2017-2018版高中数学第一章三角函数9三角函数的简单应用学案4

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精PAGE13学必求其心得，业必贵于专精PAGE9三角函数的简单应用学习目标1.会用三角函数解决一些简单的实际问题.2.体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型．知识点利用三角函数模型解释自然现象在客观世界中,周期现象广泛存在，潮起潮落、星月运转、昼夜更替、四季轮换，甚至连人的情绪、体力、智力等心理、生理状况都呈现周期性变化．思考现实世界中的周期现象可以用哪种数学模型描述？梳理（1)利用三角函数模型解决实际问题的一般步骤:第一步:阅读理解，审清题意．读题要做到逐字逐句，读懂题中的文字，理解题目所反映的实际背景,在此基础上分析出已知什么、求什么，从中提炼出相应的数学问题．第二步:收集、整理数据,建立数学模型．根据收集到的数据找出变化规律，运用已掌握的三角函数知识、物理知识及相关知识建立关系式，将实际问题转化为一个与三角函数有关的数学问题,即建立三角函数模型，从而实现实际问题的数学化．第三步：利用所学的三角函数知识对得到的三角函数模型予以解答．第四步：将所得结论转译成实际问题的答案．（2)三角函数模型的建立程序如图所示：类型一三角函数模型在物理中的应用例1已知电流I与时间t的关系为I＝Asin(ωt＋φ)．(1)如图所示的是I＝Asin（ωt＋φ)(ω〉0,｜φ｜<eq\f(π,2））在一个周期内的图像，根据图中数据求I＝Asin(ωt＋φ)的解析式；(2)如果t在任意一段eq\f(1,150）的时间内,电流I＝Asin（ωt＋φ）都能取得最大值和最小值，那么ω的最小正整数值是多少？反思与感悟此类问题的解决关键是将图形语言转化为符号语言,其中，读图、识图、用图是数形结合的有效途径．跟踪训练1一根细线的一端固定，另一端悬挂一个小球，当小球来回摆动时，离开平衡位置的位移S（单位:cm)与时间t(单位：s）的函数关系是S＝6sin（2πt＋eq\f（π，6）)．（1)画出它的图像；（2）回答以下问题：①小球开始摆动（即t＝0)，离开平衡位置是多少？②小球摆动时，离开平衡位置的最大距离是多少？③小球来回摆动一次需要多少时间?类型二三角函数模型在生活中的应用例2某游乐园的摩天轮最高点距离地面108米,直径长是98米,匀速旋转一圈需要18分钟．如果某人从摩天轮的最低处登上摩天轮并开始计时，那么：（1)当此人第四次距离地面eq\f(69，2)米时用了多少分钟？(2）当此人距离地面不低于（59＋eq\f（49，2）eq\r(3)）米时可以看到游乐园的全貌，求摩天轮旋转一圈中有多少分钟可以看到游乐园的全貌？反思与感悟解决三角函数的实际应用问题必须按照一般应用题的解题步骤执行．(1)认真审题，理清问题中的已知条件与所求结论．（2）建立三角函数模型，将实际问题数学化．(3)利用三角函数的有关知识解决关于三角函数的问题，求得数学模型的解．（4)根据实际问题的意义,得出实际问题的解．（5）将所得结论返回、转译成实际问题的答案．跟踪训练2如图所示，一个摩天轮半径为10m,轮子的底部在距离地面2m处，如果此摩天轮按逆时针转动，每30s转一圈,且当摩天轮上某人经过点P处(点P与摩天轮中心高度相同)时开始计时．(1）求此人相对于地面的高度关于时间的关系式；（2)在摩天轮转动的一圈内，大约有多长时间此人相对于地面的高度不小于17m.1．一根长lcm的线，一端固定，另一端悬挂一个小球,小球摆动时离开平衡位置的位移s（cm)与时间t（s）的函数关系式为s＝3coseq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(\f（g，l））t＋\f（π,3)）)，其中g是重力加速度，当小球摆动的周期是1s时，线长l＝________cm.2．某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用三角函数y＝a＋Acoseq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1（\f（π,6)x－6））(x＝1,2，3,…，12）来表示,已知6月份的月平均气温最高，为28℃,12月份的月平均气温最低，为18℃,则10月份的平均气温为________℃.3．一个单摆的平面图如图．设小球偏离铅锤方向的角为α(rad）,并规定当小球在铅锤方向右侧时α为正角，左侧时α为负角．α作为时间t(s）的函数，近似满足关系式α＝Asin(ωt＋eq\f（π，2)）,其中ω〉0.已知小球在初始位置(即t＝0)时，α＝eq\f(π，3)，且每经过πs小球回到初始位置，那么A＝________；α关于t的函数解析式是________________．4．某实验室一天的温度（单位:℃）随时间t(单位：h)的变化近似满足函数关系:f(t）＝10－2sin(eq\f（π,12）t＋eq\f(π,3）），t∈[0,24)．（1）求实验室这一天的最大温差;(2)若要求实验室温度不高于11℃，则在哪段时间实验室需要降温？1．三角函数模型是研究周期现象最重要的数学模型．三角函数模型在研究物理、生物、自然界中的周期现象（运动）有着广泛的应用．2．三角函数模型构建的步骤(1)收集数据，观察数据,发现是否具有周期性的重复现象．(2)制作散点图,选择函数模型进行拟合．(3)利用三角函数模型解决实际问题．（4)根据问题的实际意义,对答案的合理性进行检验．

答案精析问题导学知识点思考三角函数模型．题型探究例1解（1)由图可知A＝300，设t1＝－eq\f（1,900）,t2＝eq\f（1，180）,则周期T＝2（t2－t1)＝2eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f（1，180）＋\f(1,900)））＝eq\f(1，75).∴ω＝eq\f(2π,T）＝150π.又当t＝eq\f（1，180)时，I＝0,即sineq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(150π·\f（1,180)＋φ）)＝0，而｜φ|<eq\f（π，2)，∴φ＝eq\f（π,6).故所求的解析式为I＝300sineq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(150πt＋\f(π,6）)）。(2）依题意知，周期T≤eq\f(1，150）,即eq\f(2π,ω）≤eq\f（1，150)(ω〉0)，∴ω≥300π>942，又ω∈N*,故所求最小正整数ω＝943.跟踪训练1解（1)周期T＝eq\f(2π,2π）＝1(s)．列表：t0eq\f(1,6）eq\f（5，12)eq\f(2，3）eq\f(11，12)12πt＋eq\f(π,6）eq\f（π，6）eq\f（π，2)πeq\f（3π，2）2π2π＋eq\f(π,6）6sin(2πt＋eq\f(π,6））360－603描点画图：(2)①小球开始摆动(即t＝0）,离开平衡位置为3cm。②小球摆动时离开平衡位置的最大距离是6cm。③小球来回摆动一次需要1s（即周期)．例2解(1)如图，建立平面直角坐标系，设此人登上摩天轮t分钟时距地面y米，则α＝eq\f(2π,18)t＝eq\f(π，9)t。由y＝108－eq\f(98,2）－eq\f(98,2）coseq\f（π,9)t＝－49coseq\f（π，9)t＋59(t≥0)．令－49coseq\f(π，9)t＋59＝eq\f（69,2)，得coseq\f(π，9)t＝eq\f（1,2)，∴eq\f(π,9)t＝2kπ±eq\f（π,3),故t＝18k±3，k∈Z，故t＝3,15，21，33。故当此人第四次距离地面eq\f（69,2)米时用了33分钟．(2)由题意得－49coseq\f（π,9)t＋59≥59＋eq\f(49，2)eq\r（3)，即coseq\f(π,9）t≤－eq\f(\r(3)，2).故不妨在第一个周期内求即可，∴eq\f(5π,6）≤eq\f（π，9)t≤eq\f(7π,6),解得eq\f（15,2）≤t≤eq\f（21,2)，故eq\f（21，2)－eq\f（15,2）＝3。因此摩天轮旋转一圈中有3分钟可以看到游乐园的全貌．跟踪训练2解(1)设在ts时，摩天轮上某人在高hm处．这时此人所转过的角为eq\f（2π,30)t＝eq\f(π，15）t,故在ts时,此人相对于地面的高度为h＝10sineq\f（π,15）t＋12(t≥0)．(2）由10sineq\f（π,15）t＋12≥17，得sineq\f(π，15）t≥eq\f(1，2），则eq\f(5，2）≤t≤eq\f（25，2)。故此人有10s相对于地面的高度不小于17m.当堂训练1。eq\f（g，4π2)2.20。53.eq\f(π，3)α＝eq\f（π,3）sin(2t＋eq\f(π，2)),t∈［0，＋∞）4．解（1)因为f（t)＝10－2sin（eq\f(π，12)t＋eq\f（π,3）)，又0≤t<24，所以eq\f（π，3)≤eq\f(π，12）t＋eq\f（π,3）<eq\f（7π，3），－1≤sin（eq\f(π，12）t＋eq\f（π，3））≤1。当t＝2时，sin(eq\f(π,12)t＋eq\f（π,3）)＝1；当t＝14时,sin（eq\f(π,12)t＋eq\f（π，3))＝－1。于是f（t）在［0，24)上的最大值为12，最小值为8。故实验室这一天的最高温度为12℃,最低温度为8℃,最大温差为4℃.（2)依题意,当f（t）〉11时实验室需要降温．由(1)得f(t)＝10－2sin（eq\f（π,12）t＋eq\f（π，3)),故有10－2sin（eq\f（π，12）t＋eq\f(π，3））〉