2017-2018版高中数学第一章三角函数8函数y＝Asin(ωx＋φ)的图像与性质(二)学案4

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精PAGE18学必求其心得，业必贵于专精PAGE8函数y＝Asin（ωx＋φ）的图像与性质(二）学习目标1。会用“五点法"画函数y＝Asin(ωx＋φ）的图像.2。能根据y＝Asin(ωx＋φ）的部分图像，确定其解析式。3.了解y＝Asin(ωx＋φ)的图像的物理意义，能指出简谐运动中的振幅、周期、相位、初相．知识点一“五点法"作函数y＝Asin（ωx＋φ）(A>0,ω>0)的图像思考1用“五点法”作y＝sinx，x∈［0,2π］时，五个关键点的横坐标依次取哪几个值？思考2用“五点法”作y＝Asin（ωx＋φ）时，五个关键的横坐标取哪几个值?梳理用“五点法”作y＝Asin（ωx＋φ）的图像的步骤:第一步：列表：ωx＋φ0eq\f（π，2）πeq\f（3π,2）2πx－eq\f（φ,ω)eq\f(π,2ω)－eq\f（φ,ω)eq\f(π，ω)－eq\f(φ,ω）eq\f(3π，2ω）－eq\f（φ,ω）eq\f(2π，ω）－eq\f（φ，ω）y0A0－A0第二步:在同一坐标系中描出各点．第三步：用光滑曲线连接这些点,形成图像．知识点二函数y＝Asin(ωx＋φ），A>0，ω〉0的性质名称性质定义域值域周期性T＝________对称性对称中心eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f（kπ－φ,ω），0))(k∈Z)对称轴奇偶性当φ＝kπ（k∈Z）时是____函数；当φ＝kπ＋eq\f(π,2）（k∈Z)时是____函数单调性通过整体代换可求出其单调区间知识点三函数y＝Asin（ωx＋φ),A＞0，ω＞0中参数的物理意义类型一用“五点法”画y＝Asin（ωx＋φ)的图像例1利用五点法作出函数y＝3sin（eq\f（1，2）x－eq\f(π,3）)在一个周期内的图像．反思与感悟(1）用“五点法”作图时,五点的确定，应先令ωx＋φ分别为0，eq\f(π,2），π，eq\f(3π,2），2π，解出x，从而确定这五点．(2)作给定区间上y＝Asin(ωx＋φ）的图像时，若x∈［m，n]，则应先求出ωx＋φ的相应范围，在求出的范围内确定关键点，再确定x，y的值，描点、连线并作出函数的图像．跟踪训练1已知f（x)＝1＋eq\r（2）sin（2x－eq\f(π,4)),画出f（x）在x∈[－eq\f(π，2），eq\f(π，2）]上的图像．类型二由图像求函数y＝Asin（ωx＋φ）的解析式例2如图是函数y＝Asin（ωx＋φ)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A＞0，ω＞0，|φ｜＜\f（π，2)））的图像，求A,ω,φ的值，并确定其函数解析式．反思与感悟若设所求解析式为y＝Asin（ωx＋φ）,则在观察函数图像的基础上，可按以下规律来确定A，ω,φ.（1)由函数图像上的最大值、最小值来确定｜A｜.(2）由函数图像与x轴的交点确定T，由T＝eq\f（2π,|ω｜)，确定ω。(3)确定函数y＝Asin(ωx＋φ)的初相φ的值的两种方法①代入法：把图像上的一个已知点代入（此时A，ω已知）或代入图像与x轴的交点求解．（此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上)②五点对应法：确定φ值时，往往以寻找“五点法"中的第一个零点eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(－\f（φ,ω），0）)作为突破口．“五点"的ωx＋φ的值具体如下:“第一点”（即图像上升时与x轴的交点)为ωx＋φ＝0；“第二点”（即图像的“峰点”)为ωx＋φ＝eq\f(π，2）；“第三点"（即图像下降时与x轴的交点）为ωx＋φ＝π；“第四点”（即图像的“谷点”)为ωx＋φ＝eq\f(3π,2);“第五点”为ωx＋φ＝2π。跟踪训练2函数y＝Asin(ωx＋φ）的部分图像如图所示,则其解析式为（)A．y＝2sineq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,6）)） B．y＝2sineq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（2x－\f(π,3))）C．y＝2sineq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,6））) D．y＝2sineq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（x＋\f(π，3)))类型三函数y＝Asin（ωx＋φ)性质的应用例3已知函数y＝Asin(ωx＋φ)(A〉0，ω>0，｜φ｜<eq\f(π，2)）的图像过点P（eq\f(π，12），0)，图像上与P点最近的一个最高点的坐标为(eq\f(π,3)，5)．(1）求函数解析式；（2)指出函数的递增区间;(3）求使y≤0的x的取值范围．反思与感悟有关函数y＝Asin（ωx＋φ)的性质的问题，要充分利用正弦曲线的性质，要特别注意整体代换思想．跟踪训练3设函数f（x)＝sin（2x＋φ）（－π＜φ＜0）,函数y＝f（x）的图像的一条对称轴是直线x＝eq\f(π，8）.(1)求φ的值；(2)求函数y＝f(x)的单调区间及最值．1．函数y＝Asin(ωx＋φ)(A〉0，0〈φ〈π)的图像的一段如图所示,它的解析式可以是（）A．y＝eq\f（2,3）sin（2x＋eq\f(2π,3）） B．y＝eq\f(2,3）sin（2x＋eq\f(π，3）)C．y＝eq\f(2,3)sin(2x－eq\f(π,3)) D．y＝eq\f（2，3)sin（2x＋eq\f(π，4）)2．函数y＝－2sin(eq\f（π,4）－eq\f（x，2）)的周期、振幅、初相分别是()A．2π，－2，eq\f(π，4) B．4π,－2，eq\f(π,4）C．2π，2,－eq\f（π,4) D．4π，2，－eq\f(π,4）3．下列表示函数y＝sineq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（2x－\f(π,3))）在区间eq\b\lc\［\rc\］（\a\vs4\al\co1（－\f（π,2），π））上的简图正确的是（）4．已知函数f(x）＝sineq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(ωx＋\f（π,3)))（ω〉0)的最小正周期为π,则该函数的图像()A．关于点eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f（π,3）,0)）对称 B．关于直线x＝eq\f（π,4)对称C．关于点eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f(π，4）,0）)对称 D．关于直线x＝eq\f（π，3）对称5．已知函数f(x）＝Asin（ωx＋φ）(A＞0,ω＞0，－eq\f（π,2)＜φ＜eq\f(π，2))的部分图像如图所示．（1）求f（x)的解析式；(2）写出f（x)的递增区间．1．利用“五点”作图法作函数y＝Asin（ωx＋φ）的图像时，要先令“ωx＋φ"这一个整体依次取0，eq\f(π,2),π,eq\f(3，2）π，2π，再求出x的值,这样才能得到确定图像的五个关键点，而不是先确定x的值，后求“ωx＋φ"的值．2．由函数y＝Asin（ωx＋φ）的部分图像确定解析式关键在于确定参数A,ω，φ的值．（1）一般可由图像上的最大值、最小值来确定|A｜。(2）因为T＝eq\f（2π,ω),所以往往通过求得周期T来确定ω,可通过已知曲线与x轴的交点从而确定T，即相邻的最高点与最低点之间的距离为eq\f（T,2）;相邻的两个最高点(或最低点）之间的距离为T.（3）从寻找“五点法”中的第一个零点（－eq\f(φ，ω），0)（也叫初始点）作为突破口，以y＝Asin(ωx＋φ)（A〉0，ω〉0）为例，位于递增区间上离y轴最近的那个零点最适合作为“五点"中的第一个点．3．在研究y＝Asin（ωx＋φ)(A〉0，ω〉0)的性质时，注意采用整体代换的思想，如函数在ωx＋φ＝eq\f（π,2）＋2kπ（k∈Z）时取得最大值，在ωx＋φ＝eq\f(3π,2)＋2kπ（k∈Z)时取得最小值．

答案精析问题导学知识点一思考1依次为0，eq\f(π，2)，π，eq\f(3π,2),2π。思考2用“五点法”作函数y＝Asin(ωx＋φ)(x∈R)的简图，先令t＝ωx＋φ,再由t取0，eq\f(π,2),π，eq\f（3π,2），2π即可得到所取五个关键点的横坐标依次为－eq\f（φ,ω），－eq\f（φ,ω)＋eq\f(π,2ω）,－eq\f(φ,ω)＋eq\f(π,ω），－eq\f(φ,ω)＋eq\f（3π，2ω),－eq\f(φ,ω）＋eq\f(2π,ω).知识点二R［－A，A]eq\f（2π，ω）x＝eq\f(π，2ω）＋eq\f(kπ－φ，ω）(k∈Z）奇偶知识点三Aeq\f（2π，ω）eq\f（ω,2π）ωx＋φφ题型探究例1解依次令eq\f(x，2）－eq\f(π,3)＝0，eq\f（π，2），π，eq\f（3π，2），2π，列出下表:eq\f(x，2)－eq\f(π,3)0eq\f（π，2)πeq\f（3π,2）2πxeq\f(2π，3）eq\f(5π，3）eq\f（8π,3)eq\f（11π,3）eq\f（14π，3)y030－30描点，连线，如图所示．跟踪训练1解（1)∵x∈[－eq\f(π，2），eq\f（π,2）］,∴2x－eq\f（π,4）∈[－eq\f（5,4）π，eq\f（3,4)π]．列表如下：x－eq\f(π,2）－eq\f(3,8)π－eq\f（π,8)eq\f（π,8）eq\f(3，8)πeq\f（π，2)2x－eq\f(π,4)－eq\f（5，4)π－π－eq\f(π,2）0eq\f（π，2)eq\f(3,4）πf(x）211－eq\r(2)11＋eq\r（2)2（2)描点，连线，如图所示．例2解方法一（逐一定参法）由图像知振幅A＝3，又T＝eq\f(5π,6)－(－eq\f（π,6))＝π，∴ω＝eq\f（2π，T）＝2。由点eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(－\f（π，6)，0)）可知，－eq\f(π，6）×2＋φ＝0，得φ＝eq\f(π,3），∴y＝3sineq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（2x＋\f（π,3)））.方法二（待定系数法）由图像知A＝3，又图像过点eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f（π,3），0））和eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f（5π,6），0)），根据五点作图法原理(以上两点可判为“五点法”中的第三点和第五点），有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f（π，3)·ω＋φ＝π，，\f(5π，6）·ω＋φ＝2π，））解得eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（ω＝2,,φ＝\f（π，3）.))∴y＝3sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f（π，3）））。方法三(图像变换法）由T＝π，点eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)，0)），A＝3可知，图像是由y＝3sin2x向左平移eq\f（π,6)个单位长度而得到的，∴y＝3sineq\b\lc\[\rc\］（\a\vs4\al\co1(2\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（x＋\f(π，6)）))），即y＝3sineq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π，3）)）。跟踪训练2A例3解(1）∵图像最高点的坐标为(eq\f(π，3）,5),∴A＝5。∵eq\f（T,4)＝eq\f(π，3)－eq\f(π，12)＝eq\f(π，4），∴T＝π，∴ω＝eq\f（2π，T）＝2，∴y＝5sin(2x＋φ)．代入点（eq\f（π,3)，5），得sin（eq\f(2π，3)＋φ）＝1，∴eq\f(2π,3)＋φ＝2kπ＋eq\f(π，2），k∈Z。令k＝0，则φ＝－eq\f(π，6)，∴y＝5sin(2x－eq\f（π,6))．（2）∵函数的递增区间满足2kπ－eq\f（π，2)≤2x－eq\f(π,6）≤2kπ＋eq\f(π,2)（k∈Z），∴2kπ－eq\f（π，3）≤2x≤2kπ＋eq\f（2π,3)(k∈Z）,∴kπ－eq\f(π,6）≤x≤kπ＋eq\f（π，3）（k∈Z）．∴函数的递增区间为[kπ－eq\f（π，6)，kπ＋eq\f(π，3）](k∈Z）．（3)∵5sin(2x－eq\f(π，6）)≤0,∴2kπ－π≤2x－eq\f(π,6)≤2kπ(k∈Z)，∴kπ－eq\f(5π，12)≤x≤kπ＋eq\f(π,12）（k∈Z)．故所求x的取值范围是［kπ－eq\f(5π，12),kπ＋eq\f(π,12)]（k∈Z）．跟踪训练3解(1)由2x＋φ＝kπ＋eq\f（π，2），k∈Z,得x＝eq\f(kπ，2)＋eq\f(π，4）－eq\f（φ，2)，令eq\f（kπ，2）＋eq\f(π,4)－eq\f（φ，2）＝eq\f（π，8)，得φ＝kπ＋eq\f（π，4)，k∈Z。∵－π＜φ＜0，∴φ＝－eq\f（3π，4).（2)由（1)知，f（x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（2x－\f（3π，4)))。由2kπ－eq\f(π，2)≤2x－eq\f(3π，4）≤2kπ＋eq\f（π，2）（k∈Z)，得kπ＋eq\f(π，8）≤x≤kπ＋eq\f（5π,8)(k∈Z),故函数的递增区间是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(kπ＋\f