第二章极限与连续

§2.1数列的极限

(一)数列就称为一个数列,记作,其中每一个数称为数列的一个项,第一项称为首项,第项称为通项(或一般项)

1.

定义:无穷多个按照某种规律排列起来的一列数如:(1)(2)(3)(4)

2.关于数列概念应注意以下几点:例如数列实际上就是函数的函数值.(2)数列一般有三种表示方式:①一般形式.如②函数形式.如数列③简化形式.如数列

(1)数列实际上是定义在自然数集合上的函数,将其函数值按自然数依次增大的顺序排列起来所得到的.因此数列也常常记作或(二)数列的极限让我们一起先观看一段演示演示演示结束随着圆内接正多边形边数的不断增加,其圆内接正多边形的面积愈来愈趋向于圆的面积,即数列以圆面积为极限结论

先看数列变化趋势演示

12345678

注意小球的变化为了进一步了解数列的极限,下面我们再观察几个数列随着的不断增大,它能否趋向于一个常数.演示(二)数列的极限

数列的极限就是数列的变化趋势,为此,先观察几个数列随着的不断增大,它能否趋向于一个常数.先看数列变化趋势演示

12345678

注意小球的变化正在演示

12345678

从以上演示可见:小红球随着的不断增大,越来越靠近横轴,因此数列趋向于零.演示结束

12345678再观察数列的变化趋势注意小球的变化演示

12345678再观察数列的变化趋势正在演示

注意小球的变化

12345678可见数列的变化趋势如下

从该数列的演示易见,随着的不断增大,小球越来越接近于直线,所以数列趋向于1.演示结束

再观察数列的变化趋势注意小球的变化

1234567演示

再观察数列的变化趋势注意小球的变化

1234567

正在演示

再观察数列的变化趋势

1234567

易见小球在上下摆动中,其摆动的幅度始终不变,因此,该数列不趋于任何常数演示结束

最后,观察一下数列的变化趋势.121086421234567注意小球的变化演示

最后,观察一下数列的变化趋势.121086421234567

正在演示

最后,观察一下数列的变化趋势.121086421234567显见小球随着的不断增大愈来愈向上移动,永无止径,因此,数列随着的增大,趋向于无穷大.演示结束

综上可见,有的数列随着的不断增大,会逐渐趋向于某一个常数,而有些数列则不会趋向于一个常数

如数列均收敛,且

定义1如果数列当趋向于无穷大时,能够趋向于某一个常数A,则说该数列收敛,此时称A为数列的极限,记作若该数列不能够趋向于一个常数,则说该数列发散(或说不收敛).)()()(lim¥®®=¥®nAnfAnfn或

而数列和数列均发散.

设{xn}为一数列如果存在常数a

对于任意给定的正数e

总存在正整数N

使得当n>N

时不等式|xna|<e都成立

则称常数a是数列{xn}的极限或者称数列{xn}收敛于a

记为数列极限的精确定义:或说数列{xn}是发散的,

习惯上也说nnx¥®lim不存在.

如果不存在这样的常数

就说数列{

}没有极限xna

0,NN

当nN时有|xna|.极限定义的简记形式:分析:

例1

证:

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§2.2

函数的极限单击开始演示让我们观察一下函数当自变量的绝对值无限增大时,其函数值的变化情况.xy1=(一)当时函数的极限

正在演示让我们观察一下函数,当自变量的绝对值无限增大时,其函数值的变化情况.

§

2.2

函数的极限(一)当时函数的极限xy1=

易见,随着的无限增大,小红球愈来愈靠近于轴,即其函数值逐渐趋于零.演示结束让我们观察一下函数当自变量的绝对值无限增大时,其函数值的变化情况.

§

2.2

函数的极限(一)当时函数的极限xy1=

从该例可见:当趋于无穷大时,趋于常数0,此时我们称0是函数当趋于无穷大时的极限.x1

一般有:

定义:如果存在常数A,使得当无限增大时,函数趋向于A,则称A为函数当趋于无穷大时的极限,记作或注意:几何上为演示演示结束

类似地可定义:

2.自变量趋于无穷大时函数极限的

0

X0

当|x|X时有|f(x)A|

精确定义:

结论:

分析

例1

证:

0

X0

当|x|X时有|f(x)A|

例子:

(二)当时函数的极限时的变化趋势先观察函数和函数当演示

正在演示

(二)当时函数的极限先观察函数和函数当时的变化趋势

正在演示时的变化趋势

(二)当时函数的极限先观察函数和函数当

正在演示时的变化趋势

(二)当时函数的极限先观察函数和函数当

演示结束易见当时演示暂停请稍候时的变化趋势

(二)当时函数的极限先观察函数和函数当

开始演示时的变化趋势

(二)当时函数的极限先观察函数和函数当

正在演示时的变化趋势

(二)当时函数的极限先观察函数和函数当

正在演示时的变化趋势

(二)当时函数的极限先观察函数和函数当

正在演示时的变化趋势

(二)当时函数的极限先观察函数和函数当

演示结束易见当时有时的变化趋势

(二)当时函数的极限先观察函数和函数当

如定义:如果存在常数A,使得当无限接近于时,有趋近于A,则称A为当时函数的极限,记作

设函数f(x)在点x0的某一去心邻域内有定义如果存在常数A

对于任意给定的正数总存在正数使得当x满足不等式0<|xx0|

时对应的函数值f(x)都满足不等式|f(x)A|

那么常数A就叫做函数f(x)当xx0时的极限记为函数极限的精确定义:定义的简记形式:

e>0

d>0

当0<|x-x0|<d

有|f(x)-A|<e

例1

证:

因为e>0d>0当0|x-x0|d时,都有|f(x)-A||c-c|0e,

e>0

d>0

当

0<|x-x0|<d

有|f(x)-A|<e分析:|f(x)-A||c-c|0.e>0d>0当0|x-x0|d时,都有|f(x)-A|e.分析|f(x)A||xx0|e

当0|xx0|d时有de因为e0

证:

只要|xx0|e.要使|f(x)A|e

e>0

例2

|f(x)A||xx0|

e>0

d>0

当

0<|x-x0|<d

有|f(x)-A|<e

分析|f(x)A||(2x1)1|2|x1|

例3

因为

0

证:

|f(x)A||(2x1)1|2|x1|e

e>0

d>0

当

0<|x-x0|<d

有|f(x)-A|<ee>0

当0|x1|

时有

/2

只要|x1|<e/2要使|f(x)A|<e

注1:

意思是无限靠近于

,但,因此点有无极限与函数在该点有无定义毫无关系.

注2:左极限右极限演示结束演示单侧极限:

若当xx0-时

f(x)无限接近于某常数A

则常数A叫做函数f(x)当xx0时的左极限记为

若当xx0+时

f(x)无限接近于某常数A

则常数A叫做函数f(x)当xx0时的右极限记为Axfxx=+®)(lim0

解因为所以极限不存在定理1:极限存在的充分必要条件是左极限和右极限均存在,且都等于.即例1设讨论极限是否存在?

(1)

唯一性:极限值如果存在,则必唯一.例2设求解因为所以存在.例3讨论极限是否存在?解因为而所以极限不存在.三、极限的性质当时必有(2)

保号性:设则当时必有当时所以当时所以定理2(函数极限的唯一性)

定理3(函数极限的局部保号性)

如果f(x)A(xx0)

而且A0(或A0)那么在x0的某一去心邻域内有f(x)0(或f(x)0)

如果当xx0时f(x)的极限存,那么这极限是唯一的

如果在x0的某一去心邻域内f(x)0(或f(x)0)

而且

f(x)A(xx0)

那么A0(或A0)

推论:

定义2.6对于任意给定的正数,在变量y的变化过程中,总有那么一个时刻,在那个时刻以后,

恒成立,则称变量y在此变化过程中以A为极限,记作注:定义把前面讲的数列极限与函数极限统一起来了,y其实是一个函数.§2.3变量的极限定义2.7变量y在某一变化过程中,如果存在正数M,使变量y在某一时刻之后,恒有|y|<M,则称y在那时刻之后为有界变量.定理2.4如果在某一变化过程中,变量y有极限,则变量y是有界变量.证:设limy=A,则对总有那么一个时刻,在那个时刻以后,恒有

所以|y|<|A|+1.因此变量y在那个时刻之后是有界变量.

2.4无穷大量与无穷小量(一)无穷大量恒成立,则称变量y是无穷大量,或称变量y趋于无穷大,记作定义:如果对于任意给定的正数E,变量y在其变化过程中,总有那么一个时刻,在那个时刻之后,不等式

例如是当时的无穷大量是当时的无穷大量是当时的无穷大量等等.如果一个变量在它的变化过程中,其绝对值可以无限增大,则称该变量为其变化过程中的无穷大量.

(1)无穷大量并不是很大的数,而是其绝对值可以无限增大的变量.

(2)说一个量是不是无穷大量,也必须指出其变化过程.

(3)无穷大量包括:正无穷大量和负无穷大量.注意几点:例如当时变量就是一负无穷大量.

(4)无穷大量的记号如:“当时是一无穷大量”可记为“当时是一无穷大量”可记为等等.注意:1.两个无穷大量的和未必还是无穷大量;无穷大量的性质:性质1两个无穷大量的乘积还是无穷大量.性质2有界量与无穷大量的和还是无穷大量.2.有界量与无穷大量的乘积也未必还是无穷大量.

(二)无穷小量1.无穷小量的定义定义如果变量的极限是零,则称变量为无穷小量.例如是当时的无穷小量是当时的无穷小量是当时的无穷小量是当时的无穷小量

(1)一般,说一个变量是无穷小量,必须指出其变化过程.因同一个变量在不同的变化过程中会有不同的变化趋势,即不同的极限值.

(2)由于无论在什么样的变化过程中,数0的极限永远为零,所以它是无穷小量,且只有它可以不指出变化过程.

(3)不能把无穷小量理解为是很小的数,关键是要看其极限是否为零.注意几点:

(2)无穷小量的变化过程相同时,以上性质才成立.

否则不能相加减及乘积的.2.无穷小量的性质性质2

两个无穷小量的乘积还是无穷小量.注意:(1)这两个性质均可以推广到有限上去;性质1

两个无穷小量的和还是无穷小量.定理2.5变量y以A为极限的充分必要条件是变量y可以表示为A与一个无穷小量的和.性质3

有界量与无穷小量的乘积还是无穷小量.

注意:有界量包括①常量;②有界函数;③在无穷小量的变化过程中有极限的函数.例如

常量

有界函数有极限的函数有界量

(三)无穷小量与无穷大量之间的关系

定理若是无穷大量,则必是无穷小量;反之,若是无穷小量,则必是无穷大量.

(四)无穷小量阶的比较

无穷小量是极限为零的变量,虽然它们均趋向于零,但是趋向于零的速度有快有慢,那么如何比较它们趋向于零的速度的快慢呢?

定义设和是同一变化过程中的两个无穷小量

(1)若,则说是比较高阶的无穷小量,记作;(2)若,则说是比较低阶的无穷小量,或者说是比较高阶的无穷小量;(3)若,则说和是同阶无穷小量,记作;(4)若,则说和是等价无穷小量,记作~.例如因为所以因为所以因为所以因为所以~例1设当时~

求解因为~

所以有即

法则1.代数和的极限等于极限的代数和.即法则2.乘积的极限等于极限的乘积.即

法则3.

商的极限等于极限的商(当分母的极限不等于零时).即注意几点:§2.5极限的运算法则(一)运算法则(3)

法则1和法则2均可推广到有限上去,得

(1)只有当法则中所有的极限均存在时,法则才成立.法则:法则

:法则4函数n次幂的极限等于极限的n次幂.即

(2)

符号下面没有写变化过程,意思是对和均成立特别当时法则变为

(4)当法则2中时有即常数因子可以提到极限号的外边.(二)应用举例解原式解原式例1求极限例2求极限解显然该函数是一初等函数,且0点在其定义域内,因此

注意:显然例1、例2中的极限值就等于其函数在极值点处的函数值.一般当为初等函数且点在其定义域内时有解原式例3求极限例4求极限例5求极限原式

解因为所以是无穷小量根据无穷大量与无穷小量的关系知

解原式解因为当时是无穷小量而是有界量例8求极限例7求极限

例6求极限所以根据无穷小量的性质知

解原式解原式解原式例8求极限例9求极限

综合例7、例8、例9的结论,易见有例10求极限解原式例11求极限解原式

§2.6

两个重要极限(一)两个准则

准则Ⅰ如果函数满足

(1)(2)存在则极限必存在且等于注意:(1)该准则对于和时的函数极限,以及数列的极限均成立;(2)该准则常称为两边夹定理准则Ⅱ单调有界数列必有极限.

对于数列来说,如果对于任意自然数n恒有成立,则称数列是单调递增(递减)的.单调递增数列与单调递减数列统称为单调数列.例如数列单调递增数列单调递减

对于数列来说,如果存在正数

,使得对于任意的自然数n,均有成立.则说该数列有界例如数列有界因为对任意自然数n,恒有

(二)

两个重要极限1.证明:首先易见所以只须证即可(如图作单位圆,并作角见右图)由图中易见有S△OACS△OABS扇形OAB注意右图演示各图形大小

S△OABS扇形OABS△OAC

(二)

两个重要极限1.证明:首先易见所以只须证即可(如图作单位圆,并作角见右图)由图中易见有

S△OABS扇形OABS△OAC

于是有同除以得即因为所以例1求极限即即

解原式极限和均可当公式使用,使用时应注意满足以下三个条件

♠①极限的分子必须是正弦函数或者正切函数;♠②分子上的和后面可以跟一个函数,但分母也必须是,即极限形式为♠③

在自变量的变化过程中须是无穷小量,即例2求极限该极限为1例3求极限解原式类似可求得可当公式记注使用例4求极限解原式例5求极限解原式

解原式例6求极限解原式例7求极限解原式根据准则II

数列{xn}必有极限,

此极限用e来表示,即第二个重要极限:

e是个无理数它的值是e=2718281828459045

2.第二个重要极限准则II

单调有界数列必有极限

可以证明:

(2)xn3(1)xnxn+1

nN,第二个重要极限:

我们还可以证明:这也是第二个重要极限

或对连续自变量,也有注意第二个重要极限应满足以下三个条件:①幂底数为的形式,为任一函数;②幂指数为的倒数,即;③

在自变量的变化过程中为无穷小量.例8求极限解原式可当公式使用例9求极限解利用上题结果,令得,原式

解原式例10求极限解原式例12求极限解原式例11求极限§2.7

函数的连续性(一)函数的改变量当变量从初值点变化到终值点时,称终值与初值之差为变量的改变量,记作即注1可正可负DxDy注2

因为当时必有,成立.所以下面三种说法均等价:①变量从点变化到点;②变量从点变化到+;③变量在点取得改变量.对于函数来说,如果其自变量在点取得改变量

,则因变量就会有相应的改变,称其为函数的改变量,记作即例如函数的改变量为

(二)函数连续的概念注1:因为所以定义1设函数在点的某一邻域内有定义,当自变量在点取得改变量时,则有函数的改变量,如果当自变量的改变量趋于零时,必然有函数改变量也趋于零,即有,则称函数在点处连续.

1.函数在一点处连续的定义函数在一点处连续也可定义为:注2:定义2实际包含有三个条件:(1)函数在点的某一邻域内有定义;(3)其极限值等于点的函数值,即

(2)函数的极限存在,即存在;定义2设函数在点的某一邻域内有定义,如果当自变量时,函数的极限存在,且其极限值等于点的函数值,即则称函数在点处连续.注3:若时,则称函数在点处左连续;若时,则称函数在点处右连续;定理函数在点处连续的充分必要条件是在点既是左连续的,同时也是右连续的.

注意:一般在证明一个式子所给出的函数在某一点处的连续性时,使用定义1;而在证明或判断或研究分段函数在分段点处的连续性时,使用定义2.证明给自变量在点一个增量则相应的有于是有故函数在点处连续例2研究函数在点的连续性.例1证明函数在点处连续.解显而易见该函数在点及附近有定义,且,又可见存在,且因此该函数在点处连续.2.函数在区间上的连续定义(三)初等函数的连续性定义如果函数在区间上的每一个点处均连续的话,则称该函数在开区间上连续;如果函数在开区间上连续,且在左端点处右连续,而在右端点处左连续,则称该函数在闭区间上连续.1.连续函数的运算法则如果函数和在点均连续,则在处也必连续.如果函数在点连续,而函数在点也连续,且,则复合函数在点也必连续.2.初等函数的连续性初等函数在其定义域内均连续.3.连续性的应用(1)1.

是初等函数2.

点在的定义域内

例3求下列极限解(2)1.2.条件例4求下列极限解可看作(四)函数的间断点定义3若函数在点没有定义;或当自变量时,函数的极限不存在;或其极限值不等于点的函数值,即,则称函数在点处不连续或间断,此时点称为函数的间断点.注意:如果则点称为无穷间断点;如果存在但不相等,则点称为跳跃间断点;如果极限存在但不等于点的函数值(

点可能根本就没定义),则点称为函数的可去间断点.例求下列函数的间断点.(2)显而易见该函数在点处也没定义,所以点是该函数的间断点,但又因为极限存在,所以点是可去间断点.解(1)

显而易见该函数在点处没定义.所以点是该函数的间断点,又因为所以它是无穷间断点.例6讨论下列函数在所给点的连续性所以为跳跃间断点.解该函数在点处显然有定义,且但(五)闭区间上连续函数的性质显然该函数在点有定义,且且极限存在,但由于所以是该函数的间断点,且是可去间断点说明:定理1(最大值和最小值定理)

在闭区间上连续的函数在该区间上一定能取得它的最大值和最小值

又至少有一点x2[a

b]

使f(x2)是f(x)在[a

b]上的最小值

至少有一点x1[a

b]

使f(x1)是f(x)在[a

b]上的最大值

定理说明如果函数f(x)在闭区间[a

b]上连续那么应注意的问题:

如果函数仅在开区间内连续或函数在闭区间上有间断点那么函数在该区间上就不一定有最大值或最小值

例如函数f(x)=x在开区间(a

b)

内既无最大值又无最小值

定理1(最大值和最小值定理)

在闭区间上连续的函数在该区间上一定能取得它的最大值和最小值

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又如如下函数在闭区间[02]内不连续,它在闭区间[02]内既无最大值又无最小值

定理2(介值定理)

设函数f(x)在闭区间[ab]上连续且f(a)f(b)

那么对于f(a)与f(b)之间的任意一个数C

在开区间(a

b)内至少有一点x

使得f(x)=C>>>推论(有界性定理)

如果函数在闭区间上连续,则函数在上一定有界.注:

如果x0使f(x0)=0

则x0称为函数f(x)的零点

推论(零点定理)

设函数f(x)在闭区间[a

b]上连续且f(a)与f(b)异号

那么在开区间(a

b)内至少一点x使f(x)=0

例1

证明方程x3-4x2+1=0在区间(01)内至少有一个根

证:

设f(x)=x3-4x2+1则f(x)在闭区间[01]上连续

并且f(0)=1>0

f(1)=-2<0

根据零点定理在(01)内至少有一点x

使得f(x)=0

即x3-4x2+1=0

这说明方程x3-4x2+1=0在区间(01)内至少有一个根是x

注意:常常利用该推论证明某一方程在某一区间上至少存在一个根的问题.例2证明方程