2017-2018版高中数学第一章计数原理3组合第1课时组合与组合数公式学案2-3

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精PAGE16学必求其心得，业必贵于专精PAGE第1课时组合与组合数公式学习目标1.理解组合及组合数的概念.2。能利用计数原理推导组合数公式,并会应用公式解决简单的组合问题．知识点一组合的定义思考①从3，5,7,11中任取两个数相除;②从3，5，7,11中任取两个数相乘．以上两个问题中哪个是排列?①与②有何不同特点?梳理从n个不同元素中，任取m(m≤n）个元素________，叫作从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．知识点二组合数与组合数公式从3，5,7,11中任取两个数相除，思考1如何用分步乘法计数原理求商的个数？思考2你能得出Ceq\o\al（2,4）的计算公式吗？梳理组合数定义及表示从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的________________，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号________表示.组合数公式乘积形式Ceq\o\al（m,n)＝eq\f(A\o\al(m,n),A\o\al（m，m)）＝________________阶乘形式Ceq\o\al（m，n）＝________________性质Ceq\o\al(m,n）＝____________Ceq\o\al（m,n＋1）＝____________＋____________备注n，m∈N＋，且m≤n，规定Ceq\o\al（0，n）＝________类型一组合概念的理解例1判断下列各事件是排列问题还是组合问题．（1)8个朋友聚会，每两人握手一次，一共握手多少次？（2)8个朋友相互各写一封信，一共写了多少封信？(3)从1,2，3，…，9这九个数字中任取3个，组成一个三位数，这样的三位数共有多少个?（4)从1,2,3，…，9这九个数字中任取3个，组成一个集合，这样的集合有多少个？反思与感悟判断一个问题是否是组合问题的流程跟踪训练1给出下列问题：(1)从a，b，c，d四名学生中选2名学生完成一件工作，有多少种不同的选法？(2)从a，b，c，d四名学生中选2名学生完成两件不同的工作，有多少种不同的选法？(3）a，b，c，d四支足球队之间进行单循环比赛，共需赛多少场?(4)a，b，c，d四支足球队争夺冠亚军,有多少种不同的结果?在上述问题中,________是组合问题，________是排列问题．类型二组合数公式及性质的应用命题角度1有关组合数的计算与证明例2（1)计算Ceq\o\al(4,10)－Ceq\o\al(3,7)·Aeq\o\al（3，3）；（2）求证：Ceq\o\al（m,n）＝eq\f（m＋1,n＋1）Ceq\o\al(m＋1，n＋1)。反思与感悟（1）涉及具体数字的可以直接用公式Ceq\o\al(m，n)＝eq\f(A\o\al(m，n）,A\o\al（m,m）)＝eq\f(nn－1n－2…n－m＋1,m！）计算．（2)涉及字母的可以用阶乘式Ceq\o\al(m,n)＝eq\f（n！,m！n－m！)计算．（3)计算时常利用的组合数的两个性质①Ceq\o\al(m，n)＝Ceq\o\al(n－m，n).②Ceq\o\al（m，n＋1）＝Ceq\o\al(m，n)＋Ceq\o\al（m－1,n）.跟踪训练2（1）计算Ceq\o\al(98,100）＋Ceq\o\al（199,200)＝________.（2）计算Ceq\o\al(3,4）＋Ceq\o\al（3,5)＋Ceq\o\al（3,6）＋…＋Ceq\o\al(3，2015）的值为()A．Ceq\o\al(4，2015） B．Ceq\o\al(5，2015）C．Ceq\o\al(4,2016）－1 D．Ceq\o\al(5，2015)－1命题角度2含组合数的方程或不等式例3(1)已知eq\f(1,C\o\al(m，5））－eq\f（1,C\o\al(m,6）)＝eq\f(7，10C\o\al（m,7))，求Ceq\o\al（m，8）＋Ceq\o\al（5－m,8)；(2)解不等式：Ceq\o\al（4,n)>Ceq\o\al（6，n)。反思与感悟与排列组合有关的方程或不等式问题要用到排列数、组合数公式，以及组合数的性质，求解时，要注意由Ceq\o\al(m,n）中的m∈N＋，n∈N＋，且n≥m确定m、n的范围,因此求解后要验证所得结果是否适合题意．跟踪训练3解方程3Ceq\o\al(x－7,x－3)＝5Aeq\o\al（2，x－4）。类型三简单的组合应用题例4一个口袋内装有大小相同的7个白球和1个黑球．(1）从口袋内取出3个球,共有多少种取法？(2)从口袋内取出3个球，使其中含有1个黑球，有多少种取法?（3）从口袋内取出3个球，使其中不含黑球,有多少种取法？反思与感悟解简单的组合应用题,要首先判断它是不是组合问题，即取出的元素是“合成一组"还是“排成一列”,其次要看这件事是分类完成还是分步完成．跟踪训练4现有10名教师，其中男教师6名，女教师4名．（1）现要从中选2名去参加会议，有多少种不同的选法？(2）现要从中选出男、女教师各2名去参加会议，有多少种不同的选法？1．下列四个问题属于组合问题的是()A．从4名志愿者中选出2人分别参加导游和翻译的工作B．从0，1，2,3，4这5个数字中选取3个不同的数字，组成一个三位数C．从全班同学中选出3名同学出席深圳世界大学生运动会开幕式D．从全班同学中选出3名同学分别担任班长、副班长和学习委员2．集合M＝{x｜x＝Ceq\o\al(n，4），n≥0且n∈N}，集合Q＝｛1,2，3,4｝，则下列结论正确的是（)A．M∪Q＝{0，1，2，3，4｝ B．Q⊆MC．M⊆Q D．M∩Q＝{1，4｝3．满足方程Cx2－x16＝Ceq\o\al（5x－5,16)的x值为(）A．1，3，5，－7B．1,3C．1，3，5D．3,54．不等式Ceq\o\al（n－3,10)〈Ceq\o\al（n－2，10）的解为(）A．3<n〈7 B．3≤n≤6C．n＝3,4，5 D．n＝3,4,5，6,75．从7名志愿者中安排6人在周六、周日两天参加社区公益活动，若每天安排3人，则不同的安排方案共有________种．(用数字作答)1．“组合”与“组合数”是两个不同的概念，组合是m个元素形成的一个整体,不是数,组合数是形成的不同组合的个数，是数量．2．对于有关组合数的计算、证明、解方程或不等式等问题，一是要注意组合数本身的意义及未知数的取值范围．二是掌握组合数性质,在计算Ceq\o\al(m,n）时，若m〉eq\f(n,2），通常使用Ceq\o\al（m,n）＝Ceq\o\al（n－m,n）转化；求多个组合数的和时，要注意观察上、下标的特征，灵活运用Ceq\o\al(m,n＋1）＝Ceq\o\al（m，n)＋Ceq\o\al(m－1,n）.

答案精析问题导学知识点一思考①是排列，①中选取的两个数是有序的，②中选取的两个数无需排列．梳理为一组知识点二思考1第1步，从这四个数中任取两个数，有Ceq\o\al（2，4)种方法；第2步，将每个组合中的两个数排列，有Aeq\o\al(2，2）种排法．由分步乘法计数原理，可得商的个数为Ceq\o\al（2，4）Aeq\o\al(2,2)＝12。思考2因为Aeq\o\al(2,4)＝Ceq\o\al(2,4)Aeq\o\al(2,2），所以Ceq\o\al(2，4)＝eq\f（A\o\al（2，4)，A\o\al（2，2))＝6.梳理所有组合的个数Ceq\o\al（m,n）eq\f(nn－1n－2…n－m＋1,m！）eq\f(n！，m!n－m!）Ceq\o\al（n－m，n)Ceq\o\al（m，n）Ceq\o\al(m－1,n）1题型探究例1解（1)每两人握手一次，无顺序之分,是组合问题．（2)每两人相互写一封信，是排列问题，因为发信人与收信人是有顺序区别的．（3）是排列问题,因为取出3个数字后，如果改变这3个数字的顺序，便会得到不同的三位数．(4)是组合问题，因为取出3个数字后，无论怎样改变这3个数字的顺序,其构成的集合都不变．跟踪训练1（1)(3）(2)（4）例2(1）解原式＝Ceq\o\al（4,10）－Aeq\o\al（3,7)＝eq\f（10×9×8×7,4×3×2×1)－7×6×5＝210－210＝0。（2)证明因为右边＝eq\f（m＋1，n＋1）Ceq\o\al(m＋1，n＋1)＝eq\f(m＋1，n＋1）·eq\f（n＋1！,m＋1！n－m！）＝eq\f（n！，m！n－m！）＝Ceq\o\al(m,n),左边＝Ceq\o\al(m，n)，所以左边＝右边，所以原式成立．跟踪训练2（1)5150(2）C例3解(1)∵eq\f（1,C\o\al(m,5)）－eq\f(1，C\o\al（m，6))＝eq\f（7,10C\o\al（m，7）），∴eq\f(m!5－m！，5！)－eq\f(m！6－m!，6！)＝eq\f（7×7－m！m！,10×7!)，即eq\f(m！5－m！，5！)－eq\f(m！6－m5－m！,6×5!)＝eq\f（7×m！7－m6－m5－m！，10×7×6×5！)。∴1－eq\f（6－m，6)＝eq\f（7－m6－m,60)，即m2－23m＋42＝0，解得m＝2或21.∵0≤m≤5，∴m＝2，∴Ceq\o\al(m,8)＋Ceq\o\al(5－m,8)＝Ceq\o\al(2,8）＋Ceq\o\al（3,8)＝Ceq\o\al（3，9)＝84.(2)由Ceq\o\al（4，n）〉Ceq\o\al（6，n）,得eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(\f(n！，4！n－4!)>\f(n！，6!n－6!)，，n≥6））⇒eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(n2－9n－10<0,,n≥6))⇒eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（－1〈n〈10，，n≥6，））又n∈N＋，∴该不等式的解集为｛6，7,8,9}．跟踪训练3解原式可变形为3Ceq\o\al(4，x－3)＝5Aeq\o\al(2，x－4）,即eq\f（3x－3x－4x－5x－6，4×3×2×1）＝5(x－4）(x－5),所以(x－3）(x－6）＝5×4×2＝8×5.所以x＝11或x＝－2(舍去负根）．经检验符合题意，所以方程的解为x＝11.例4解(1）从口袋内的8个球中取出3个球，取法种数是Ceq\o\al(3,8）＝eq\f（8×7×6，3×2×1）＝56。（2)从口袋内取出3个球有1个是黑球，于是还要从7个白球中再取出2个，取法种数是Ceq\o\al(1,1)Ceq\o\al（2,7）＝eq\f(7×6，2×1）＝21.(3）由于所取出的3个球中不含黑球，也就是要从7个白球中取出3个球，取法种数是Ceq\o\al（3,7）＝eq\f（7×6×5，3×2×1）＝35.跟踪训练4解(1)从10名教师中选2