高中数学人教A版第二章数列 省赛获奖

第二章第1课时基础巩固一、选择题1．已知{an}是等比数列，a3＝2，a6＝eq\f(1,4)，则公比q＝eq\x(导学号54742400)(D)A．－eq\f(1,2) B．－2C．2 D．eq\f(1,2)[解析]由条件得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1q2＝2,a1q5＝\f(1,4)，))∵a1≠0，q≠0，∴q3＝eq\f(1,8)，∴q＝eq\f(1,2).故选D．2．互不相等的实数a，b，c成等差数列，c，a，b成等比数列，且a＋3b＋c＝10，则a＝eq\x(导学号54742401)(D)A．4 B．2C．－2 D．－4[解析]由题意知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2b＝a＋c，,a2＝bc，))消去a得4b2－5bc＋c2＝0，∵b≠c，∴c＝4b，∴a＝－2b，代入a＋3b＋c＝10中解得b＝2，∴a＝－4.3．等比数列{an}的首项a1＝1，公比q≠1，如果a1，a2，a3依次是等差数列的第1、2、5项，则q为eq\x(导学号54742402)(B)A．2 B．3C．－3 D．3或－3[解析]设等差数列为{bn}，则b1＝a1＝1，b2＝1＋d，b5＝1＋4d，由题设(1＋d)2＝1×(1＋4d)，∴d＝2或d＝0(与q≠1矛盾舍去)，∴b2＝3，公比q＝eq\f(a2,a1)＝eq\f(b2,b1)＝3.4．在等比数列{an}中，eq\f(a3＋a4,a2＋a3)＝3，a3＝3，则a5＝eq\x(导学号54742403)(D)A．3 B．eq\f(1,3)C．9 D．27[解析]∵q＝eq\f(a3＋a4,a2＋a3)＝3，a3＝a1q2＝9a1＝3，∴a1＝eq\f(1,3)，∴a5＝a1q4＝27.5．各项都是正数的等比数列{an}的公比q≠1，且a2，eq\f(1,2)a3，a1成等差数列，则eq\f(a3＋a4,a4＋a5)的值为eq\x(导学号54742404)(C)A．eq\f(1－\r(5),2) B．eq\f(\r(5)＋1,2)C．eq\f(\r(5)－1,2) D．eq\f(\r(5)＋1,2)或eq\f(\r(5)－1,2)[解析]∵a2，eq\f(1,2)a3，a1成等差数列，∴a3＝a2＋a1，∵{an}是公比为q的等比数列，∴a1q2＝a1q＋a1，∴q2－q－1＝0，∵q>0，∴q＝eq\f(\r(5)＋1,2).∴eq\f(a3＋a4,a4＋a5)＝eq\f(a3＋a4,a3＋a4q)＝eq\f(1,q)＝eq\f(\r(5)－1,2).6．(2023·北京海淀期中)已知a1，a2，a3，…，a8为各项都大于零的等比数列，公比q≠1，则eq\x(导学号54742405)(A)A．a1＋a8>a4＋a5B．a1＋a8<a4＋a5C．a1＋a8＝a4＋a5D．a1＋a8与a4＋a5大小不定[解析]由条件知，(a1＋a8)－(a4＋a5)＝a1(1＋q7－q3－q4)＝a1[(1－q3)＋q4(q3－1)]＝a1(1－q3)(1－q4)＝a1(1－q)(1＋q＋q2)·(1－q2)(1＋q2)＝a1(1－q)2(1＋q)(1＋q2)(1＋q＋q2)．∵q>0且q≠1，a1>0，∴(a1＋a8)－(a4＋a5)>0，∴a1＋a8>a4＋a5.二、填空题7．已知等比数列{an}中，a3＝3，a10＝384，则该数列的通项an＝3·2n－\x(导学号54742406)[解析]∵eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a3＝3,a10＝384))，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1q2＝3,a1q9＝384))∴q7＝128，∴q＝2，∴a1＝eq\f(3,4)，∴an＝a1qn－1＝3·2n－3.8．已知等比数列前3项为eq\f(1,2)，－eq\f(1,4)，eq\f(1,8)，则其第8项是－eq\f(1,256).eq\x(导学号54742407)[解析]∵a1＝eq\f(1,2)，a2＝a1q＝eq\f(1,2)q＝－eq\f(1,4)，∴q＝－eq\f(1,2)，∴a8＝a1q7＝eq\f(1,2)×(－eq\f(1,2))7＝－eq\f(1,256).三、解答题9．在各项均为负数的数列{an}中，已知2an＝3an＋1，且a2·a5＝eq\f(8,27)，证明{an}是等比数列，并求出通项公式.eq\x(导学号54742408)[证明]∵2an＝3an＋1，∴eq\f(an＋1,an)＝eq\f(2,3)，故数列{an}是公比q＝eq\f(2,3)的等比数列．又a2·a5＝eq\f(8,27)，则a1q·a1q4＝eq\f(8,27)，即aeq\o\al(2,1)·(eq\f(2,3))5＝(eq\f(2,3))3.由于数列各项均为负数，则a1＝－eq\f(3,2).∴an＝－eq\f(3,2)×(eq\f(2,3))n－1＝－(eq\f(2,3))n－2.10．已知：数列{an}的首项a1＝5，前n项和为Sn，且Sn＋1＝2Sn＋n＋5(n∈N*)．求证：数列{an＋1}是等比数列.eq\x(导学号54742409)[证明]由已知Sn＋1＝2Sn＋n＋5(n∈N*)．当n≥2时，Sn＝2Sn－1＋n＋4.两式相减得Sn＋1－Sn＝2(Sn－Sn－1)＋1，即an＋1＝2an＋1，从而an＋1＋1＝2(an＋1)．当n＝1时，S2＝2S1＋1＋5，∴a2＋a1＝2a1又∵a1＝5，∴a2＝11，从而a2＋1＝2(a1＋1)，故总有an＋1＋1＝2(an＋1)，n∈N*.又∵a1＝5，a1＋1≠0.从而eq\f(an＋1＋1,an＋1)＝2，即数列{an＋1}是首项为6，公比为2的等比数列．能力提升一、选择题11．已知{an}是公比为q(q≠1)的等比数列，an>0，m＝a5＋a6，k＝a4＋a7，则m与k的大小关系是eq\x(导学号54742410)(C)A．m>kB．m＝kC．m<kD．m与k的大小随q的值而变化[解析]m－k＝(a5＋a6)－(a4＋a7)＝(a5－a4)－(a7－a6)＝a4(q－1)－a6(q－1)＝(q－1)(a4－a6)＝(q－1)·a4·(1－q2)＝－a4(1＋q)(1－q)2<0(∵an>0，q≠1)．12．数列{an}是公差不为0的等差数列，且a1、a3、a7为等比数列{bn}的连续三项，则数列{bn}的公比为eq\x(导学号54742411)(C)A．eq\r(2) B．4C．2 D．eq\f(1,2)[解析]∵a1、a3、a7为等比数列{bn}中的连续三项，∴aeq\o\al(2,3)＝a1·a7，设{an}的公差为d，则d≠0，∴(a1＋2d)2＝a1(a1＋6d)，∴a1＝2d，∴公比q＝eq\f(a3,a1)＝eq\f(4d,2d)＝2，故选C．13．若正数a，b，c依次成公比大于1的等比数列，则当x>1时，logax，logbx，logcxeq\x(导学号54742412)(C)A．依次成等差数列B．依次成等比数列C．各项的倒数依次成等差数列D．各项的倒数依次成等比数列[解析]eq\f(1,logax)＋eq\f(1,logcx)＝logxa＋logxc＝logx(ac)＝logxb2＝2logxb＝eq\f(2,logbx)∴eq\f(1,logax)，eq\f(1,logbx)，eq\f(1,logcx)成等差数列．二、填空题14．在8和5832之间插入5个数，使它们组成以8为首项的等比数列，则此数列的第5项是\x(导学号54742413)[解析]设公比为q，则8q6＝5832，∴q6＝729，∴q2＝9，∴a5＝8q4＝648.15．已知在△ABC中，sinA与sinB的等差中项为eq\f(7,10)，等比中项为eq\f(2\r(3),5)，则sinC＋sin(A－B)＝eq\f(18,25)或eq\f(32,25).eq\x(导学号54742414)[解析]由题意知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(sinA＋sinB＝\f(7,5)，,sinA·sinB＝\f(12,25)，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(sinA＝\f(4,5)，,sinB＝\f(3,5)，))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(sinA＝\f(3,5)，,sinB＝\f(4,5).))(1)若eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(sinA＝\f(4,5)，,sinB＝\f(3,5)，))则A>B，∴cosB＝eq\f(4,5)，∴sinC＋sin(A－B)＝sin(A＋B)＋sin(A－B)＝2sinAcosB＝eq\f(32,25).(2)若eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(sinA＝\f(3,5),sinB＝\f(4,5)，))则eq\f(π,2)>B>A，∴cosB＝eq\f(3,5)，∴sinC＋sin(A－B)＝2sinAcosB＝eq\f(18,25).三、解答题16．等比数列{an}中，已知a1＝2，a4＝\x(导学号54742415)(1)求数列{an}的通项公式；(2)若a3、a5分别为等差数列{bn}的第3项和第5项，试求数列{bn}的通项公式及前n项和Sn.[解析](1)设{an}的公比为q，由已知得16＝2q3，解得q＝2，∴an＝a1qn－1＝2n.(2)由(1)得a3＝8，a5＝32，则b3＝8，b5＝32，设{bn}的公差为d，则有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b1＋2d＝8，,b1＋4d＝32，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b1＝－16，,d＝12.))从而bn＝－16＋12(n－1)＝12n－28，∴数列{bn}的前n项和Sn＝eq\f(n－16＋12n－28,2)＝6n2－22n.17．已知数列{an}满足a1＝eq\f(7,8)，且an＋1＝eq\f(1,2)an＋eq\f(1,3)，n∈N*.eq\x(导学号54742416)(1)求证：{an－eq\f(2,3)}是等比数列；(2)求数列{an}的通项公式．[解析](1)证明：∵an＋1＝eq\f(1,2)an＋eq\f(1,3)，∴an＋1－eq\f(2,3)＝eq\f(