高中数学人教A版第二章数列等比数列的前n项和 课时提升作业(十五)

温馨提示：此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。课时提升作业(十五)等比数列习题课(25分钟60分)一、选择题(每小题5分，共25分)1.数列214，418，6116，…的前n项和S+1+12n+1 (n+1)+12-12n+1 【解析】选=214+418+61=(2+4+6+…+2n)+1=n(2n+2)2=n(n+1)+12-1【延伸探究】本题数列改为“112，314，518，71【解析】Sn=1+3+5+…+1=n1+2n-12=n2+1-122.(2023·宁波高一检测)在正项数列an中，a1=2，点an,an-1n≥2在直线x-2y=0上，+1-2 +12n22 【解析】选A.因为点an,an-1n≥2在直线x-2又因为an>0，所以anan-1=2n所以数列an所以数列an的前n项和Sn=21-23.(2023·商丘高二检测)数列an的首项为1，bn是以2为首项，以2为公比的等比数列，且bn=an+1-ann∈N*，则 【解析】选A.因为bn所以bn=2×2n-1=2n，因为bn=an+1-ann∈N所以a2-a1=2，a3-a2=22，…，an-an-1=2n-1(n≥2)，以上各式相加得an-a1=2+22+…+2n-1=21-2n-11-2=2n-2，所以an=2n-1，a1=1也适合此式，所以an=2n-1.4.“十一”期间，北京十家重点公司将举行免费游园活动，北海公园免费开放一天，早晨6时30分有2人进入公园，接下来的第一个30分钟内有4人进去1人出来，第二个30分钟内有8人进去2人出来，第三个30分钟内有16人进去3人出来，第四个30分钟内有32人进去4人出来…按照这种规律进行下去，到上午11时30分公园内的人数是() 【解析】选B.由题意，可知从早晨6时30分开始，接下来的每个30分钟内进入的人数构成以4为首项，2为公比的等比数列，出来的人数构成以1为首项，1为公差的等差数列，记第n个30分钟内进入公园的人数为an，第n个30分钟内出来的人数为bn，则an=4×2n-1，bn=n，则上午11时30分公园内的人数为S=2+4(1-210)1-2-5.(2023·桂林高二检测)数列1，(1+2)，(1+2+22)，…，(1+2+22+…+2n-1)…的前n项和为() ·2n-n+1-n +1-2-n【解析】选D.方法一：特殊值法，易知S1=1，S2=4，只有选项D适合.方法二：研究通项an=1+2+22+…+2n-1=2n-1，所以Sn=(21-1)+(22-1)+…+(2n-1)=(21+22+…+2n)-n=2n+1-n-2.【补偿训练】已知数列{an}的通项公式是an=2n-12n，其前n项和Sn= B.10 【解析】选D.因为an=2n-12所以Sn=n-121-12n所以n=6.二、填空题(每小题5分，共15分)6.已知{an}为等比数列，Sn是它的前n项和.若a2·a3=2a1，且a4与2a7的等差中项为54，则S5=__________【解析】设数列{an}的公比为q，则由等比数列的性质知，a2·a3=a1·a4=2a1，即a4=2.由a4与2a7的等差中项为54知，a4+2a7=2×5所以a7=122×5所以q3=a7a4=18，即q=12，a1所以S5=161-答案：317.某住宅小区计划植树不少于100棵，若第一天植2棵，以后每天植树的棵数是前一天的2倍，则需要的最少天数n(n∈N*)等于__________.【解析】每天植树的棵数构成以2为首项，2为公比的等比数列，其前n项和Sn=2(1-2n由2n+1-2≥100，得2n+1≥102.由于26=64，27=128.则n+1≥7，即n≥6.答案：68.等比数列{an}中，a1+a2+a3+a4+a5=3116，1a1+1a2+1a3+1a4+1【解题指南】若数列an是公比为q的等比数列，则数列1an【解析】设等比数列{an}的公比为q，则a解得q=2，a1=116所以Sn=1161-2答案：1三、解答题(每小题10分，共20分)9.(2023·长春高一检测)已知等差数列{an}的前四项和为10，且a2，a3，a7成等比数列.(1)求通项公式an.(2)设bn=2an，求数列{bn}的前n项和S【解析】(1)设{an}的公差为d，由题意知4所以a1=-2,所以an=3n-5或an=52(2)当an=3n-5时，数列{bn}是首项为14所以Sn=14(1-8当an=52时，bn=42，所以Sn=42综上，所以Sn=8n-128或Sn【拓展延伸】等差(比)数列的基本运算的两类误区(1)忽视题中的条件限制，如公差与公比的符号、大小等，导致增解.(2)不能灵活利用等差(比)数列的基本性质转化已知条件，导致列出的方程或方程组较为复杂，增大运算量.10.(2023·徐州高二检测)已知数列{an}的首项a1=23，an+1=2anan+1，n=1(1)证明：数列1a(2)求数列nan的前n项和S【解析】(1)因为an+1=2a所以1an+1=an+12an所以1an+1-1=又a1=23，所以1a1所以数列1an-1是以1(2)由(1)知1an-1=12·1即1an=12n+1，所以设Tn=12+222+3则12Tn=122+223由①-②得12Tn=12+122=121-12n1-1所以Tn=2-12n-1-又1+2+3+…+n=n(n+1)所以数列nan的前n项和Sn=2-2+n2n+n【补偿训练】已知数列{an}的前n项和Sn与an满足Sn=1-an(n∈N*).(1)求数列{an}的通项公式.(2)求数列{n·an}的前n项和Tn.【解析】(1)由S1=1-a1得a1=1-a1，解得a1=12当n≥2时，an=Sn-Sn-1=1-an-(1-an-1)，化简得：2an=an-1，故anan-1所以，an=12×12n-1(2)由题意得：Tn=1×12+2×122+…+n×1所以12Tn=1×122+2×123+…+(n-1)×①-②得：12Tn=12+122=12×1-12n1-所以Tn=2-2+n2n(20分钟40分)一、选择题(每小题5分，共10分)1.(2023·临沂高二检测)已知数列{an}，a1=1，且a1+a2+…+an-1=an-1(n≥2，n∈N*)，则1an14n C.231-14【解析】选C.令Sn=a1+a2+…+an，n≥2时，依题意有Sn-1=an-1，①所以Sn=an+1-1，②②-①得an=an+1-an，即an+1又a1=a2-1，得a2=2，所以a2a1=2，所以an所以1an·an+1设数列1an·则Tn=21=2·141-12.如图所示，作边长为a的正三角形的内切圆，在这个圆内作内接正三角形，然后再作新三角形的内切圆.如此下去，前n个内切圆的面积和为()A.a291-12C.a291-12【解析】选D.设第n个三角形的内切圆半径为an，则易知a1=12atan30°=36a，a2=12an=12an-1，故数列{an}是首项为36a，公比为12的等比数列.所以an=36×Sn=π(a12+a2=πa=πa=43×a=a2二、填空题(每小题5分，共10分)3.(2023·宁波高一检测)设数列an是以1为首项，2为公差的等差数列，数列bn是以1为首项，2为公比的等比数列，则ab1+ab【解析】由题意得，an=1+2n-1bn=1×2n-1=2n-1，所以abn=2×2n-1-1=2n所以ab1+a=2-1+22-1+…+2n-1=2+22+…+2n-1=21-2n答案：2n+1-n-2【延伸探究】本题条件下计算数列{ban}的前n项和S【解析】由题意得ban=2a所以数列{ba其前n项和为Sn=1×1-44.设f(x)是定义在R上恒不为零的函数，且对任意的实数x，y∈R，都有f(x)·f(y)=f(x+y)，若a1=12，an=f(n)(n∈N*)，则数列{an}的前n项和Sn的取值范围是__________【解析】由已知可得a1=f(1)=12a2=f(2)=[f(1)]2=12a3=f(3)=f(2)·f(1)=[f(1)]3=123，…，an=f(n)=[f(1)]n=所以Sn=12+122+=121-1因为n∈N*，所以12≤Sn答案：1三、解答题(每小题10分，共20分)5.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，数列{bn}是等比数列，满足a1=3，b1=1，b2+S2=10，a5-2b2=a3.(1)求数列{an}和{bn}的通项公式.(2)令cn=2设数列{cn}的前n项和为Tn，求T2n.【解析】(1)设数列{an}的公差为d，数列{bn}的公比为q，由b2+S2=10，a5-2b2=a3，得q解得d所以an=3+2(n-1)=2n+1，bn=2n-1.(2)由a1=3，an=2n+1得Sn=n(n+2)，则n为奇数时，cn=2Sn=1nn为偶数时，cn=2n-1，所以T2n=(c1+c3+…+c2n-1)+(c2+c4+…+c2n)=1-13+1=1-12n+1+2(1-4n)1-4=【补偿训练】(2023·南昌高二检测)已知公比q不为1的等比数列{an}的首项a1=12，前n项和为Sn，且a4+S4，a5+S5，a6+S6成等差数列(1)求等比数列{an}的通项公式.(2)对n∈N*，在an与an+1之间插入3n个数，使这3n+2个数成等差数列，记插入的这3n个数的和为bn，求数列{bn}的前n项和Tn.【解析】(1)因为a4+S4，a5+S5，a6+S6成等差数列，所以a5+S5-a4-S4=a6+S6-a5-S5，即2a6-3a5+a4=0，所以2q2-3q+1=0，因为q≠1，所以q=12所以等比数列{an}的通项公式为an=12(2)bn=an+an+12Tn=34×32-6.(2023·浙江高考)已知数列{an}和{bn}满足a1=2，b1=1，an+1=2an(n∈N*)，b1+12b2+13b3+…+1nbn=bn+1(1)求an与bn.(2)记数列{anbn}的前n项和为Tn，求Tn.【解题指南】(1)根据数列递推关系式，确定数列的特点，得到数列的通项公式.(2)根据(1)问得到新的数列的通项公式，利用错位相减法进行数列求和.【解析】(1)由