高中数学人教A版1第三章空间向量与立体几何 优秀作品

第三章(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！)一、选择题(每小题5分，共20分)1．在平行六面体ABCD－A′B′C′D′中，与向量eq\o(A′B′,\s\up6(→))的模相等的向量有()A．7个 B．3个C．5个 D．6个解析：|eq\o(D′C′,\s\up6(→))|＝|eq\o(DC,\s\up6(→))|＝|eq\o(C′D′,\s\up6(→))|＝|eq\o(CD,\s\up6(→))|＝|eq\o(BA,\s\up6(→))|＝|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝|eq\o(B′A′,\s\up6(→))|＝|eq\o(A′B′,\s\up6(→))|.答案：A2．已知向量a，b是两个非零向量，a0，b0是与a，b同方向的单位向量，那么下列各式中正确的是()A．a0＝b0 B．a0＝b0或a0＝－b0C．a0＝1 D．|a0|＝|b0|解析：两单位向量的模都是1，但方向不一定相同或相反．答案：D3．下列命题是真命题的是()A．分别表示空间向量的有向线段所在的直线是异面直线，则这两个向量不是共面向量B．若|a|＝|b|，则a，b的长度相等而方向相同或相反C．若向量eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(CD,\s\up6(→))满足|eq\o(AB,\s\up6(→))|>|eq\o(CD,\s\up6(→))|，且eq\o(AB,\s\up6(→))与eq\o(CD,\s\up6(→))同向，则eq\o(AB,\s\up6(→))>eq\o(CD,\s\up6(→))D．若两个非零向量eq\o(AB,\s\up6(→))与eq\o(CD,\s\up6(→))满足eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＝0，则eq\o(AB,\s\up6(→))∥eq\o(CD,\s\up6(→))解析：A错．因为空间任两向量平移之后可共面，所以空间任两向量均共面．B错．因为|a|＝|b|仅表示a与b的模相等，与方向无关．C错．空间任两向量不研究大小关系，因此也就没有eq\o(AB,\s\up6(→))>eq\o(CD,\s\up6(→))这种写法．D对．∵eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＝0，∴eq\o(AB,\s\up6(→))＝－eq\o(CD,\s\up6(→))，∴eq\o(AB,\s\up6(→))与eq\o(CD,\s\up6(→))共线，故eq\o(AB,\s\up6(→))∥eq\o(CD,\s\up6(→))正确．答案：D4．已知向量eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AC,\s\up6(→))，eq\o(BC,\s\up6(→))满足|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝|eq\o(AC,\s\up6(→))|＋|eq\o(BC,\s\up6(→))|，则()\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→)) \o(AB,\s\up6(→))＝－eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(BC,\s\up6(→))\o(AC,\s\up6(→))与eq\o(BC,\s\up6(→))同向 \o(AC,\s\up6(→))与eq\o(CB,\s\up6(→))同向解析：由|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝|eq\o(AC,\s\up6(→))|＋|eq\o(BC,\s\up6(→))|＝|eq\o(AC,\s\up6(→))|＋|eq\o(CB,\s\up6(→))|，知C点在线段AB上，否则与三角形两边之和大于第三边矛盾，所以eq\o(AC,\s\up6(→))与eq\o(CB,\s\up6(→))同向．答案：D二、填空题(每小题5分，共10分)5．如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，eq\o(CA,\s\up6(→))与eq\o(C1A1,\s\up6(→))是________向量，eq\o(CB,\s\up6(→))与eq\o(B1C1,\s\up6(→))是________向量．解析：CA綊C1A1，CB綊C1B1，所以eq\o(CA,\s\up6(→))＝eq\o(C1A1,\s\up6(→))，eq\o(CB,\s\up6(→))＝－eq\o(B1C1,\s\up6(→)).答案：相等相反6．下列命题中正确的是________．①如果a，b是两个单位向量，则|a|＝|b|；②两个空间向量共线，则这两个向量方向相同；③若a，b，c为非零向量，且a∥b，b∥c，则a∥c；④空间任意两个非零向量都可以平移到同一平面内．解析：对于①：由单位向量的定义即得|a|＝|b|＝1，故①正确；对于②：共线不一定同向，故②错；对于③：正确；对于④：正确，在空间任取一点，过此点引两个与已知非零向量相等的向量，而这两个向量所在的直线相交于此点，两条相交直线确定一个平面，所以两个非零向量可以平移到同一平面内．答案：①③④三、解答题(每小题10分，共20分)7．如图，在长、宽、高分别为AB＝4，AD＝2，AA1＝1的长方体ABCD－A1B1C1D1中的八个顶点的两点为起点和终点的向量中(1)单位向量共有多少个？(2)写出模为eq\r(5)的所有向量；(3)试写出eq\o(AA1,\s\up6(→))的相反向量．解析：(1)由于长方体的高为1，所以长方体4条高所对应的向量eq\o(AA1,\s\up6(→))，eq\o(A1A,\s\up6(→))，eq\o(BB1,\s\up6(→))，eq\o(B1B,\s\up6(→))，eq\o(DD1,\s\up6(→))，eq\o(D1D,\s\up6(→))，eq\o(CC1,\s\up6(→))，eq\o(C1C,\s\up6(→))共8个向量都是单位向量，而其他向量的模均不为1，故单位向量共8个．(2)由于长方体的左右两侧的对角线长均为eq\r(5)，故模为eq\r(5)的向量有eq\o(AD1,\s\up6(→))，eq\o(D1A,\s\up6(→))，eq\o(C1B,\s\up6(→))，eq\o(BC1,\s\up6(→))，eq\o(B1C,\s\up6(→))，eq\o(CB1,\s\up6(→))，eq\o(A1D,\s\up6(→))，eq\o(DA1,\s\up6(→)).(3)向量eq\o(AA1,\s\up6(→))的相反向量为eq\o(A1A,\s\up6(→))，eq\o(B1B,\s\up6(→))，eq\o(C1C,\s\up6(→))，eq\o(D1D,\s\up6(→)).8．如图所示，已知长方体ABCD－A1B1C1D1，化简下列向量表达式(1)eq\o(AA1,\s\up6(→))－eq\o(CB,\s\up6(→))；(2)eq\o(AB1,\s\up6(→))＋eq\o(B1C1,\s\up6(→))＋eq\o(C1D1,\s\up6(→))；(3)eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(A1A,\s\up6(→)).解析：(1)eq\o(AA1,\s\up6(→))－eq\o(CB,\s\up6(→))＝eq\o(AA1,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AA1,\s\up6(→))＋eq\o(A1D1,\s\up6(→))＝eq\o(AD1,\s\up6(→)).(2)eq\o(AB1,\s\up6(→))＋eq\o(B1C1,\s\up6(→))＋eq\o(C1D1,\s\up6(→))＝eq\o(AD1,\s\up6(→)).(3)eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(A1A,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AA1,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AA1,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)eq\o(AC1,\s\up6(→)).9．(10分)如图，已知空间四边形ABCD中，向量eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AC,\s\up6(→))＝b，eq\o(AD,\s\up6(→))＝c，若M为BC中点，G为△BCD的重心，试用a，b，c表示下列向量：(1)eq\o(DM,\s\up6(→))；(2)eq\o(AG,\s\up6(→)).解析：(1)连接AM，在△ADM中，eq\o(DM,\s\up6(→))＝eq\o(DA,\s\up6(→))＋eq\o(AM,\s\up6(→))，由线段中点的向量表示知，eq\o(AM,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)(a＋b)．由相反向量的概念知，eq\o(DA,\s\up6(→))＝－eq\o(AD,\s\up6(→))＝－c.所以eq\o(DM,\s\up6(→))＝eq\o(DA,\s\up6(→))＋eq\o(AM,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(a＋b)－c＝eq\f(1,2)(a＋b－2c)．(2)在△ADG中，注意到三角形重心的性质，得eq\o(AG,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(DG,\s\up6(→))＝c＋eq\f(2,3)eq\o(DM,\s\up6(→))＝