2017-2018版高中数学第一章导数及其应用1.2.1常数函数与幂函数的导数1.2.2导数公式表及数学软件的应用学案2-2

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精PAGE13学必求其心得，业必贵于专精PAGE1．2.1常数函数与幂函数的导数1．2.2导数公式表及数学软件的应用明目标、知重点1。能根据定义求函数y＝c，y＝x，y＝x2,y＝eq\f(1，x)，y＝eq\r(x）的导数.2.能利用给出的基本初等函数的导数公式求简单函数的导数．1．几个常用函数的导数原函数导函数f（x)＝cf′（x）＝0f(x)＝xf′（x）＝1f（x)＝x2f′（x）＝2xf（x)＝eq\f（1,x)f′(x）＝－eq\f（1，x2）f（x)＝eq\r(x）f′(x)＝eq\f(1，2\r（x)）2。基本初等函数的导数公式原函数导函数y＝cy′＝0y＝xn（n∈N＋）y′＝nxn－1y＝xμ(x>0,μ≠0且μ∈Q）y′＝μxμ－1y＝sinxy′＝cos_xy＝cosxy′＝－sin_xy＝ax（a〉0，a≠1)y′＝axln_ay＝exy′＝exy＝logax(a〉0,a≠1,x〉0）y′＝eq\f（1，xlna)y＝lnxy′＝eq\f（1，x)[情境导学］在前面，我们利用导数的定义能求出函数在某一点处的导数，那么能不能利用导数的定义求出比较简单的函数及基本函数的导数呢？这就是本节要研究的问题．探究点一几个常用函数的导数思考1类比用导数定义求函数在某点处导数的方法,如何用定义法求函数y＝f（x）的导函数？利用定义求下列常用函数的导数：①y＝c，②y＝x,③y＝x2，④y＝eq\f(1,x），⑤y＝eq\r（x)。答（1)计算eq\f（Δy，Δx），并化简;（2)观察当Δx趋近于0时，eq\f（Δy,Δx)趋近于哪个定值；（3)eq\f（Δy，Δx)趋近于的定值就是函数y＝f（x)的导函数．①y′＝0,②y′＝1，③y′＝2x，④y′＝eq\o（lim，\s\do4（Δx→0））eq\f（Δy,Δx)＝eq\o（lim,\s\do4（Δx→0））eq\f（\f(1，x＋Δx)－\f（1，x）,Δx)＝eq\o（lim，\s\do4(Δx→0))eq\f（－1,xx＋Δx）＝－eq\f(1,x2）（其它类同），⑤y′＝eq\f(1，2\r(x））。思考2在同一平面直角坐标系中，画出函数y＝2x，y＝3x，y＝4x的图象，并根据导数定义，求它们的导数．（1）从图象上看,它们的导数分别表示什么？（2）这三个函数中，哪一个增加得最快?哪一个增加得最慢？(3)函数y＝kx(k≠0）增（减）的快慢与什么有关?答函数y＝2x，y＝3x，y＝4x的图象如图所示，导数分别为y′＝2，y′＝3，y′＝4。(1）从图象上看，函数y＝2x，y＝3x，y＝4x的导数分别表示这三条直线的斜率．（2）在这三个函数中，y＝4x增加得最快，y＝2x增加得最慢．(3）函数y＝kx（k〉0)增加的快慢与k有关系，即与函数的导数有关系，k越大，函数增加得越快，k越小，函数增加得越慢．函数y＝kx(k<0）减少的快慢与|k|有关系，即与函数导数的绝对值有关系，｜k｜越大，函数减少得越快，|k｜越小，函数减少得越慢．思考3画出函数y＝eq\f（1,x)的图象．根据图象，描述它的变化情况,并求出曲线在点（1，1）处的切线方程．答函数y＝eq\f(1，x)的图象如图所示，结合函数图象及其导数y′＝－eq\f(1，x2)发现，当x<0时，随着x的增加，函数y＝eq\f（1，x)减少得越来越快；当x〉0时，随着x的增加，函数减少得越来越慢．点(1,1)处切线的斜率为－1，过点(1,1）的切线方程为y＝－x＋2。探究点二基本初等函数的导数公式思考利用导数的定义可以求函数的导函数,但运算比较繁杂，有些函数式子在中学阶段无法变形，怎样解决这个问题？答可以使用给出的导数公式进行求导，简化运算过程，降低运算难度．例1求下列函数的导数:(1)y＝sineq\f（π,3);（2)y＝5x；（3)y＝eq\f(1,x3)；（4）y＝eq\r(4，x3）;（5）y＝log3x。解(1)y′＝0;(2)y′＝（5x）′＝5xln5；(3)y′＝eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f(1,x3））)′＝（x－3)′＝－3x－4;（4)y′＝（eq\r(4,x3))′＝（)′＝＝eq\f(3,4\r（4,x));（5)y′＝（log3x)′＝eq\f（1，xln3）。反思与感悟对于教材中出现的基本初等函数的导数公式，要想在解题过程中应用自如,必须做到以下两点：一是正确理解,如sineq\f(π，3）＝eq\f(\r(3),2)是常数，而常数的导数一定为零,就不会出现eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（sin\f(π，3)））′＝coseq\f（π,3）这样的错误结果．二是准确记忆,灵活变形．如根式、分式可转化为指数式，然后利用公式求导．跟踪训练1求下列函数的导数：(1)y＝x8；(2)y＝(eq\f(1,2)）x；(3）y＝xeq\r(x）；(4)y＝logeq\f（1,3)x.解（1)y′＝8x7;（2）y′＝（eq\f(1,2）)xlneq\f（1,2)＝－(eq\f（1,2)）xln2；(3）∵y＝xeq\r（x)＝xeq\f（3，2)，∴y′＝；(4）y′＝eq\f(1,xln\f（1,3）)＝－eq\f(1,xln3)。例2判断下列计算是否正确．求y＝cosx在x＝eq\f（π,3)处的导数，过程如下：y′|x＝eq\f(π，3）＝eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（cos\f(π,3)）)′＝－sineq\f（π，3)＝－eq\f(\r(3),2）。解错误．应为y′＝－sinx，∴y′|x＝eq\f（π，3)＝－sineq\f(π，3)＝－eq\f（\r（3）,2）.反思与感悟函数f(x)在点x0处的导数等于f′(x)在点x＝x0处的函数值．在求函数在某点处的导数时可以先利用导数公式求出导函数，再将x0代入导函数求解，不能先代入后求导．跟踪训练2求函数f(x）＝lnx在x＝1处的导数．解f′(x）＝(lnx)′＝eq\f（1,x)，∴f′(1)＝1，∴函数f(x)在x＝1处的导数为1。探究点三导数公式的综合应用例3已知直线l：2x－y＋4＝0与抛物线y＝x2相交于A、B两点，O是坐标原点,试求与直线l平行的抛物线的切线方程,并在弧上求一点P,使△ABP的面积最大．解设P（x0,y0）为切点，过点P与AB平行的直线斜率k＝y′＝2x0，∴k＝2x0＝2，∴x0＝1,y0＝1.故可得P（1,1)，∴切线方程为2x－y－1＝0.由于直线l:2x－y＋4＝0与抛物线y＝x2相交于A、B两点，所以｜AB|为定值，要使△ABP的面积最大,只要P到AB的距离最大,故P(1，1）点即为所求弧上的点,使△ABP的面积最大．反思与感悟利用基本初等函数的求导公式，可求其图象在某一点P(x0，y0）处的切线方程，可以解决一些与距离、面积相关的几何的最值问题，一般都与函数图象的切线有关．解题时可先利用图象分析取最值时的位置情况,再利用导数的几何意义准确计算．跟踪训练3曲线y＝x3＋3x2＋6x－10的切线中，求斜率最小的切线方程．解由题意知：y′＝3x2＋6x＋6＝3(x＋1)2＋3，∴当x＝－1时，y′取最小值为3，即最小的斜率为3。此时切点坐标为（－1，－14)．∴斜率最小的切线方程为y＋14＝3(x＋1），即3x－y－11＝0。1．给出下列结论：①若y＝eq\f（1，x3），则y′＝－eq\f（3，x4）；②若y＝eq\r(3，x)，则y′＝eq\f（1，3)eq\r(3，x)；③若y＝eq\f(1,x2）,则y′＝－2x－3；④若f（x)＝3x,则f′（1)＝3.其中正确的个数是（)A．1B．2C．3D．4答案C解析①y＝eq\f（1,x3)＝x－3,则y′＝－3x－4＝－eq\f(3，x4）;②y＝eq\r（3,x)＝，则y′＝eq\f(1,3)·≠eq\f(1，3)eq\r（3,x)；③y＝eq\f(1,x2)＝x－2，则y′＝－2x－3；④由f（x）＝3x,知f′（x)＝3,∴f′（1)＝3。∴①③④正确．2．函数f(x）＝eq\r(x）,则f′（3）等于(）A.eq\f(\r(3),6） B．0C.eq\f（1,2\r（x)） D。eq\f(\r(3)，2)答案A解析∵f′（x）＝（eq\r（x））′＝eq\f(1,2\r（x）)，∴f′（3)＝eq\f（1，2\r（3))＝eq\f（\r（3），6)。3．设正弦曲线y＝sinx上一点P,以点P为切点的切线为直线l，则直线l的倾斜角的范围是(）A．[0，eq\f(π，4)］∪［eq\f（3π,4），π) B．［0，π)C．［eq\f（π,4)，eq\f(3π,4）］ D．［0，eq\f(π,4）］∪［eq\f（π,2),eq\f（3π，4）］答案A解析∵（sinx）′＝cosx,∵kl＝cosx，∴－1≤kl≤1，∴αl∈[0，eq\f(π,4)］∪[eq\f(3π,4），π)．4．曲线y＝ex在点（2,e2）处的切线与坐标轴所围三角形的面积为________．答案eq\f(1,2)e2解析∵y′＝（ex)′＝ex,∴k＝e2,∴曲线在点(2，e2）处的切线方程为y－e2＝e2(x－2)，即y＝e2x－e2.当x＝0时，y＝－e2,当y＝0时，x＝1。∴S△＝eq\f(1,2)×1×｜－e2｜＝eq\f(1,2）e2.［呈重点、现规律]1．利用常见函数的导数公式可以比较简捷地求出函数的导数，其关键是牢记和运用好导数公式．解题时，能认真观察函数的结构特征，积极地进行联想