第3章2综合指标-2平均指标和变异指标(6)2

（一）算术平均数（二）调和平均数（三）几何平均数（四）众数（五）中位数数值平均数位置平均数三、平均指标的计算1、众数的特点将数据排序后,出现次数最多或有明显集中趋势的变量值是众数用来说明总体中大多数单位所达到的一般水平用Mo

表示不受极端数值的影响可用于数量型或品质型数据众数可能不存在可能有多个众数

比如在服装行业中，生产商、批发商和零售商在做有关生产或存货的决策时，更感兴趣的是最普遍的尺寸而不是平均尺寸。

众数的应用单项式变量数列的众数组距式变量数列的众数众数的不唯一性2、众数的确定01234567891011121314

Mode=90123456当数据分布存在明显的集中趋势，且有显著的极端值时，适合使用众数；当数据分布的集中趋势不明显或存在两个以上分布中心时，不适合使用众数（前者无众数，后者为双众数或多众数，也等于没有众数）。出生1981.01980.01979.01978.01977.01976.01975.0160140120100806040200413名学生出生时间分布直方图没有突出地集中在某个年份192.5190.5188.5186.5184.5182.5180.5178.5176.5174.5172.5170.5168.5166.5164.5162.5160.5158.5156.5154.5152.5150.5148.56050403020100413名学生的身高分布直方图出现了两个明显的分布中心日产量（件）工人人数（人）101112131470100380150100合计800【例】已知某企业某日工人的日产量资料如下:计算该企业该日全部工人日产量的众数。A.单项式变量数列的众数B.组距式变量数列的众数1.确定众数所在的组

2.计算公式【例2】某车间50名工人月产量的资料如下：月产量（件）工人人数（人）200以下

200～400400～600600以上37328合计50计算该车间工人月产量的众数。组距=200表某车间50名工人日加工零件数分组表按零件数分组频数（人）105～110110～115115～120120～125125～130130～135135～140358141064合计50【例】根据表中的数据，计算50名工人日加工零件数的众数（一）算术平均数（二）调和平均数（三）几何平均数（四）众数（五）中位数数值平均数位置平均数三、平均指标的计算

将总体各单位标志值按大小顺序排列后，指处于数列中间位置的标志值在总体标志值差异很大时，具有较强的代表性重要的中心位置度量，用Me表示不易受极端值的影响,中位数将所有数据分为两半，一半比中位数小，另一半比中位数大

1、中位数的概念Me50%50%0123456789100123456789101214

平均数=5平均数=60123456789100123456789101214

中位数=5中位数=5未分组数据的中位数单项式变量数列的中位数组距式变量数列的中位数2、中位数的确定最小值中位数=7最大值最小值中位数=（7+8）/2=7.5最大值A.未分组数据的中位数中位数的位次为：即第3个单位的标志值就是中位数【例1】某售货小组5个人，某天的销售额为440元、600元、480元、750元、520元，则中位数=?排序：440元、480元、520元、600元、750元中位数的位次为：中位数应为第3和第4个单位标志值的算术平均数，即【例2】若上述售货小组为6个人，某天的销售额为480元、440元、750元、520元、600元、760元，则中位数=?排序：440元、480元、520元、600元、750元，760元【例3】某企业某日工人的日产量资料如下，要求计算该企业该日全部工人日产量的中位数。日产量（件）工人人数（人）向上累计次数（人）10111213147010038015010070170550700800合计800—中位数的位次：B.单项式变量数列中位数的确定）

销售额（百万元）商店数频率（﹪）累计次数累计频率（﹪）向上累计向下累计向上累计向下累计5以下

5～1010～1515～2020～2525以上410161343820322686414304347505046362073828608694100100927240146合计50100————

(1)确定中位数所在的组

(2)中位数的近似计算公式为：说明：公式以数据在各组中均匀分布为假定条件，违背该假定，则误差较大。C.组距式变量数列中位数的确定【例】某车间50名工人月产量的资料如下：月产量（件）工人人数（人）向上累计次数（人）200以下200～400400～600600以上373283104250

合计50—计算该车间工人月产量的中位数。组距=200表3-5某车间50名工人日加工零件数分组表按零件数分组频数（人）向下累计105~110110~115115~120120~125125~130130~135135~1403581410645047423420104合计50—【例】根据表中的数据，计算50名工人日加工零件数的中位数六、各种平均数的比较（一）各种平均数的特点及应用场合

算术平均数是就全部数据计算的，具有优良的数学性质，实际中应用最为广泛。其主要缺点是易受极端值的影响，对偏态分布其代表性较差。

调和平均数主要用于不能直接计算的数据,易受极端值的影响。

几何平均数主要用于计算比率数据的平均数,易受极端值的影响。

众数不受极端值的影响,对偏态分布其代表性较好，但不是根据所有的变量值计算的。

中位数不受极端值大小的影响，对偏态分布其代表性较好，但不是根据所有的变量值计算的。（二）众数、中位数和算术平均数的关系对称分布

算术平均数=中位数=

众数左偏分布算术平均数

中位数

众数右偏分布众数

中位数

算术平均数运用平均数应该注意的问题同质总体用组平均数补充说明总平均数用分配数列说明总平均数例：如果你是一家制造业公司的供应部门经理，与两家原材料供应商联系供货，两家供应商均表示能在大约10个工作日内供齐所需原材料。几个月的运转之后，你发现尽管两家供货商供货的平均时间都是大约10天，但他们供货所需天数的分布情况却是不同的（如下图）。问:两家供货商按时供货的可信度相同吗？考虑它们直方图的差异，你更愿意选择哪家供货商供货呢？

第三章综合指标★第一节总量指标第二节相对指标第三节平均指标第四节标志变动度一、离中趋势的涵义二、标志变异指标的种类及计算三、是非标志的标准差及方差

课程学生语文数学英语总成绩平均成绩甲乙丙65609965659565701195195195656565单位：分某班三名同学三门课程的成绩如下，请比较三名同学学习成绩的差异。集中趋势弱、离中趋势强集中趋势强、离中趋势弱例：如果你是一家制造业公司的供应部门经理，与两家原材料供应商联系供货，两家供应商均表示能在大约10个工作日内供齐所需原材料。几个月的运转之后，你发现尽管两家供货商供货的平均时间都是大约10天，但他们供货所需天数的分布情况却是不同的（如下图）。问:两家供货商按时供货的可信度相同吗？考虑它们直方图的差异，你更愿意选择哪家供货商供货呢？指总体中各单位标志值背离分布中心的规模或程度，用标志变异指标来反映。一、离中趋势的涵义变异指标又称标志变动度：综合反映总体各个单位标志值的差异程度或离散程度以平均指标为基础，结合运用变异指标是统计分析的一个重要方法说明平均指标的代表性程度测定社会生产经济活动过程的均匀性或协调性以及产品质量的稳定性程度变异指标的概念一、离中趋势的涵义二、标志变异指标的种类及计算三、是非标志的标准差及方差测定标志变异度的绝对量指标（与原变量值名数相同）测定标志变异度的相对量指标（表现为无名数）全距平均差标准差全距系数平均差系数标准差系数二、标志变异指标的种类及计算方差（一）全距【例A】某售货小组5人某天的销售额分别为440元、480元、520元、600元、750元，则全距的特点优点:计算方法简单、易懂；缺点:易受极端数值的影响不能全面反映所有标志值差异大小及分布状况准确程度差平均差A.D.是各单位标志值对其算术平均数的离差绝对值的算术平均数反映各标志值对其平均数的平均差异程度简单式加权式（二）平均差1、平均差

——简单式,未分组资料总体算术平均数总体单位总数第个单位的变量值【例】某售货小组5个人，某天的销售额分别为440元、480元、520元、600元、750元，求该售货小组销售额的平均差。解：即该售货小组5个人销售额的平均差为93.6元。2、平均差

——加权式,分组资料总体算术平均数第组变量值出现的次数第组的变量值或组中值3、平均差的特点优点不易受极端数值的影响能综合反映全部单位标志值的实际差异程度缺点用绝对值的形式不便于作数学处理和参与统计分析运算如果把绝对值符号换成括号会发生什么?为什么?一般情况下都是通过计算另一种标志变异指标——标准差，来反映总体内部各单位标志值的差异状况⑴方差——简单式，未分组资料1.定义：是各个数据与其算术平均数的离差平方的算术平均数，用来表示。2.计算公式：总体单位总数第个单位的变量值总体算术平均数（三）方差⑵方差——加权，分组资料总体算术平均数第组变量值出现的次数第组的变量值或组中值⑴简单标准差——未分组资料1.定义：是各个数据与其算术平均数的离差平方的算术平均数的开平方根，用来表示；回顾：标准差的平方是方差，用来表示。2.计算公式：总体单位总数第个单位的变量值总体算术平均数（四）标准差⑵加权标准差——分组资料总体算术平均数第组变量值出现的次数第组的变量值或组中值【例】某售货小组5个人，某天的销售额分别为440元、480元、520元、600元、750元，求该售货小组销售额的标准差。解：（比较：其销售额的平均差为93.6元）即该售货小组销售额的标准差为109.62元。按零件数分组组中值(Xi)频数(fi)xf105~110110~115115~120120~125125~130130~135135~140107.5112.5117.5122.5127.5132.5137.5

358141064322.5562.5940.01715.01275.0795.0550.0246.49114.4932.490.4918.4986.49204.49739.47572.45259.926.86184.90518.94817.96合计—

506160.0—

3100.50【例】根据表中的数据，计算工人日加工零件数的标准差计算栏计算栏3.标准差的特点不易受极端数值的影响能综合反映全部单位标志值的实际差异程度用平方的方法消除各标志值与算术平均数离差的正负值问题可方便地用于数学处理和统计分析运算4.标准差的简捷计算避免离差平方和在计算过程中出现目的:X平方的均值X均值的平方5.标准差的比较Mean=15.5

s=3.338

11121314151617181920211112131415161718192021DataBDataAMean=15.5s=0.92581112131415161718192021Mean=15.5s=4.57DataCMean=15.5测定标志变异度的绝对量指标（与原变量值名数相同）测定标志变异度的相对量指标（表现为无名数）全距平均差标准差全距系数平均差系数标准差系数标志变异指标的种类方差可比变异系数指标变异系数是以相对数形式表示的变异指标变异系数是通过变异指标中的全距、平均差或标准差与平均数对比得到的常用的是标准差系数，计算方法如下：

（五）变异系数对比不同水平的同类现象，特别是不同类现象总体平均数代表性的大小：标准差系数小的总体，其平均数的代表性大；反之，亦然。【例】某年级一、二两班某门课的平均成绩分别为82分和76分，其成绩的标准差分别为15.6分和14.8分，比较两班平均成绩代表性的大小解：一班成绩的标准差系数为：二班成绩的标准差系数为：因为，所以一班平均成绩的代表性比二班好。1.甲、乙两单位职工人数及工资资料如下：甲单位的职工平均工资为1700元，标准差为110元；乙单位资料如下表所