第14章超静定结构

第14章

超静定结构概述用变形比较法解静不定结构用力法解静不定结构

对称及反对称性质的利用本章应用能量法求解超静定系统。应用能量法求解超静定系统，特别是对桁架、刚架等构成的超静定系统，将更加有效。求解超静定问题的关键是建立补充方程。超静定系统，按其多余约束的情况，可以分为外力超静定系统和内力超静定系统。§14-1超静定结构概述1静不定结构

外力静不定由于外部的多余约束而构成的超静定系统，一般称为外力超静定系统。求解外力超静定系统的基本方法，是解除多余约束，代之以多余约束反力，根据多余约束处的变形协调条件建立补充方程进行求解。

内力静不定有些结构，支座反力可以由静力平衡条件全部求出，但无法应用截面法求出所有内力，这类结构称为内力超静定系统。求解内力超静定系统，需要解除杆件或杆系的内部约束。2静不定次数的确定静不定次数=未知力个数-独立平衡方程数外力静不定次数的确定根据约束的性质及力系的类型来确定。内力静不定次数的确定

平面桁架未知力个数=约束反力数+杆件数独立方程数=节点数×2

刚架对于闭口的平面刚架，为三次内力静不定；每增加一个闭合框架，就增加三次静不定。3静定基和相当系统静定基(基本静定系)静不定系统在解除某些约束后得到的静定系统.静定基不唯一。相当系统在静定基上作用外载荷和被解除约束的约束反力的系统。与静不定系统静力等效。例：作图示梁的弯矩图。解：即解得变形协调条件为另解：即解得变形协调条件为例：作图示等刚度刚架的弯矩图。解：变形协调条件为即解得§14-2用力法解静不定结构1力法与位移法

力法

位移法2力法解静不定

例子

静不定次数1次

静定基

相当系统

变形协调条件

位移的表示

△1X1的表示在B点沿X1的方向加单位力对线弹性结构，有:

代入变形协调条件，得到:这就是求解一次静不定问题的力法正则方程。其中每一项的物理意义是位移。△1F表示:在X1作用点沿X1方向由于外载荷作用而引起的位移。11表示:在X1作用点沿X1方向由于X1处的单位载荷引起的位移。可用莫尔积分表示为:注意：外载荷中不包括X1。对本例用莫尔积分法，或图乘法可求出由正则方程解出：3N次力法正则方程先以三次静不定问题为例相当系统变形协调条件:变形协调条件:同理，对N次静不定问题，有其中的常数项△iF

表示：在Xi作用点沿Xi方向由于外载荷而引起的位移。可用莫尔积分表示为:同理，对N次静不定问题，有其中的系数ij

表示：在Xi作用点沿Xi方向由于Xj处的单位载荷引起的位移。根据位移互等定理，有：ij可用莫尔积分表示为：解静不定问题的一般步骤1) 判定静不定次数；2) 选择静定基，得到相当系统；3) 分解载荷：分别将外载荷、各单位载荷作 用在静定基上；4) 画出各载荷下的内力(弯矩)图或写出内力

(弯矩)方程；5) 用图乘法或莫尔积分等求出△iF和ij；6) 求解正则方程，解出未知力。例14.4已知:q,a,

EI为常数。求：静不定问题。解：

静不定次数3次

静定基

相当系统分解载荷

外载荷

单位载荷分解载荷

外载荷

单位载荷用图乘法求系数

外载荷的弯矩图用图乘法求系数

外载荷的弯矩图

单位载荷的弯矩图

单位载荷的弯矩图

计算常数项△iF

△1F为MF图与M1图互乘△2F为MF图与M2图互乘

计算常数项△iF

△1F为MF图与M1图互乘△2F为MF图与M2图互乘△3F为MF图与M3图互乘

计算系数ij

11为M1图与M1图自乘22为M2图与M2图自乘33为M3图与M3图自乘12为M1图与M2图自乘13为M1图与M3图自乘23为M2图与M3图自乘

将求出的系数和常数代入正则方程，有:例：平面刚架受力如图，各杆EI=常数。试求C处的约束力及支座A、B的约束反力。解：由力法正则方程得例：解：例：图示刚架EI为常量，画出刚架的弯矩图。解：M

图由力法正则方程得例：试求图示平面刚架的支座反力。已知各杆EI=常数。解：由力法正则方程得例：两端固定的梁，跨中受集中力F作用，设梁的抗弯刚度为EI，不计轴力影响。求梁中点的挠度。解：由力法正则方程得例：已知梁的抗弯刚度为EI，不计轴力影响。求梁的支反力。解：由得例：刚架的抗弯刚度为

E

I，承受力

F

后，支座

C

有一下陷量，试求刚架

C

处的反力。解：由得例：已知刚架的抗弯刚度为E

I。试求支座

B

处的反力。解：由得二次抛物线n次抛物线另解：（略）例：已知刚架的抗弯刚度为

E

I,试求刚架内最大弯矩及其作用位置。解：作用于固定端

A由得例：已知桁架各杆的拉压刚度为

EA，求各杆的轴力。解：由得例2已知:F,a,

各杆EA相同。求：各杆内力。解：

静不定次数

1次

静定基

相当系统这里，1的物理意义是4号杆切口处的相对位移。

正则方程所以：F15432aa6F154326X1

分解载荷

外载荷作用时的内力F154326X1

单位载荷作用时的内力1543261

计算△1F

计算△1F

计算11

代入正则方程，解得:

由叠加原理，各杆的内力:例3:已知四分之一圆曲杆，F,a,EI为常数。求：弯矩图。解：

静不定次数1次

静定基

相当系统

对曲杆，不能用图乘法，用莫尔积分求。

正则方程

分解载荷FABa45°45°X1FAB45°45°

分解载荷

外载荷BC段CA段

单位载荷的弯矩方程

单位载荷

外载荷的弯矩方程FABC1ABC

用莫尔积分求△1F

用莫尔积分求11

1ABC

代入正则方程，得:

由叠加原理，可得到弯矩方程BC段CA段§14-3对称及反对称性质的利用1对称结构的对称变形和反对称变形

对称结构若结构的几何尺寸、形状，构件材料及约束条件均对称于某一轴，则称此结构为对称结构。

对称载荷若载荷的作用位置，大小和方向也对称于结构的对称轴，则称为对称载荷。

反对称载荷若载荷的作用位置，大小对称于结构的对称轴，但方向反对称，则称为反对称载荷。对称结构在对称载荷作用下对称变形对称结构在反对称载荷作用下反对称变形其中的常数项△iF

表示：在Xi作用点沿Xi方向由于外载荷而引起的位移。可用莫尔积分表示为:N次超静定力法的正则方程其中的系数ij

表示：在Xi作用点沿Xi方向由于Xj处的单位载荷引起的位移。

根据位移互等定理，有：ij可用莫尔积分表示为：内容回顾解静不定问题的一般步骤1) 判定静不定次数；2) 选择静定基，得到相当系统；3) 分解载荷：分别将外载荷、各单位载荷作 用在静定基上；4) 画出各载荷下的内力(弯矩)图或写出内力

(弯矩)方程；5) 用图乘法或莫尔积分等求出△iF和ij；6) 求解正则方程，解出未知力。对称及反对称性质的利用（以3次超静定为例）对称结构与对称载荷对称结构：若结构的几何尺寸、形状，构件材料及约束条件均对称于某一轴，则称此结构为对称结构。对称载荷：若载荷的作用位置，大小和方向也对称于结构的对称轴，则称为对称载荷。2对称结构受对称载荷时的特点对称结构受对称载荷作用时，在对称截面上，反对称内力（剪力）为零。证明：从对称截面截开。即要证明，X2=0证明：从对称截面截开。即要证明，X2=0用图乘法可证明△2F，

21和23

均为零。由正则方程由MF和M2图由M1和M2图由M2和M3图又所以用图乘法可证明△2F，

21和23

均为零。用图乘法可证明△2F，

21和23

均为零。由正则方程对称结构受对称载荷作用时，在对称截面上，反对称内力（剪力）为零。3对称结构受反对称载荷时的特点对称结构受反对称载荷作用时，在对称截面上，对称内力（弯矩和轴力）为零。证明：从对称截面截开。即要证明：

X1=0，

X3=0证明：从对称截面截开。即要证明：

X1=0，

X3=0由正则方程用图乘法可证明△1F，△3F，

12和23

均为零。由MF和M2图由M1和M2图由M2和M3图又所以用图乘法可证明△1F，△3F，

21和23

均为零。由MF和M3图用图乘法可证明△1F

，

△3F，

21和23

均为零。由正则方程对称结构受反对称载荷作用时，在对称截面上，对称内力（轴力和弯矩）为零。++4可转化为对称载荷或反对称载荷的情况例：平面框架受切向分布载荷q作用，求截面A的剪力、弯矩和轴力。解：注：对称结构受反对称载荷作用时，在对称截面上，对称内力（弯矩和轴力）为零。例：图示小曲率杆在力偶与均匀分布剪流作用下处于平衡状态,已知、与常数,试求截面A的剪力、弯矩和轴力。解：例：等截面平面框架的受力情况如图所示。试求最大弯矩及其作用位置。解：作用于框架四条边的正中间例：已知结构的抗弯刚度为EI，求对称轴上

A

截面的内力。解：由得所以例：已知刚架的抗弯刚度为EI。试求截面

A

处弯矩。解：由得另解：例：图示平面桁架，各杆的弹性模量

E

皆相同，CA、AB、BF

三杆的横截面面积均为，其余各杆面积均为。试求杆

AB

的轴力。解：将载荷分解为正对称与反对称，在反对称情况下杆AB的轴力为零。=+由得例：图示桁架各杆的拉压刚度为

EA，试求各杆轴力。解：

由得

解：例：图示桁架各杆的拉压刚度为

EA，试求各杆轴力。(a

为1、2、3杆的长度)由得另解：(a

为1、2、3杆的长度)由得例：图示桁架，各杆的拉压刚度均为EA，试求支反力。解：由得再由静力平衡方程可求得其它支反力，略。例：图示桁架，各杆长度均为a，拉压刚度均为EA，试求各杆轴力。解：由得各杆轴力均为例：已知图示半圆曲杆的抗弯刚度为EI，试求支反力。解：由得1静不定结构

外力静不定由于外部的多余约束而构成的超静定系统，一般称为外力超静定系统。求解外力超静定系统的基本方法，是解除多余约束，代之以多余约束反力，根据多余约束处的变形协调条件建立补充方程进行求解。本章小结

内力静不定有些结构，支座反力可以由静力平衡条件全部求出，但无法应用截面法求出所有内力，这类结构称为内力超静定系统。求解内力超静定系统，需要解除杆件或杆系的内部约束。2静不定次数的确定静不定次数=未知力个数-独立平衡方程数外力静不定次数的确定根据约束的性质及力系的类型来确定。内力静不定次数的确定

平面桁架未知力个数=约束反力数+杆件数独立方程数=节点数×2

刚架对于闭口的平面刚架，为三次内力静不定；每增加一个闭合框架，就增加三次静不定。3静定基和相当系统静定基(基本静定系)静不定系统在解除某些约束后得到的静定系统.静定基不唯一。相当系统在静定基上作用外载荷和被解除约束的约束反