第2章轴向拉伸与压缩

第2章

拉伸与压缩西南交通大学力学与工程学院材料力学电子教案——主要内容1轴力和轴力图2横截面上的应力3拉压杆的强度计算4斜截面上的应力5拉（压）杆的变形与位移6拉（压）杆内的应变能7低碳钢和铸铁受拉伸和压缩时的力学性能主要内容8简单的拉、压超静定问题9拉（压）杆接头的计算§2-1轴向拉伸和压缩的概念此类受轴向外力作用的等截面直杆称为拉杆或压杆。受力特点：直杆受到一对大小相等，作用线与其轴线重合的外力F作用。变形特点：杆件发生纵向伸长或缩短。FFFF第二章轴向拉伸和压缩如上图中轴向受力的杆件常称为拉伸或压缩杆件，简称拉压杆。(b)CDF2F2(a)F1F1AB§2.1轴力和轴力图拉压杆的概念受力特点：直杆受到一对大小相等，作用线与其轴线重合的外力F作用。变形特点：杆件发生纵向伸长或缩短。§2.1轴力和轴力图内力的概念物体因受外力作用而使其内部各部分之间因相对位置改变而引起的相互作用。材料力学中的内力，是指外力作用下，物体各质点之间相互作用力的变化量，所以是物体内部各部分之间因外力而引起的附加相互作用力，即“附加内力”；内力随外力的增加而加大，随外力的撤除而消失。根据可变形固体的连续性假设可知，物体内部相邻部分之间的作用力是一个连续分布的内力系，我们所说的内力是该内力系的合成（力或力偶）§2.1轴力和轴力图截面法·轴力及轴力图FF1、轴力：横截面上的内力2、截面法求轴力mmFFN切:假想沿m-m横截面将杆切开留:留下左半段或右半段代:将抛掉部分对留下部分的作用用内力代替平:对留下部分写平衡方程求出内力即轴力的值FFN3、轴力正负号：拉为正、压为负

由于外力的作用线与杆件的轴线重合，内力的作用线也与杆件的轴线重合。所以称为轴力。用符号FN表示。FFmmFFNFFN引起伸长变形的轴力为正——拉力（背离截面）；引起压缩变形的轴力为负——压力（指向截面）。§2.1轴力和轴力图——用平行于杆轴线的坐标表示横截面的位置；——用垂直于杆轴线的坐标表示横截面上轴力的数值；——所绘出的图线可以表明轴力与截面位置的关系，称为轴力图。§2.1轴力和轴力图截面法·轴力及轴力图轴力图

用截面法法求内力的过程中，在截面取分离体前，作用于物体上的外力（荷载）不能任意移动或用静力等效的相当力系替代。例试作图示杆的轴力图。求支反力解：ABCDE20kN

40kN

55kN

25kN

6003005004001800FR

22

F4=20kNF3=25kNF2=55kNF1=40kNABCDE331144§2.1轴力和轴力图§2.1轴力和轴力图注意假设轴力为拉力横截面1-1：横截面2-2：FR

22F4=20kNF3=25kNF2=55kNF1=40kNABCDE331144FRFN1

11AFRF1

FN2A

B

22§2.1轴力和轴力图此时取截面3-3右边为分离体方便，仍假设轴力为拉力。横截面3-3：同理FR

22F4=20kNF3=25kNF2=55kNF1=40kNABCDE331144F3

F4

FN3

33D

E

F4

FN4

33E

§2.1轴力和轴力图由轴力图可看出20105FN图(kN)FR

22F4=20kNF3=25kNF2=55kNF1=40kNABCDE33114450轴力图的特点：突变值=集中载荷

20105FN图(kN)FR

22F4=20kNF3=25kNF2=55kNF1=40kNABCDE33114450§2.1轴力和轴力图遇到向左的P，轴力FN

增量为正；遇到向右的P，轴力FN

增量为负。20105FN图(kN)FR

22F4=20kNF3=25kNF2=55kNF1=40kNABCDE33114450轴力(图)的简便求法：自左向右:§2.1轴力和轴力图§2.1轴力和轴力图例：FFFq=F/ll2llFR112233FFFqFFFFRF'=2ql解：1、求支反力§2.1轴力和轴力图x12FFFq11233xFqFFFFx1§2.1轴力和轴力图FFF+-+FFFq=F/ll2ll主要内容1轴力和轴力图2横截面上的应力3拉压杆的强度计算4斜截面上的应力5拉（压）杆的变形与位移6拉（压）杆内的应变能7低碳钢和铸铁受拉伸和压缩时的力学性能问题提出：PP2P2P1.内力大小不能衡量构件强度的大小。2.强度：①内力在截面分布集度应力；

②材料承受荷载的能力。一、应力的概念1.定义：由外力引起的内力集度。§2.2横截面上的应力

工程构件，大多数情形下，内力并非均匀分布，集度的定义不仅准确而且重要，因为“破坏”或“失效”往往从内力集度最大处开始。§2.2横截面上的应力PAM①平均应力：②一点处的应力：2.应力的表示：应力的单位：Pa（帕斯卡）或MPa（兆帕）§2.2横截面上的应力③应力分解：pM垂直于截面的应力分量称为“正应力”

(NormalStress)；位于截面内的应力分量称为“剪应力”(ShearStress)。§2.2横截面上的应力变形前1.变形规律试验及平面假设：平面假设：原为平面的横截面在变形后仍为平面。纵向纤维变形相同。abcd受载后PP

d´a´c´

b´二、拉（压）杆横截面上的应力横截面杆件横截面上的应力分布规律是怎么样的?从静力平衡条件无从知晓,必须从实验得到.§2.2横截面上的应力均匀材料、均匀变形，内力当然均匀分布。2.拉伸应力：根据以上假设，按静力学求合力的概念可知：F对于轴向压缩的杆件，上式同样适用。对应于伸长变形的拉应力为正，对应于缩短变形的压应力为负。轴力引起的正应力——

：在横截面上均布。危险截面：内力最大的面，截面尺寸最小的面。危险点：应力最大的点。3.危险截面及最大工作应力：

直杆、杆的截面无突变、截面到载荷作用点有一定的距离。4.公式的应用条件：5.Saint-Venant原理：

离开载荷作用处一定距离，应力分布与大小不受外载荷作用方式的影响。

注意杆平面假设和公式

只在杆上离外力作用点稍远的部分才正确，而在外力作用点附近的应力情况比较复杂。外力作用于杆端的方式（例如，外力作用在杆件端面的局部或者整个端面），只会影响外力作用处附近横截面上的应力分布情况，而影响范围不大于杆的横向尺寸。§2.2横截面上的应力圣维南原理}FFFF影响区影响区解：首先作轴力图。由于此柱为变截面杆，因此要求出每段柱的横截面上的正应力，从而确定全柱的最大工作应力。50kN150kN(b)370FFF30004000240(a)最大工作应力为：§2.2横截面上的应力一变截面杆，其截面尺寸及受力如图所示，试求杆内的最大工作应力？§2.2横截面上的应力树皮撑裂现象§2.2横截面上的应力例试求一薄壁圆管在内压力作用下径向横截面上的拉应力。已知：

可认为径向截面上的拉应力沿壁厚均匀分布解：ddbp§2.2横截面上的应力根据对称性可得，径截面上内力处处相等dyFN

FN

ddppFR

§2.2横截面上的应力jdjdyFN

FN

pFR

主要内容1轴力和轴力图2横截面上的应力3拉压杆的强度计算4斜截面上的应力5拉（压）杆的变形与位移6拉（压）杆内的应变能7低碳钢和铸铁受拉伸和压缩时的力学性能

为使杆件在外力作用下不致发生断裂或者显著的永久变形（即塑性变形），即不致发生强度破坏，杆件内最大工作应力σmax不能超过杆件材料所能承受的极限应力σu而且要有一定的安全储备。这一强度条件可用下式来表达式中，n

是大于1的系数，称为安全系数。§2.3拉压杆的强度计算安全系数与极限应力§2.3拉压杆的强度计算*关于安全因数的考虑

（1）极限应力的差异；（2）构件横截面尺寸的变异；（3）荷载的变异；（4）计算简图与实际结构的差异；（5）考虑强度储备。材料受拉伸（压缩）时的极限应力σu要通过试验来测定。

应力除以安全系数得到材料能安全工作的容许应力[σ]。于是强度条件又可写作§2.3拉压杆的强度计算强度条件强度校核§2.3拉压杆的强度计算拉压杆的强度计算-等直杆截面选择计算许可载荷§2.3拉压杆的强度计算例图示三铰屋架中，均布荷载的集度q=4.2kN/m，钢拉杆直径d=16mm，许用应力[s]=170MPa

。试校核拉杆的强度。ACB1.42m8.5m9.3m0.4m

q§2.3拉压杆的强度计算解：1、求支反力考虑结构的整体平衡并利用其对称性FBy

FAx

FAy

ACB1.42m8.5m9.3m0.4m

q§2.3拉压杆的强度计算取分离体如图并考虑其平衡2、求钢拉杆的轴力。FAy

qCA1.42m4.65m4.25mFN

FCy

FCx

§2.3拉压杆的强度计算3、求钢拉杆的应力并校核强度。故钢拉杆的强度是满足要求的。FCy

FCx

FAy

qCA1.42m4.65m4.25mFN

§2.3拉压杆的强度计算例图示三角架中，杆AB由两根10号工字钢组成，杆AC由两根

80mm80mm7mm

的等边角钢组成。两杆的材料均为Q235钢，[s]=170MPa

。试求此结构的许可荷载[F]。F1m30ºACB§2.3拉压杆的强度计算（1）节点A

的受力如图，其平衡方程为：解：得F1m30ºACBAFxyFN2

FN1

30º§2.3拉压杆的强度计算（2）查型钢表得两杆的面积（3）由强度条件得两杆的许可轴力：杆AC杆AB杆AC杆AB§2.3拉压杆的强度计算(4)按每根杆的许可轴力求相应的许可荷载：F1m30ºACB讨论：

根据强度条件，有式中A2为单根杆的横截面面积。于是，有§2.3拉压杆的强度计算在最大起吊重量的情形下，显然AB杆的强度尚有富余。因此为节省材料，同时还可以减轻吊车结构的重量，可以重新设计AB杆的横截面尺寸。这种设计实际上是一种等强度的设计，是保证构件与结构安全的前提下，最经济合理的设计。主要内容1轴力和轴力图2横截面上的应力3拉压杆的强度计算4斜截面上的应力5拉（压）杆的变形与位移6拉（压）杆内的应变能7低碳钢和铸铁受拉伸和压缩时的力学性能

实验表明，拉（压）杆的强度破坏有时是沿某一斜截面发生。为了研究其破坏原因，讨论斜截面上的应力。kFFkkFk问题：§2.4斜截面上的应力拉（压）杆斜截面上的应力α的正负规定：以横截面外法线至斜截面外法线逆时针转向为正，反之为负仿照前面求正应力的分析过程，同样可知斜截面上的应力处处相等。kFkAPα用两个分量来表示：正应力σα，切应力τα。§2.4斜截面上的应力以上的分析结果对压杆也同样适用。应力状态：通过一点的所有各截面上的应力其全部情况。

以上两式表达了通过拉杆内任一点的不同斜截面上的正应力和切应力随α角而改变的规律。一点的应力状态§2.4斜截面上的应力x拉（压）杆最大切应力发生在与轴线成±45º

的斜截面上，其大小为最大正应力的一半。特殊截面上的应力§2.4斜截面上的应力乌溪桥的剪切破坏。如图为钢筋混凝土桥梁的乌溪桥，在台湾9.21地震中，短柱承受较大剪力，发生剪切破坏，出现斜裂缝。§2.4斜截面上的应力切应力互等定理：

任何受力物体内一点处，两个相互垂直截面上与这两个面的交线垂直方向的切应力，也必定大小相等，而指向都对着（或都背离）这两个垂直截面的交线。F(b)切应力互等定理§2.4斜截面上的应力主要内容1轴力和轴力图2横截面上的应力3拉压杆的强度计算4斜截面上的应力5拉（压）杆的变形与位移6拉（压）杆内的应变能7低碳钢和铸铁受拉伸和压缩时的力学性能§2.5拉（压）杆的变形与位移胡克定律

原长为l的杆件在轴向拉力F的作用下，沿轴线方向（纵向）产生伸长变形，而在与轴向垂直的横向产生缩短变形。纵向变形：F

F

all1a1纵向线应变：伸长为正，缩短为负。可否反映杆件的变形程度？1m的杆伸长2cm与2米的杆伸长3mm，哪个的变形程度大？§2.5拉（压）杆的变形与位移

在线弹性范围内，正应力σ同纵向线应变ε满足正比关系：——胡克定律。E——弹性模量，又称杨氏模量（纪念ThomasYoung）单位：帕斯卡(Pa)RobertHooke

RobertHooke，英国物理学家、天文学家，17世纪英国最杰出的科学家之一,被称为英国的达芬奇。在力学、光学、天文学等多方面都有重大成就。科学史上著名公案——牛顿与胡克之争ThomasYoung

ThomasYoung，英国医生、物理学家，光的波动说的奠基人之一。在力学、数学、光学、声学、语言学、动物学、埃及学等领域涉猎甚广。他对艺术还颇有兴趣，热爱美术，几乎会演奏当时的所有乐器，并且会制造天文器材，还研究了保险经济问题。擅长骑马，并且会耍杂技走钢丝。§2.5拉（压）杆的变形与位移思考：胡克是当时才华横溢的大师，也确实作出了种种贡献，然而只能靠着课本上的胡克定律让我们记住他？1：胡克为波义耳定律贡献了很多心力，但他是作为波义耳的助手；2：胡克也是光学波动说的主力，但波动说的第一人当属惠更斯，是惠更斯的《光论》成为了光学波动论领域的奠基之作；3：他在显微镜方面的应用也很赞，但同时代还有荷兰的列文虎克，他磨制的镜片更在胡克之上，且显微镜固然为我们开启了微生物大门，但当时人们只是从门口走过，并未有任何深刻的延展；4：他也确实先摸到了万有引力定律的边缘，可他没有耐下心去，最后是牛顿花费了巨大的心力不断研究，出版了《原理》，为什么名誉不能归功于胡克？——因为当时有那么多人靠直觉猜测过平方反比定律之下的椭圆轨道，而只有牛顿面对哈雷的提问，有底气说一句：“我算过。”胡克涉猎渊博，在力学、天文、数学、建筑诸多领域均有建树，他有那么多的机会可以成为一个领域里最杰出的的人才，可是都一一错过。如果他能在他广博的知识体系中随便择其一深入探索，无疑将取得更大的成就。可惜他没有。/story/7106909?from=timeline&isappinstalled=0§2.5拉（压）杆的变形与位移若杆长方向变形是均匀的若杆长方向变形是分段均匀的拉（压）杆的纵向变形计算EA为拉伸（压缩）刚度§2.5拉（压）杆的变形与位移若杆长方向变形是非均匀，杆件的纵向变形该如何计算？F

F

lxdxOdxFN(x)FN(x)+dFN(x)§2.5拉（压）杆的变形与位移

横向线应变：

显然，ε’为负值，与ε的正负号恰好相反。

实验研究表明，在线弹性范围内，ν

——泊松比(Poisson)，无量纲量。或Poisson

法国数学家、物理学家和力学家，是拉格朗日、拉普拉斯的得意门生。表明，一点处的横向线应变与正应力也成正比，但正负号相反。F

F

all1a1横向变形与泊松比§2.5拉（压）杆的变形与位移

E和ν都是材料的弹性常数，因材料而异，由试验测定。材料名称牌号E/GPaν低碳钢Q235200~2100.24~0.28中碳钢45205低合金钢16Mn2000.25~0.30合金钢40CrNiMoA210灰口铸铁60~1620.23~0.27球墨铸铁150~180铝合金LY12710.33硬质合金380混凝土15.2~360.16~0.18木材（顺纹）9~12常用工程材料的弹性模量E和泊松比ν§2.5拉（压）杆的变形与位移§2.5拉（压）杆的变形与位移例一阶梯状钢杆受力如图，已知AB段的横截面面积A1=400mm2，BC段的横截面面积A2=250mm2,材料的弹性模量E=210GPa。试求：AB、BC段的伸长量和杆的总伸长量；C截面相对B截面的位移和C截面的绝对位移。F=40kN

CBA

B'C'解：由静力平衡知，AB、BC两段的轴力均为l1=300l2=200§2.5拉（压）杆的变形与位移故F=40kNCBA

B'C'l1=300l2=200AC杆的总伸长§2.5拉（压）杆的变形与位移C截面相对B截面的位移C截面的绝对位移F=40kNCBA

B'C'求图示变截面柱体顶面的位移。已知，F=50N,材料的弹性模量E=3000MPa，图中柱体尺寸单位为mm。50kN150kN370FFF30004000240§2.5拉（压）杆的变形与位移解：由题意可知，柱体顶面位移等于全柱的缩短量。由于此柱为变截面杆，且上下两段轴力不等,因此要分段计算。50kN150kN(b)370FFF30004000240(a)§2.5拉（压）杆的变形与位移§2.5拉（压）杆的变形与位移桥墩的变形：图为某桥的桥墩，试分析桥墩在支撑桥面时的轴向变形。假设桥墩端部受荷载F作用，桥墩的横截面面积为A，材料容重为γ，弹性模量为E,桥墩长为L。解：假设桥墩墩底无位移，即地面弹性模量E无限大。将桥墩简化为下图计算模型，首先作出轴力图。F§2.5拉（压）杆的变形与位移桥墩位移是由桥墩自重和外力F共同引起的。§2.5拉（压）杆的变形与位移微段dx的变形量为：桥墩的轴向变形为：§2.5拉（压）杆的变形与位移例图示杆系，荷载F=100kN,求结点A的位移A。已知两杆均为长度l=2m，直径d=25mm的圆杆，=30º，杆材(钢)的弹性模量E=210GPa。解：先求两杆的轴力。得xyFN2FN1

FABCaa12aaAF§2.5拉（压）杆的变形与位移由胡克定律得两杆的伸长：

根据杆系结构及受力情况的对称性可知，结点A只有竖向位移。FABCaa12§2.5拉（压）杆的变形与位移此位置既应该符合两杆间的约束条件，又满足两杆的变形量要求。关键步骤——如何确定杆系变形后结点A的位置？ABCaa12A'21A2A1aaA'A''§2.5拉（压）杆的变形与位移即

由变形图即确定结点A的位移。由几何关系得21A2A1aaA'A''代入数值得§2.5拉（压）杆的变形与位移杆件几何尺寸的改变，标量此例可以进一步加深对变形和位移两个概念的理解。变形位移结点位置的移动，矢量与各杆件间的约束有关，实际是变形的几何相容条件。二者间的函数关系ABCaa12A'§2.5拉（压）杆的变形与位移解：已得此值小于钢的比例极限(Q235钢的比例极限约为200MPa)。例求例题2-3中所示薄壁圆环其直径的改变量已知

dδbp§2.5拉（压）杆的变形与位移不计内压力p的影响，则薄壁圆环的周向变形为又jdjdyFN

FN

pFR

§2.5拉（压）杆的变形与位移圆环的周向应变与圆环直径的相对改变量有如下关系：注意：ddp§2.6材料受拉伸和压缩时的力学性能影响因素内部因素：材料成分、组织结构等。外部因素：受力状态、温度、加载方式等。获取方式：试验测定试验标准GB/T228-2002金属材料室温拉伸试验方法GB/T7314-2005金属材料室温压缩试验方法力学性能——材料受外力作用下在强度和变形方面所表现出来的性能。圆截面试样：或矩形截面试样：或试验试件§2.6材料受拉伸和压缩时的力学性能拉伸试件压缩试件圆截面短柱体（用于金属材料）：正方形截面短柱体（用于非金属材料）：§2.6材料受拉伸和压缩时的力学性能加载方式：控制试件匀速变形，加载速率可能对力学性能产生影响。MTS材料试验机电子万能试验机试验机：给试样加载，使其产生变形，同时测定试样的抗力。变形传感器：用来测量试样的微小变形。（引伸计）驱动部分横梁机架变形传感器下夹头上夹头载荷传感器试验机结构试样§2.6材料受拉伸和压缩时的力学性能OFΔLⅠⅢⅡⅣ第Ⅰ阶段：弹性阶段-OB段第Ⅱ阶段：屈服阶段-BE段第Ⅲ阶段：强化阶段-EG段第Ⅳ阶段：局部变形阶段(颈缩阶段)-GH段四个阶段：拉伸图拉伸图：F-ΔL曲线

为了消除试件几何尺寸的影响，将试件拉伸图转换为应力~应变曲线。A0——试件的初始横截面积；L0——试件的初始标距长度；应力-应变曲线ABCDEGH名义应力：名义应变：低碳钢拉伸时的力学性能§2.6材料受拉伸和压缩时的力学性能O弹性阶段：OB段卸除载荷后，变形可恢复。弹性极限σe比例极限σp弹性阶段的最大应力（B点）

——弹性极限σe符合线性关系的最大应力（A点）

——比例极限σp胡克定律：σe和σp虽然意义不同，但数值上非常接近，工程上通常不加区分，用一个数值来处理，统称为弹性极限。应力-应变曲线EABCDEGH§2.6材料受拉伸和压缩时的力学性能屈服阶段：BE段应变显著增加，应力在小范围内波动，有不可恢复变形（塑性）产生。应力第一次下降前的最大应力（C点）

——上屈服点除第一次下降的最小应力外，屈服阶段的最小应力（D点）

——下屈服点下屈服点定义为材料的屈服极限σs磨消后抛光的试件表面上可见大约与轴线成45°的滑移线。进入屈服阶段后，试件的横截面积和标距发生显著改变，因此得到的名义应力和名义应变都不再是真实值。O上屈服点下屈服点应力-应变曲线ABCDEGH§2.6材料受拉伸和压缩时的力学性能强化阶段：EG段此阶段如要增加应变，必须增大应力，材料产生强化。强化阶段内的最大名义应力（G点）

——强度极限（或抗拉强度）σb卸载立即再加载沿卸载线回到卸载时应力，然后按后续加载曲线变化。放置一段时间后再加载再次进入屈服的应力超过卸载时应力——冷作硬化冷作硬化对力学性能的影响比例极限升高，塑性变形减小，但抗拉强度不变。§2.6材料受拉伸和压缩时的力学性能O强度极限σb应力-应变曲线ABCDEGHpb不变epO局部变形阶段（颈缩阶段）：GH段名义应力下降，试件的局部横截面出现急剧收缩，直至断裂。应力-应变曲线ABCDEGH描述材料塑性好坏的两个指标：伸长率δ——试件拉断后标距范围内平均的塑性变形百分率。断面收缩率Ψ——试件断口处横截面面积的塑性收缩百分率。L1——试件拉断后标距刻线间的距离。A1——断口处的最小横截面积。脆性材料：δ<5%韧性材料：δ>5%§2.6材料受拉伸和压缩时的力学性能Q235钢的主要强度指标：Q235钢的塑性指标：Q235钢的弹性指标：通常的材料称为塑性材料；

的材料称为脆性材料。§2.6材料受拉伸和压缩时的力学性能1.低碳钢的屈服强度σs，强度极限sb都是以相应载荷除以试样原始横截面积得到的，实际上此时试样直径已显著缩小，因而他们是名义应力（工程应力）。2.低碳钢的强度极限σb是试样拉伸时最大的名义应力，并非断裂时的应力。3.超过屈服阶段后的应变仍是以试样工作段的伸长量除以工作段原长所得，因而是名义应变（工程应变）。4.伸长率是把拉断后整个工作段的均匀塑性伸长变形和颈缩部分的局部塑性伸长变形都包括在内的一个平均塑性伸长率；标准试样之所以规定标距与横截面积（或直径）之比，原因在此。要点1.强度极限sb是否为材料在拉伸过程中所承受的最大应力？2.低碳钢的同一圆截面试样上，若同时画有两种标距，试问所得伸长率δ10

和δ5

哪一个大？§2.6材料受拉伸和压缩时的力学性能应力-应变曲线从低应力水平开始就不是直线关系；只能采用割线弹性模量；没有屈服、只有唯一拉伸强度指标σb；没有颈缩阶段，断口平齐，伸长率非常小，拉伸强度σb基本上就是试件拉断时横截面上的真实应力。伸长率很小，是脆性材料铸铁拉伸时的力学性能§2.6材料受拉伸和压缩时的力学性能锰钢没有屈服和颈缩阶