第二章线性定常连续系统状态方程的解

现代控制理论

第二章线性定常连续系统状态方程的解线性定常连续系统状态方程的解准备知识A1准备知识A2一.线性定常连续系统齐次方程的解(零输入响应)二.状态转移矩阵三.线性定常系统非齐次方程的解准备知识A1

1.利用状态和状态方程来定义系统的线性性质.用符号表示状态和输入激励出输出和状态,并称其为输入-状态-输出对.定义:一个系统,当且仅当对于任何两个容许对

和任何实数和所构成的输入---状态---输出对.

也是容许的,则称该系统是线性的,否则该系统是非线性的.简而言之,满足迭加原理的系统为线性系统.2.对定义的讨论

(1)若设并有则如果是线性系统的话,按定义,则.从而,如果系统是线性系统的话,则必有当时系统响应亦为零—这也是线性系统的一个必要条件.(2)式(1)中,若称式(1)的关系为可加性。若则称式(1)的关系为齐次性。(3)式(1)中,若设,及假定则或所以系统的响应对是由两个状态-输入对所激励称由激励的响应为零输入响应,只是由产生。称由激励的响应为零状态响应,只是由产生。这样对于线性系统来讲,可以独立地考虑其零输入响应和零状态响应,而系统的全部响应,则是它们的和.根据线性系统的性质:若则传函法描述是零状态响应

3.对于线性定常连续系统动态方程来讲零输入响应为:--------齐次方程零状态响应为:--------非齐次方程.线性系统的响应可以分解为.定义:[零输入响应]:

线性系统的零输入响应定义为只有初始状态作用即,而无输入作用即时的系统响应.注意:

数学上,零输入响应就是无输入自治状态方程(齐次方程)的状态解.

物理上,零输入响应代表系统状态的自由运动，特点是响应形态只由系统矩阵所决定，不受外部输入的影响.定义:[零状态响应]:

线性系统的零状态响应定义为只有输入作用,即而无初始状态作用,即时,系统的响应.注意:数学上,零状态响应即为零初始状态下的强迫方程的状态解.物理上,零状态响应代表系统状态由输入u所激励的强迫运动准备知识A2不加证明地给出以下定理和定义.

(1)定理1.的全体解的集合,形成在实数域上的n维向量空间.(2)定义1.矩阵函数中,当且仅当n个列分别是的n个线性无关解时,称为的基本矩阵,即,且非奇.

(3)定理2.每一个基本矩阵,对(-∞,∞)中所有的t而言,是非奇的.(4)定义2.设是的任一基本矩阵,对所有(-∞,∞)中的称是的状态转移矩阵.一.线性定常连续系统齐次方程的解(零输入响应)1.讨论

显然是矩阵微分方程,在解该方程之前先观察纯量微分方程的解,其中在解时,先假定解代入方程得到如果所求的解是方程的真实解，那么上述方程对任意t都成立，因此使t的幂次项的各系数相等就可得到:显然,从而方程的解可写为其中指数函数仿上述纯量微分方程的解法,对于矩阵微分方程其中,则称是按矩阵A定义的矩阵指数函数,并可证明,若A是nn

的方阵时，则有：并对于有限时间是绝对收敛的.结论：[零输入响应]线性定常连续系统的零输入响应,即系统齐次方程的解,并具有如下形式:推论:(1).零输入响应的运动特性.

对于线性定常连续系统,其零输入响应是由其齐次方程解的属性决定的，状态空间中x(t)随时间演化轨道(几何表征)，属于由偏离系统平衡状态的初始状态引起的自由运动.一个典型的例子是:人造卫星在末级火箭脱落后的运行轨道,以脱落时刻的运行状态为初始状态的自由运动即零输入响应.

(2).零输入响应的形态.

对线性定常连续系统,零输入响应即自由运动轨迹的形态,当且仅当由系统的矩阵指数函数唯一地决定.不同的系统矩阵A,导致不同形态的零输入响应,即自由运动轨道.

表明即A系统矩阵,包含了零输入响应即自由运动形态的全部信息.(3).零输入响应趋向平衡状态x=0的属性.对于线性定常连续系统,零输入响应,即自由运动轨迹最终趋向系统平衡状态x=0的条件是:当且仅当矩阵指数函数最终趋向零,即称上述属性为系统渐近稳定.该式也是线性定常连续系统渐近稳定的充分条件.(4).零输入响应的计算.根据解,则零输入响应计算的核心是计算矩阵指数函数。

(5).零输入响应表达式的更一般形式.

对线性定常连续系统,通常习惯地取初始时间。由于线性时不变系统的分析只与相对时间有关,这种处理也不失一般性.但若因某种需要,将初始时间取为，此时,零输入响应更有一般的形式：

(6).零输入响应的几何表征.

对线性定常连续系统,齐次方程解的表达式表明:在时刻状态点,几何上对应于状态空间中由初始状态点,经线性变换导出一个变换点.基于此,可推知,零输入响应随时间t的演化过程,几何上即为状态空间中由初始状态点出发和由各个时刻变换点构成的一条轨迹.

2.解的性质(矩阵指数函数的性质)矩阵指数函数在线性系统分析中具有重要意义,为此可基于定义,给出的性质.性质：

3．齐次方程的拉普拉斯解法.同样先考虑纯量微分方程将方程两端作拉氏变换则将这种方法推广到矩阵微分方程的解对两边取拉氏变换，则有

或即从而由于所以从而一般形式明显地指出了的一种算法.二．状态转移矩阵1.概念推论1.对线性定常系统是的一个基本矩阵。证明：设,若是一个基本矩阵,则有,将代入，并利用的微分性质得到,且非奇异。故是线性定常连续系统一个基本矩阵。

推论2.对线性定常连续系统的状态转移矩阵可由基本矩阵表出

推论3.状态转移矩阵的唯一性对线性定常连续系统的状态转移矩阵是唯一的，且在按定义确定时，与所选择的无关。推论4.状态转移矩阵的形式。对的情形下，对的情形下，推论5.零输入响应的形式。根据零输入响应的几何表征，显然是将初始状态从转移到t时刻x(t)。而则是x(0)到x(t)的转移.故称是状态转移矩阵.2.状态转移矩阵的性质.3.状态转移矩阵的算法

(1)按定义计算

(2)如果A是对角阵,

则

(3)若A的特征值互异,即互异,则可通过变换,使,从而,而其中从而

(4)三．线性定常系统非齐次方程的解

1.零状态响应考虑连续线性定常系统，令系统的初始状态相应状态方程结论[零状态响应]：连续线性定常系统的零状态响应,即上述方程的解具有如下表达式：当时讨论：（1）的数学特征即易证：称矩阵指数函数和输入作用函数的影响在时序上是对偶的，这种对偶在数学上称为卷积分。（2）的几何特征若令则零状态响应显然是t时刻输入作用的等价状态，从而零状态响应是（等价状态）以为变换阵导出的变换点，在几何上代表状态空间中各个时刻t输入作用等价状态的变换点构成的一条轨道。（3）零状态响应的运动属性

是随时间t演化的轨迹，在属性上属于输入驱动下的强迫运动。输入是导致零状态响应的唯一激励。（4）零状态响应对任意状态点的可达属性对零状态响应，如果对任意指定的状态空间的状态点都存在一个输入和有限时间，使成立，那么称具有能达性，显然能达性取决于A,B属性。（5）零状态响应相对于任意初始时刻的表达式若更为一般地取初始时刻，则零状态响应为零