第二章 流体力学

第二章流体力学流体力学流体质量元微观上看为无穷大，不必深入研究流体分子的无规则热运动；宏观上看为无穷小的一点，有确定的位置、速度、密度和压强等；流体动力学（用P、V、h、等物理量描述）流体静力学（用P、F浮、等物理量描述）流体力学的研究内容3§2-1.理想流体§2-2.伯努利方程§2-3.伯肃叶公式和斯托克斯公式§2-4.液体的表面现象4§2-1.理想流体一流体液体和气体统称为流体，最鲜明的特征是形状不定，具有流动性。液体：气体：易压缩不易压缩二压强面积元两侧流体相互作用的弹性力方向为面元内法线方向单位面积上的压力称为压强在静止流体中任何一点的压强与过该点面元取向无关.5三粘性与粘度粘性——流体流动时，在内部产生的切应力。流体流动时，各层流体的流速不同。快层必然带动慢层，慢层必然阻滞快层。层与层之间的相对滑动，产生内摩擦力。zFv0ffvv+dv6四理想流体的概念理想流体——没有粘性并且不可压缩的流体。五流速场定常流动拉格朗日的追踪法——流元、流块欧拉的速度场法——流场

(流速场)流体力学理论的主流方法。流速场定常流动流速与时间无关7流线流管流线：流速场中的一系列假想的曲线。在每一瞬时，曲线上每一点的切线方向与该处流体质元的速度方向一致。流管：通过流体内闭合曲线上各点的流线所围成的细管。由于每一点都有唯一确定的流速，因此流线不会相交，流管内外的流体都不会穿越管壁。

六流线与流管8七连续性方程——体积流量守恒（连续性方程）流量：流管入口端的流量等于出口端的流量，流管周壁的流量为零。△S1△S2v1v2Δt——质量流量守恒对于理想流体（或不可压缩流体）例已知一个水龙头流出的水柱，高度相距为h的两处横截面积分别为S1和S2，求水龙头的体积流量。10伯努利方程——理想流体作定常流动时的基本方程§2-2.伯努利方程

丹尼尔第一·伯努利瑞士数学家、力学家11——伯努利方程伯努利方程实质上是能量守恒定律在理想流体定常流动中的表现。

严格上说伯努利方程是理想流体定常流动在一根流线上的动力学方程。

表明压强、动能体密度、势能体密度三项之和在流线上各点处处相等，保持为一恒量。注意：12伯努利方程的应用1.流速与压强的关系由于水平放置，流体的平均高度相同，故连续性方程的结果代入上式就得到简单易记的话：流速大，压强小；流速小，压强大。如果即则1314飞机机翼周围的空气是如何流动的假设在机翼右方的空气是水平方向以速度v1向左运动的，如图。这一分析与伯努利原理是一致的。机翼上方空气流速较下方流速大，因而机翼上方的压强小，下方的压强大，结果产生一个向上的力，即升力。由于机翼倾斜，流经机翼的流线向下偏移，如图中的v2。这两个矢量之差v2-

v1正是指向机翼对空气的作用力的方向。根据牛顿第三定律，空气对机翼施加大小相等、方向相反的反作用，如图中的F。这个力的垂直分量正是飞机的升力(lift)。旋转的球带动空气形成环流，一侧气流加速，另一侧减速，形成压差力，使足球拐弯，称为马格努斯效应。162.流量和流速水面压强为p2，水槽横截面积为A2，液面处水的流速为v2。水槽底部与一水管相连。水管横截面积为A1，阀门与水槽水面相距h。由于开启阀门时,水塔水面下降缓慢,所以，根据伯努利方程，有开启阀门时水的流速等于多少呢？17如果水塔顶部与大气相连通，开阀后出口处也是一个大气压，即那么这时出口处水流速度与自由落体速度相等。（测量管道中液体体积流量）如左图所示。当理想流体在管道中作定常流动时，由伯努利方程文丘里流量计

由连续性原理又管道中的流速hSASB由伯努利方程从U形管中左右两边液面高度差可知为U形管中液体密度，为流体密度。比多管

由上两式得较适合于测定气体的流速。常用如图示形式的比多管测液体的流速hhABAB

例1某水手想用木板抵住船舱上一个漏水的洞，但力气不足，木板总是被水冲开。后来在另一个水手的帮助下，将木板紧压住漏水的孔以后，他就可以一个人抵住木板了。试解释其原因。例2

如用一个5cm2截面均匀的虹吸管从截面极大的容器中把水吸出。虹吸管最高点在水面上120cm处，出口在水面下60cm处。求:（1）出口处水的流速

（2）稳恒流动时管内最高点的压强例3把实验动物一根大动脉中流动的血液，转换到截面不均匀的小管中。小管宽部分的面积S1=0.08cm2,它等于这根动脉的横截面积。小管窄的部分横截面积为S2=0.04cm2。小管水平，小管中的压强降落是25Pa。求:动脉中血液流动的速度。（血液看作理想流体，血液的密度是1059.5kg/m3）利用伯努利方程解题的一般步骤1、列出伯努利方程连续性方程：与大气直接接触：2、找到其它化简条件，常见的有：容器截面积很大：两点高度相同：无项3、解出所求物理量（等）24层流与湍流层流：流体运动规则，各层流动互不掺混，质点运动轨线是光滑，而且流场稳定。湍流：流体运动极不规则，各部分激烈掺混，质点运动轨线杂乱无章，而且流场极不稳定。§2-3.伯肃叶公式和斯托克斯公式25牛顿内摩擦定律流体流动时，各层流体的流速不同。快层必然带动慢层，慢层必然阻滞快层。层与层之间的相对滑动，产生内摩擦力。zFv0ffvv+dv——粘度系数或粘度单位：牛·秒/米2，N·s/m2或Pa·s26一哈根—伯肃叶公式水平管道定常流动l——哈根—伯肃叶公式27二粘性阻力——斯托克斯公式当物体速度不大时，粘滞阻力与速度成正比k取决于粘滞系数和物体几何形状对于半径为r的小球，如图小球所受粘滞阻力——斯托克斯公式一个质量为m带电量为q的油滴处在二块平行板之间，在平行板未加电压时，油滴受重力的作用而加速下降，由于空气阻力f的作用，下降一段距离后，油滴将匀速运动，速度为Vg，此时f与mg平衡。由斯托克斯定律知，受力平衡条件为：mgfd式中η为空气粘滞系数，a为油滴的半径。qEmgfd+_U然后在平行板上加电压U，油滴处在场强为E

的静电场中，其所受静电场力qE与重力mg方向相反。当qE大于mg时，油滴加速上升，由于f

的作用，上升一段距离后，将以Ve的速度匀速上升，于是有

由上式可知，为了测定油滴所带的电荷量q，需要测平行板上所加电压U、两块平行板之间距离d、油滴匀速下降和上升的速度Vg、Ve，以及油的密度ρ。

根据上述方程可解得测出右侧诸量即可得到q。密立根发现测得的电量总是某基本值的整数倍。求出最大公约数即获得电子电量。密立根测得电子电荷为(1.601±0.002)×10-19C云、雾的形成同样是小水滴，雨滴降落到地面，而云雾却浮在空中常温下空气的粘度约为18.2×10-6Pa·s，云雾中水滴的大小约为10-6m

可见，小水滴的极限速度极小，可以视为静止的，因此云雾可以浮在空中。如果水滴较大，空气就无法将其托住，因此以雨的形式落到地面。32三雷诺数定义：——雷诺数，——流体密度和粘度v，l——由流场特点决定的特征速度和特征长度雷诺数超过某一临界值时，层流将转变成湍流，即存在一个所谓临界雷诺数Re*。流动是层流流动是湍流流体的相似性原理（对不可压缩流体）外部条件几何相似时(几何相似的管子，流体流过几何相似的物体等)，若它们的雷诺数相等，则流体流动状态也是几何相似的。不同雷诺数下流体的流动卡门涡街达朗贝尔佯谬

当流体有黏滞性时，流体边缘的固体表面处流体的相对速度总等于零，说明在表面处的流速梯度不为零，这一层称为边界层。当流速增大，或雷诺数增大时，环绕物体的流线会在某个地方脱离壁面，形成涡旋,如（b）称之为流线剥离。如果流线过早的从壁面剥离，将会对处于流体中的固体产生很大的阻力，对利用流体运动的物体不利，为减小阻力，不仅要减小垂直于流体的横截面积，而且，要将物体设计为流线型。高尔夫球运动起源于15世纪的苏格兰。起初，人们认为表面光滑的球飞行阻力小，因此当时用皮革制球。最早的高尔夫球（皮革已龟裂）后来发现表面有很多划痕的旧球反而飞得更远。这个谜直到20世纪建立流体力学边界层理论后才解开。光滑的球表面有凹坑的球§2-4.液体的表面现象一、液体的微观结构

液体分子间作用力显著。宏观上表现为不易压缩性。液体分子在平衡位置附近做振动和在液体内移动。液体分子在每一个平衡位置上振动的时间。分子的定居时间：不同液体，随着温度、压强的不同，定居时间不同。当外力作用时间大于定居时间表现为液体的流动性当外力作用时间小于定居时间表现为固体所特有的弹性形变、脆性断裂等力学现象

在液体与气体的分界面处厚度等于分子有效作用半径的那层液体称为液体的表面。二、液体的表面张力现象及微观本质

液体表面像张紧的弹性膜一样，具有收缩的趋势。（1）毛笔尖入水散开，出水毛聚合；（2）水黾能够站在水面上；（3）硬币能够放在水面上；（4）荷花上的水珠呈球形；（5）肥皂膜的收缩；

液体表面具有收缩趋势的力，这种存在于液体表面上的张力称为表面张力。说明：①力的作用是均匀分布的，力的方向与液面相切；②液面收缩至最小。三、表面张力系数从力的角度定义AB(1)(2)ff’AB(2)f(1)f’

从做功的角度定义ffFF做功为：△S指的是这一过程中液体表面积的增量，所以：

表示增加单位表面积时，外力所需做的功

称为表面张力系数，表示单位长度直线两旁液面的相互作用拉力，在国际单位制中的单位为N

·m-1

。1、表面张力系数的定义从表面能的角度定义

由能量守恒定律，外力F

所做的功完全用于克服表面张力，从而转变为液膜的表面能

△E

储存起来，即：所以：

表示增大液体单位表面积所增加的表面能2、表面张力系数的基本性质（1）不同液体的表面张力系数不同，密度小、容易蒸发的液体表面张力系数小。（2）同一种液体的表面张力系数与温度有关，温度越高，表面张力系数越小。（3）液体表面张力系数与相邻物质的性质有关。（4）表面张力系数与液体中的杂质有关。表面张力系数的测定拉脱法拉脱法测量液体表面张力系数的实验仪器——焦利秤。水膜的对金属框的作用力为

当拉起的水膜处于即将破裂的状态时，两个表面近似在竖直平面内，此时用焦利秤对金属框的作用力：则液体表面的张力系数：

将质量为

m的待测液体吸入移液管内，然后让其缓慢地流出。

当液滴即将滴下时，表面层将在颈部发生断裂。此时颈部表面层的表面张力均为竖直向上，且合力正好支持重力。液滴测定法测得断裂痕的直径为d

，移液管中液体全部滴尽时的总滴数为n

，则每一滴液体的重量为：所受的表面张力为：则有即则大水滴的面积为例解设小水滴数目为n，n个小水滴的总面积为在融合过程中，小水滴的总体积与大水滴的体积相同，则

表面张力系数求所释放出的能量溶合过程中释放的能量

半径为r=2×10-3mm的许多小水滴融合成一半径为R=2mm的大水滴时。(假设水滴呈球状，水的表面张力系数=7.3×10-3N·m-1在此过程中保持不变)

表面张力的微观本质是表面层分子之间相互作用力的不对称性引起的。

从能量的角度来解释表面张力存在的原因。

分别以液体表面层分子A

和内部分子B为球心、分子有效作用距离为半径作球（分子作用球）。

对于液体内部分子B，分子作用球内液体分子的分布是对称的；ABB

从统计上讲，其受力情况也是对称的，所以沿各个方向运动的可能性相等。

对于液体表面层的分子A，分子作用球中有一部分在液体表面以外，分子作用球内下部液体分子密度大于上部；

当液体内部分子移动到表面层中时，就要克服上述指向液体内部的分子引力作功，这部分功将转变为分子相互作用的势能。所以液体表面层分子比液体内部分子的相互作用势能大。

由势能最小原则，在没有外力影响下，液体应处于表面积最小的状态。从力的角度看，就是有表面张力存在。

统计平均效果所受合外力指向液体内部，因此有向液体内部运动的趋势。AfL弯曲液面的附加压强

对于弯曲液面来说，由于液体表面张力的存在，在靠近液面的两侧就形成一压强差，称为附加压强。其中为液面内侧的压强，为液面外侧的压强。一、弯曲液面的附加压强

表面层中取一小薄层液片分析其受力情况（忽略其所受的重力），ffP0P1=P0Δs即水平液面:可知

分析小薄层液片受力情况，表面张力的合力的方向指向液外

分析小薄层液片受力情况，表面张力的合力的方向指向液体内部即fΔSP0PsP2凹形液面：PsP3所以表面张力的合力方向不同，决定了是还是凸形液面：f所以ffP0ΔS=P0+Ps=P0-Ps二、球形液面的附加压强df//df⊥dfrABCR（定量关系）

球形弯曲液面的附加压强与表面张力系数成正比，与液面的曲率半径成反比。如图，在凸液面上取一微小球冠dl同理可证，对于凹液面对球冠做受力分析可得例1已知大气压强为P0，求半径为R的液泡内气体的压强。R解球形液膜，两个球形面的半径近似相等CAB液膜外表面为凸液面，有液膜内表面为凹液面，有所以附加压强为球形液泡内气体的压强为例2

如图所示的装置中，连通管活塞关闭，左右两端吹成一大一小两个气泡。如果打开连通管，气体会怎么运动？由肥皂泡内外气体压强差打开连通管后气体将从B

流向A

。

由于

所以在水下深度为30cm

处有一直径d=0.02mm的空气泡。设水面压强为大气压P0=1.013×105Pa,ρ水=1.0×103kg·m-3,α水=7.2×10-3N·m-1。气泡内空气的压强。解例3求dhP0=1.186×105Pa与固体接触处液面的性质一、润湿和不润湿附着层：在液体与固体接触面上厚度为液体分子有效作用半径的液体层。是由附着层分子力引起的润湿不润湿内聚力：液体内部分子对附着层内液体分子的吸引力附着力：固体分子对附着层内液体分子的吸引力

润湿和不润湿决定于液体和固体的性质。内聚力大于附着力A不润湿内聚力小于附着力A润湿

液体对固体的润湿程度由接触角来表示。接触角：在液、固体接触时，固体表面经过液体内部与液体表面所夹的角通常用θ

来表示。液体润湿固体；当时，当时，液体不润湿固体；当时，液体完全润湿固体；当时，液体完全不润湿固体；θ润湿θ不润湿毛细现象

将细的管插入液体中，如果液体润湿管壁，液面成凹液面，液体将在管内升高；如果液体不润湿管壁，液面成凸液面，液体将在管内下降。这种现象称为毛细现象。hh能够产生毛细现象的细管称为毛细管。毛细现象产生的原因

毛细现象是由于润湿或不润湿现象和液体表面张力共同作用引起的。固体液体如果液体对固体润湿，则接触角为锐角。固体液体h如果液体对固体不润湿，则接触角为钝角。

h—朱伦公式毛细永动机能否制造出来？由可知：

液体沿毛细管（液体润湿管壁）“自动地”上升的高度似乎与毛细管的实际高度没有关系。

如果毛细管的实际高度h0比液体上升的高度h小，液体能否自动从管子中流出来形成“毛细永动机”？h实际上，毛细永动机是不可能存在的。P0AP0液体润湿管壁会产生一定的接触角θ

，形成凹形液面，从而产生一定的附加压强，即

A

点的压强，在大气压的作用下，液面会上升；如果毛细管露出水面的长度足够，液面会上升。hP0A

如果毛细管露出水面的长度h0<h

，则当液体上升到管口时，液面的曲率半径将增大，从而附加压强减小，PA

增大。h0P0A

当曲率半径增大到时，

A

点压强增大到，液面不再上升。

因此，即使毛细管的实际高度

h0比液体上升的高度

h

小，也不会形成毛细永动机。

逐渐增大右端的压强，刚开始液滴并不移动，只是右液面的曲率半径减小；只有当压强增量超过一定的限度时，液滴才开始移动。气体栓塞现象PPPP＋

△PPP+ΔPP+2ΔP如果要使这n个液滴移动，则最右端必须施以大于P+nΔP

的压强。P+3ΔPP+nΔP例把一个两端开口的毛细管中滴入一滴水后将它竖直放置，已知毛细管半径为r

，水柱高度为h。假定水可以完全润湿毛细管，毛细管的上下液面各是什么形状？因为水能完全润湿毛细管，因此上液面必然凹向液体。BCADh根据液柱高度不同，下液面可分为三种情况：(1)如，下液面凹向液体内部(2)如，下液面是平的(3)如