第4章正弦交流电路

第4章正弦交流电路4.2正弦量的相量表示法4.1正弦电压与电流4.3单一参数的交流电路4.7交流电路的频率特性*4.6复杂正弦交流电路的分析与计算4.8功率因数的提高4.5阻抗的串联与并联4.4电阻、电感与电容元件串联的交流电路*4.9非正弦周期电压和电流激励按其波形变化规律分为恒定量——直流特变量周期性变化量非周期性变化量正弦量非正弦周期量正弦量：随时间按正弦规律变化的物理量。可以采用正弦函数(sin形式)，也可以采用余弦形式(cos形式)。本书采用sin形式。正弦交流电的优越性：

便于传输；易于变换便于运算；有利于电器设备的运行；

……4.1

正弦电压与电流（自学）设正弦交流电流：角频率：决定正弦量变化快慢幅值：决定正弦量的大小

幅值、角频率、初相角成为正弦量的三要素。初相角：决定正弦量起始位置ImTiOt一、频率与周期周期T：正弦量变化一次所需的时间（s）角频率：(rad/s)频率f：(Hz)工频为50HziOtT二、幅值和有效值ImiOt幅值：瞬时值中最大的值，用大写加下标m表示。如：Im、Um、Em瞬时值：正弦量在任一瞬间的值，用小写表示。如：u、i、e正弦量的有效值有效值：与周期电流或电压在一个周期内产生的平均效应相等的直流量定义为该周期量的有效值。用相应的大写字母表示。则有交流直流周期量的有效值等于其瞬时值的平方在一个周期内积分的平均值再取平方根，又称均方根值。Ri(t)RI周期电流通过电阻R直流电流通过电阻R(2)正弦量的有效值与频率和初相位无关。设：i=Imsin(t+)说明：(1)的关系只适用于正弦量，对别的周期量不适用。(3)交流电压、电流表测量数据,交流设备铭牌标注的额定电压、电流均为有效值。说明：(1)||相位(或相角)：t+初相位：

表示正弦量在t=0时的相角。

反映正弦量变化的进程。三、初相位iOt(2)的大小与计时起点的选择有关。四、同频率正弦量的相位差设：则相位差(1)若=12>0，则电压超前电流

角或电流滞后电压角(2)若=12=0，则电压与电流同相uituiO(3)若=12=180，则电压与电流反相tuiuiOuiuitO说明：(1)两同频率的正弦量之间的相位差为常数，与计时的选择起点无关。(2)||例1已知：i1(t)=5cos(100t+30)A，

i2(t)

=3sin(100t45)A。

确定它们的相位关系。解：i1(t)

=5cos(100t+30)=5sin(100t+120)A=1

2=120(45)=165i1(t)超前i2(t)

165本节属自学内容：学生需掌握以下内容：1、正弦量的三个要素：频率、幅值和初相位。2、频率、幅值和初相位的概念。3、两个同频率的正弦量的相位差的概念以及通过相位差判断两个正弦量之间的相位关系。4.2节中自学内容：学生需掌握以下内容：1、复数的几种表示方式。2、复数的加、减、乘、除运算。3、利用复平面运用平行四边形法则求复数的加法和减法。4.2

正弦量的相量表示法三角函数式波形图正弦量的三种表示方法uO相量一、复数的复习（自学）1、复数的表示形式设A为复数:(1)代数式A

=a+jb复数的模复数的辐角(2)三角式+j+1Abar0(3)指数式

(4)极坐标式取复数的实部取复数的虚部掌握：复数的代数形式和极坐标形式之间的相互转换！例1：已知复数A的模r=5，幅角ψ=53.1°，试写出复数A的极坐标形式和代数形式表达式。解：根据模和幅角可直接写出极坐标形式：复数A的代数形式为：

A=553.1°2、复数的运算(1)复数的加减——采用代数式A1

A2=(a1

a2)+j(b1b2)+1+j0A2A1A1+A2+1+j0A2A1A1A2A2按平行四边形法则求设复数A1=a1+jb1=r1

1

，A2=a2+jb2=

r2

2

(2)复数的乘除法——采用极坐标式或指数式二、相量——表示正弦量的复数相量表示为:设：i=Imsin(t+i

)或：（幅值相量）（有效值相量）注意:①相量是表示正弦量的复数，用大写字母上加点表示，以与一般复数相区别。②相量只是表示正弦量，而不等于正弦量。③只有正弦量才能用相量表示，非正弦量不能用相量表示。三、相量图——

把相量表示在复平面上的图形。可不画坐标轴只有同频率的正弦量才能画在同一相量图上。+jO+1i相量图的功能:(1)在相量图上可以清楚地看出各个正弦量的初相位，以及各个正弦量的关系。(2)同频率的正弦量的加减可借助相量图进行。注意:例1:解:(1)

相量式(2)相量图写出u1、u2的相量式，并画出相量图。+1+jO超前落后？

落后于或超前于例2:解：相应的函数式为：已知相量，频率=314rad/s，写出相应的函数式。说明：

由正弦量可直接写出与之对应的相量；反之，从相量也可直接写出相应的正弦量，但必须给出正弦量的角频率。例3:解:求：i=i1+i2，并画出相量图。已知4.3

单一参数的交流电路4.3.1电阻元件的交流电路RuR+–iR设：时域形式：uR=RiR相量形式：R+–相量图+1+j0(电压和电流同相)一、电压和电流关系(伏安关系)二、功率(1)瞬时功率——瞬时电压与瞬时电流的乘积小写结论：p0，表明电阻元件始终从电源吸收电能

——耗能元件iωtuOωtpOiu(2)平均功率（或有功功率）瞬时功率在一个周期内的平均值，用大写字母P表示。大写单位:瓦（W）ppωtO注意：通常铭牌数据或测量的功率均指有功功率。UI4.3.2电感元件的交流电路1、时域形式：LuL+–iL一、伏安关系说明：

(1)电感元件的电压超前电流90；感抗，单位：(Ω)(2)令反映电感对交流电流的阻碍作用。电感L具有通直流阻交流的作用直流：XL=0，电感L视为短路XL交流：f当L一定时，2、相量形式——电感欧姆定律的相量形式+–(电压超前电流90)相量图+1+j0二、功率(1)瞬时功率储能p<0+p>0+p>0p<0放能储能放能pOiuO结论：纯电感不消耗能量，只和电源进行能量交换（能量的吞吐)。——储能元件(2)平均功率P——反映电源与电感元件的能量互换的规模，用瞬时功率的最大值表示，即单位：var或kvar(3)无功功率Q（电感吸收无功功率）例1：把一个0.1H的电感接到f=50Hz，U=10V的正弦电源上，求电流I。如保持U不变，而电源频率变为f=5000Hz,这时I为多少？解：(1)当f=50Hz时(2)当f=5000Hz时所以电感元件具有通低频阻高频的特性。4.3.3电容元件的交流电路1、时域形式：一、伏安关系说明：

(1)电容元件的电流超前电压90；容抗，单位：(Ω)(2)令反映电容对交流电流的阻碍作用。电容C具有通交流阻直流的作用直流：XC，电容C视为开路XC交流：f当C一定时，CuC+–iC2、相量形式——电容欧姆定律的相量形式(电压滞后电流90)+–相量图+1+j0二、功率(1)瞬时功率pOiuOp<0放电+p>0充电p<0放电+p>0充电结论：纯电容不消耗能量，只和电源进行能量交换（能量的吞吐)。——储能元件(2)平均功率P用以衡量电容电路中能量交换的规模，用瞬时功率的最大值表示，即单位：var(3)无功功率Q（电容发出无功功率）【练习】指出下列各式中哪些是对的，哪些是错的？在电阻电路中：在电感电路中：在电容电路中：4.3单一参数正弦交流电路的分析计算小结电路参数电路图(参考方向)阻抗电压、电流关系瞬时值有效值相量图相量式功率有功功率无功功率Riu设则u、i

同相0LC设则则u超前i90°00基本关系+-iu+-iu+-设u落后i90°4.4电阻、电感与电容元件的串联电路一、阻抗1、定义N0+——阻抗模——阻抗角反映了电压和电流之间辐角的关系。反映了电压和电流大小的关系。2、N0为单个的R、L、C元件，则对应的阻抗分别为：Z

是一个复数，不是相量，上面不能加点。注意:二、串联RLC电路的阻抗+RLC+_+_+_由KVL得：电阻电抗说明：1、为的函数。当XL

>XC

时，

>0，u

超前i—呈感性当XL<XC

时，

<0，u

滞后i—呈容性当XL=XC

时，

=0

，u、i

同相

—呈电阻性2、阻抗三角形阻抗模：阻抗角：由阻抗三角形得：阻抗三角形阻抗三角形不是相量图！它的各条边仅仅反映了各个复阻抗之间的数量关系。电路的相量图相量图：它能反映KVL、KCL、VCR(三大定律)，用几何图形来表示各相量之间的关系，并且可以辅助电路的分析计算。相量图的作法：1、选取参考相量串联电路：以电流作参考相量并联电路：以电压作参考相量2、按KVL、KCL、VCR逐个画出相应的相量。3、用矢量平行四边形和多边形法则，画出电路的相量图。3、RLC串联电路的相量图(

>0感性)X

>

0参考相量(

<0容性)X

<

0+RLC+_+_+_X=0(

=0阻性)4、电压三角形由电压三角形可得：(

>0感性)X

>

0+RLC+_+_+_以感性负载为例：电压三角形是相量图。它不仅定性反映各电压间的数量关系，还可反映各电压间的相位关系。二、串联RLC电路的功率1、瞬时功率p+RLC+_+_+_uiuRuLuC2、平均功率P单位：W(瓦特)说明：(1)P实质是各电阻消耗的有功功率之和。(2)cos称为功率因数，用来衡量对电源的利用程度。3、无功功率Q单位：var(乏，即无功伏安)4、视在功率S电路中总电压与总电流有效值的乘积。单位：V·A(伏安)

注：SN＝UNIN称为发电机、变压器等供电设备的容量，可用来衡量发电机、变压器可能提供的最大有功功率。

P、Q、S

都不是正弦量，不能用相量表示。5、S、P、Q、cos的关系1、功率三角形SQP功率三角形2、阻抗三角形、电压三角形和功率三角形关系以感性负载为例：乘以I阻抗三角形电压三角形功率三角形乘以I功率三角形也不是相量图！其各边也是仅仅表明了各种功率之间的数量关系。例1：求：(1)电流的有效值I与瞬时值i；(2)各元件电压的相量；(3)作相量图；(4)有功功率P、无功功率Q和视在功率S。在RLC串联交流电路中，已知：R=30，L=127mH，C=40F，电源电压解：（容性）(1)(2)各部分电压的相量为：通过计算可看出：而是(3)相量图如图所示。(4)或或呈容性例2：求：(1)此二端网络的阻抗；(2)此二端网络由两个元件串联的等效电路和元件的参数；(3)该二端网络的功率因数、输入的有功功率P、无功功率Q。无源二端网络输入端的电压和电流分别为解：无源网络i-+u(1)（感性）由阻抗可得：R=30，XL=40(3)功率因数：有功功率：无功功率：RL(2)由于该网络为电感性，可等效为电感和电阻的串联。例3：已知：电流表A1的读数为5A，电流表A2的读数为20A，电流表A3的读数为25A。求电流表A和A4的读数。解题方法有两种：(1)用相量(复数)计算(2)利用相量图分析求解A4AA1R+A2LA3C求：A、A4的读数已知：I1=5A，I2=20A，

I3=25A解法1:

用相量计算所以表A：7.07A

表A4：5A即：为参考相量，设：则：A4AA1R+A2LA3C解法2:利用相量图分析求解画相量图如下：设为参考相量由相量图可求得：I=7.07A，I4=5A25求：A、A4的读数已知：I1=5A，I2=20A，

I3=25A与同相超前

I3=25A205A4AA1R+A2LA3C4.5

阻抗的串联与并联一、阻抗的串联+_Z1Zn+_+_+_Z2ab+_Zab(等效阻抗等于各阻抗之和)两个阻抗串联：+_Z1Z2__++等效阻抗：分压公式：下列各图中给定的电路电压、阻抗是否正确？思考(a)3j4V16V8V+V2(b)j6j8V130V40V+_V2二、阻抗的并联两个阻抗并联+_Z1Z2+_Z例1:解：求如图所示电路的等效阻抗Zab。5122ab51j2-j2ab例2:解：一个线圈接到U=120V的直流电源上时，I=20A；接在U=220V、f=50Hz的交流电源上时，I=28.2A。试求线圈的电阻R和电感L。+RL线圈模型当线圈接在直流电源上时，电感相当于短路，则：当线圈接在交流电源上时，解得：L=15.88mH例3：

已知：L1=1/3H，L2=5/6H，C=1/3F，R=2，i=sin(3t+45)A。(1)求电压u；(2)电路有功功率P；(3)该电路呈何性质？+RL1L2Ciu+j1-j1j2.52解:(1)(2)(3)电路呈感性。例4:解:(1)已知：电源电压。求：(1)等效阻抗Z；(2)电流和+50100j200j400(2)例5：如图所示电路中，已知：I1=10A、UAB=100V，求：总电压表和总电流表

的读数。解法1:

用相量计算所以A读数为10安设则：AB

C1VAj10j55V读数为141V求：A、V的读数已知：I1=10A、

UAB=100V，AB

C1VAj10j55解法2:利用相量图分析求解画相量图如下：设为参考相量,由相量图可求得：I=10A求：A、V的读数已知：I1=10A、

UAB=100V，超前1045°AB

C1VAj10j55UL=IXL

=100VU

=141V由相量图可求得：求：A、V的读数已知：I1=10A、

UAB=100V，设为参考相量,1001045°10045°AB

C1VAj10j554.7.2谐振电路N+

在同时含有L和C的交流电路中，如果总电压和总电流同相，称电路处于谐振状态。谐振的概念：串联谐振：L与C串联并联谐振：L与C并联分类一方面：在生产上充分利用谐振的特点

(如在无线电技术和电子测量技术等许多电路中应用)。另一方面：要预防它所产生的危害。研究谐振的目的：一、串联谐振+RLC谐振时有：谐振时的角频率谐振角频率：谐振频率：电路发生谐振的方法：(1)电源频率f

一定，调参数L、C使

f

=fo；(2)电路参数L、C

一定，调电源频率f，使f=fo1、条件2、串联谐振的特点

(1)阻抗最小，为纯电阻(2)电流最大电路呈电阻性，能量全部被电阻消耗，QL和QC相互补偿。即电源与电路之间不发生能量互换。(3)

同相当电源电压一定时：(4)电压关系电阻电压：大小相等、相位相差180电容、电感上的电压：串联谐振又称为电压谐振相量图当

XL=

XC>>R时，有：UL=UC>>U可能会击穿线圈或电容的绝缘，因此在电力系统中一般应避免发生串联谐振，但在无线电工程上，又可利用这一特点达到选择信号的作用。（过电压现象）如果，U=220V，则在谐振时3、串联谐振的应用举例接收机的输入电路L1：天线线圈LC：串联谐振电路e1、e2、e3为来自3个不同电台(不同频率)在LC谐振电路中感应的相应的电动势。调C，对所需信号频率产生串联谐振等效电路+-电路图L1LC例1：串联RLC电路中，正弦电压有效值U=10V，R=10，L=20mH，当电容C=200pF时，电流I=1A。求正弦电压的频率、电压UL和UC。解：可知此时电路处于谐振状态。4.8

功率因数的提高1、使发电设备的容量得以充分利用一、提高的意义对于额定容量相同的电源，SN一定，cosPcosP2、减少线路和发电机绕组的功率损耗当P、U一定时，由P=UIcos得：cosI，损耗小cosI，损耗大二、提高的方法

日常生活中多为感性负载---如电动机、日光灯，常采用并联电容的方法来提高