2)已知，求总分不低于50分的概率．19．如图，三棱柱的侧面是边长为的正方形，面面，，,是的中点.(1）求证:平面；(2）求点到平面的距离；（3）在线段上是否存在一点，使二面角为，若存在，求的长；若不存在，说明理由.20．已知椭圆的离心率为，且过点.(1)求椭圆的方程；（2）过点作两直线与分别交椭圆于､两点，若直线与的斜率互为相反数，求的最大值.21．已知函数.（1）讨论函数的单调性.（2）若，设是函数的两个极值点，若,求证：。选做题:请考生在第22-23题中任选一题作答，如果多做,则按所做的第一题计分．22．已知在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为为参数）．以原点为极点,轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．（1）求曲线的普通方程以及曲线的直角坐标方程；（2)若曲线、交于、两点，,求的值．23．已知，，，证明:(1）;(2).参考答案1．D2．C3．A4．B5．A6．C7．C8．A9．D10．B11．A12．D13．14．15．16．417．解:(1）由正弦定理得，得。因为，所以,即.（2）在中AB=2，BC=3，,，解得。在中,，A，B，C，D在圆上,因为,所以，所以，解得或（舍去），所以四边形ABCD的面积。18．解：（1）三项核心技术都攻克的概率为，故恰能攻克三项核心技术中的一项的概率;（2）若三项技术都攻克，则，；若攻克光刻机技术和刻蚀机、离子注入机中的一项，则，；若技术刻蚀机和离子注入机，但未攻克光刻机技术,则，；所以，19．解:（1）连接交于,连接，根据柱体的性质可知，所以四边形是平行四边形，所以是的中点,由于是的中点，所以,由于平面,平面,所以平面。（2）因为四边形是正方形，所以，因为面面，面面，所以平面，则.因为，，在三角形中由余弦定理得,所以,所以。以为原点，建立如图所示空间直角坐标系.则。.设平面的法向量为，则，令，则，故。设到平面的距离为，则.（3）假设线段上存在一点，使二面角为。设,则，。设平面的法向量为，则，令则，所以.由于平面，所以，是平面的一个法向量，所以,解得(负根舍去）。所以在线段上存在一点，使二面角为，且。20．解：(1）由题意,椭圆的离心率为，且过点.可得,解得，所以椭圆的方程为。（2）设直线为，则直线为，联立方程组,整理得，由，解得，又由，可得，则,同理可得:，，所以,当且仅当时,等号成立,因此，的最大值为.21．解:（1)由题意得,函数的定义域为，。当时，,函数在上单调递增。当时，令，得。若，则，此时函数单调递增；若,则，此时函数单调递减。综上,当时,函数在上单调递增；当时，函数在上单调递增，在上单调递减.（2），，。由得,，，.,，，解得..设，则，函数在上单调递减。当时，。时，成立。22．解：（1）曲线的参数方程为为参数）．转换为．所以①，②，②①得：．曲线的极坐标方程为．根据,转换为直角坐标方程为．（2）点在直线上，转换为参数方程为为参数），代入，得到和为点和对应的参数），所以，，所以．23．