高中数学人教A版第二章平面向量 学案4

2023学年高一年级数学导学案（42023学年高一年级数学导学案（49）班级姓名学号编写：侯国会审阅：平面向量基本定理2．在平面内，当一组基底选定后，会用这组基底来表示其他向量．3．会应用平面向量基本定理解决有关平面向量的综合问题．学习重点：会应用平面向量基本定理解决有关平面向量的综合问题学习难点：会应用平面向量基本定理解决有关平面向量的综合问题一．知识导学1.平面向量基本定理(1)定理：如果e1，e2是同一平面内的两个向量，那么对于这一平面内的向量a，实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.(2)基底：把的向量e1，e2叫做表示这一平面内向量的一组基底．2．两向量的夹角与垂直(1)夹角：已知两个向量a和b，作eq\o(OA,\s\up16(→))＝a，eq\o(OB,\s\up16(→))＝b，则＝θ(0°≤θ≤180°)叫做向量a与b的夹角．①范围：向量a与b的夹角的范围是．②当θ＝0°时，a与b．③当θ＝180°时，a与b．(2)垂直：如果a与b的夹角是90°，则称a与b垂直，记作______.二．探究与发现【探究点一】平面向量基本定理的提出(1)平面内的任何向量都能用这个平面内两个不共线的向量来表示．如图所示，e1，e2是两个不共线的向量，试用e1，e2表示向量eq\o(AB,\s\up16(→))，eq\o(CD,\s\up16(→))，eq\o(EF,\s\up16(→))，eq\o(GH,\s\up16(→))，eq\o(HG,\s\up16(→))，a.通过观察，可得：eq\o(AB,\s\up16(→))＝_________，eq\o(CD,\s\up16(→))＝_________，eq\o(EF,\s\up16(→))＝_________，eq\o(GH,\s\up16(→))＝_____________，eq\o(HG,\s\up16(→))＝___________，a＝______.(2)平面向量基本定理的内容是什么？什么叫基底？【探究点二】平面向量基本定理的证明(1)证明定理中λ1，λ2的存在性．如图，e1，e2是平面内两个不共线的向量，a是这一平面内任一向量，a能否表示成λ1e1＋λ2e2的形式，请通过作图探究a与e1、e2之间的关系(2)证明定理中λ1，λ2的唯一性．如果e1、e2是同一平面内的两个不共线的向量，a是和e1、e2共面的任一向量，且存在实数λ1、λ2使a＝λ1e1＋λ2e2，证明λ1，λ2是唯一确定的．(提示：利用反证法)【探究点三】向量的夹角(1)已知a、b是两个非零向量，过点O作出它们的夹角θ.(2)两个非零向量夹角的范围是怎样规定的？确定两个向量夹角时，要注意什么事项？(3)在等边三角形ABC中，试写出下面向量的夹角：a．〈eq\o(AB,\s\up16(→))，eq\o(AC,\s\up16(→))〉＝；b．〈eq\o(AB,\s\up16(→))，eq\o(CA,\s\up16(→))〉＝；c．〈eq\o(BA,\s\up16(→))，eq\o(CA,\s\up16(→))〉＝；d．〈eq\o(AB,\s\up16(→))，eq\o(BA,\s\up16(→))〉＝.【典型例题】例1已知e1，e2是平面内两个不共线的向量，a＝3e1－2e2，b＝－2e1＋e2，c＝7e1－4e2，试用向量a和b表示c.跟踪训练1如图所示，在平行四边形ABCD中，M，N分别为DC，BC的中点，已知eq\o(AM,\s\up16(→))＝c，eq\o(AN,\s\up16(→))＝d，试用c，d表示eq\o(AB,\s\up16(→))，eq\o(AD,\s\up16(→)).例2如图，梯形ABCD中，AB∥CD，且AB＝2CD，M、N分别是DC和AB的中点，若eq\o(AB,\s\up16(→))＝a，eq\o(AD,\s\up16(→))＝b，试用a、b表示eq\o(DC,\s\up16(→))、eq\o(BC,\s\up16(→))、eq\o(MN,\s\up16(→)).跟踪训练2如图，已知△ABC中，D为BC的中点，E，F为BC的三等分点，若eq\o(AB,\s\up16(→))＝a，eq\o(AC,\s\up16(→))＝b，用a、b表示eq\o(AD,\s\up16(→))、eq\o(AE,\s\up16(→))、eq\o(AF,\s\up16(→)).例3在△OAB中，eq\o(OC,\s\up16(→))＝eq\f(1,4)eq\o(OA,\s\up16(→))，eq\o(OD,\s\up16(→))＝eq\f(1,2)eq\o(OB,\s\up16(→))，AD与BC交于点M，设eq\o(OA,\s\up16(→))＝a，eq\o(OB,\s\up16(→))＝b，以a，b为基底表示eq\o(OM,\s\up16(→)).跟踪训练3如图所示，已知△AOB中，点C是以A为中心的点B的对称点，eq\o(OD,\s\up16(→))＝2eq\o(DB,\s\up16(→))，DC和OA交于点E，设eq\o(OA,\s\up16(→))＝a，eq\o(OB,\s\up16(→))＝b.(1)用a和b表示向量eq\o(OC,\s\up16(→))、eq\o(DC,\s\up16(→))；(2)若eq\o(OE,\s\up16(→))＝λeq\o(OA,\s\up16(→))，求实数λ的值．三、巩固训练1．等边△ABC中，eq\o(AB,\s\up16(→))与eq\o(BC,\s\up16(→))的夹角是 ()A．30° B．45°C．60° D．120°2．设e1、e2是不共线的两个向量，给出下列四组向量：①e1与e1＋e2；②e1－2e2与e2－2e1；③e1－2e2与4e2－2e1；④e1＋e2与e1－e2.其中能作为平面内所有向量的一组基底的序号是________．(写出所有满足条件的序号)3．如图，已知eq\o(AB,\s\up16(→))＝a，eq\o(AC,\s\up16(→))＝b，eq\o(BD,\s\up16(→))＝3eq\o(DC,\s\up16(→))，用a，b表示eq\o(AD,\s\up16(→))，则eq\o(AD,\s\up16(→))＝________.4．已知G为△ABC的重心，设eq\o(AB,\s\up16(→))＝a，eq\o(AC,\s\up16(→))＝b.试用a、b表示向量eq\o(AG,\s\up16(→)).四．课堂小结1．对基底的理解(1)基底的特征基底具备两个主要特征：①基底是两个不共线向量；②基底的选择是不唯一的．平面内两向量不共线是这两个向量可以作为这个平面内所有向量的一组基底的条件．(2)零向量与