第2章随机信号

随机信号分析

第2章随机信号RandomSignal随机信号分析2问题？？？？什么是随机信号？随机信号与随机变量有什么关系？随机信号（过程）:许多随机现象是按时间或其他参量推进的，其研究需要按某种方式持续不断地（无休止地）观察其过程，这样涉及到有序的、无穷多个随机变量，称作随机信号（过程），简记为R.S.。随机信号分析3第2章随机信号本章讨论：

1）随机信号的定义、基本概念；

2）几个典型的信号及其分析方法；

3）随机信号一般特性与描述方式；

4）高斯信号与独立信号随机信号分析4第2章随机信号2.1定义与基本特性2.2典型信号举例2.3一般特性与基本运算2.4多维高斯分布与高斯信号2.5独立信号随机信号分析52.1

定义与基本特性

例ξ0ξ1…ξi

样本空间为Ω＝{ξ0,ξ1,ξ2…}随机信号分析62.1

定义与基本特性

例2.1噪声电压信号：多次观测到不同波形。随机信号分析72.1

定义与基本特性例2.2用掷币实验产生信号。正面:250Hz的余弦波：反面:250Hz的正弦波：也可记为:

是取值0、1的等概随机变量。随机信号分析82.1

定义与基本特性例2.3医院登记新生儿性别。男婴＝1，女婴＝0。结果：10011010…，或001010110…它是随机序列：是“随机变量串”。随机信号分析92.1.1

概念与定义定义2.1

对随机实验样本空间上每个，定义函数，则确定了一个具有一定统计特性的随机函数，称为随机过程（Stochasticorrandomprocess），或随机信号(Randomsignal)。随机信号分析10§2.3随机信号的定义与描述X(t,ξ1)X(t,ξ2)X(t,ξ3)X(t,ξ4)X(t1,ξ)X(t2,ξ)X(tn,ξ)X(t,ξ)t状态随机变量确定时间函数……随机信号分析112.1.1

概念与定义随机信号分析122.1.1

概念与定义定义2.2

给定参量集T，若，都有一个随机变量与之对应，就称随机变量族为随机过程。

T为实数集或其子集，如果T为整数集或其子集，就是随机序列或离散随机信号。随机信号分析13例题1正弦随机信号{X(t,ξ)=10cos(2πFt),t>0},其中F为二值随机变量，其可能取值为100Hz与200Hz，概率同为0.5，试问， （1）X(t,ξ)可能的样本函数； （2）在t=2.5,5,10（单位：ms）各时刻上观察X(t,ξ)，其相应随机变量的可能值与概率。随机信号分析14例题1续解：（1）由已知

X(t,s)可能的样本函数为：F=100HzX1(t)F=200HzX2(t)随机信号分析15例题1续随机信号分析16例题2正弦随机信号{X(t,ξ)=Acos(200πt),t>0},其中振幅随机变量A取值为1和0，概率分别为0.1和0.9，试问， （1）一维概率分布F(x；5)； （2）二维概率分布F(x,y；0,0.0025)； （3）t=1时刻,随机变量X(t,ξ)的可能值，均值与最有可能出现的值。随机信号分析17例题2续解（1）

随机信号分析18例题2续（2）随机信号分析19例题2续（3）t=1时刻， 所以，t＝1时刻，X(t)等于A，可能值为0与1， 所以在t＝1时刻，随机变量X(t,s)即A最有可能出现值为0。

随机信号分析20例题3

如果上面所讨论的随机信号描述的正是某台信号发生器的输出（单位：伏特），试问，（1）开启该设备后最可能见到什么样的信号？（2）如果t=1时刻测得输出电压为1伏特，问t=2时刻可能的输出电压为什么？概率多少？随机信号分析21例题3续解：（1）因为，所以开启该设备后90%的情况会见到无电压(A=0)。（2）t=1时刻，有 可得A=1；所以t=2时刻，有因为在A=1的前提下，t=2时刻输出电压为确定值1，所以。随机信号分析222.1.2概率分布与密度函数随机信号的一维概率分布函数

：随机信号的一维概率密度函数

随机信号分析232.1.2概率分布与密度函数txfX(x,t)随机信号分析242.1.2概率分布与密度函数随机信号分析252.3.1n阶概率特性随机信号的二阶概率分布函数随机信号的二阶概率密度函数

随机信号分析262.1.3基本数字特征随机信号的均值函数：t1t2t3t4随机信号分析27随机信号分析282.1.3基本数字特征随机信号的自相关函数：随机信号分析292.1.3基本数字特征随机信号的自协方差函数方差函数随机信号分析302.1.3基本数字特征均方差（或标准差）函数:相关系数：随机信号分析31举例例：正弦R.S.ξcosωt，ω>0（常数），ξ~u(0,1)。求：

(1)时，X(t)的概率密度函数fX(x,t)(2)均值函数mx(t)，方差函数Dx(t)

，相关函数Rx(t1,t2)

，协方差函数Cx(t1,t2)

随机信号分析32举例续解答：随机信号分析33举例续（2）随机信号分析34举例：直线过程直线过程：{X(t)=U+Vt,t∈(-∞,+∞)}，其中U与V是随机变量。比如，初始位移为U，速度为V的直线运动，其t时刻的位移为X(t)。讨论X(t)的概率特性和矩特性。解答：X(t)是具有随机截距U与斜率V的直线，其可能的样本函数如图所示。假定已知U与V的统计特性。随机信号分析35举例续X(t)tmx(t)随机信号分析36举例续均值 E[X(t)]=E[U]+E[Vt]=mU+mVt自相关函数RX(t1,t2)=E[(U+Vt1)[(U+Vt2)]=E[U2]+E[UV](t1+t2)+E[V2]t1t2随机信号分析37举例续一阶概率密度函数 当t≠0时，令 利用二维变换，可得当t＝0时，X(t)=U，因此fX(x;0)=fU(x)随机信号分析38举例续二阶概率密度函数令容易求得利用二维变换求解，具体解答过程省略，请同学们课后自己解答。随机信号分析39举例续当t1≠t2时，当t1＝t2时，由于P[X(t1)≤x1,X(t2)≤x2]=P[X(t1)≤min(x1,x2)],

所以利用刚才求得的一阶概率密度函数表示有符号随机信号分析40第2章随机信号2.1定义与基本特性2.2典型信号举例2.3一般特性与基本运算2.4多维高斯分布与高斯信号2.5独立信号随机信号分析412.2.1随机正弦信号 给定具有某种概率分布的振幅随机变量A、角频率随机变量Ω与相位随机变量Θ，（具体概率分布与特性视应用而定），以（时间）参量t建立随机变量

于是，相应于某个参量域T的随机变量族为正弦随机信号（或称为正弦随机过程)。

2.2典型信号举例随机信号分析42随机信号分析43§2.2各种样本函数集中显示的各种样本函数t＝5时刻的不确定性随机信号分析44举例正弦随机信号

{W(t)=Acos(ωt+Θ),-∞<t<∞}

其中，A服从参数为σ2的瑞利分布,而Θ~u[0,2π],并且A与Θ是独立的。讨论随机信号W(t)的基本特性。瑞利分布：随机信号分析45举例随机信号分析46举例续解答：（1）均值随机信号分析47相关函数随机信号分析48一、二阶概率密度函数令怎么解出随机信号分析492.2.1随机正弦信号随机信号分析50可见：二维高斯分布：2.2.1随机正弦信号

随机信号分析51举例续随机信号分析52例：给定某个序列随机实验，观测某事件B发生与否，建立事件B的指示函数， 而且，序列随机实验间彼此统计独立并有相同的概率 于是，是一个（0，1）贝努里随机变量，相应的随机变量序列为（0，1）贝努里（Bernoulli）随机序列（或称随机信号，有时也称为随机过程）。2.2.2贝努里随机序列随机信号分析532.2.2贝努里随机序列nX（n，ξn）01……12345678910X（9，ξ）nX（n，ξ1）0112345678910随机信号分析54举例问题：分析贝努里随机信号X(n)基本特性。解答：一维概率特性贝努里随机信号是离散型的随机信号，任取n＝1,2,3,…与随机信号分析55举例续二维概率分布函数(0,1)(1,1)x2F(x1,x2)x1(1,0)(0,0)q2q1随机信号分析56举例续f(x1,x2,n1,n2)x2(1,1)(1,0)(0,1)x1(0,0)q2p2pqpq随机信号分析57举例续均值或自相关函数

随机信号分析582.2.3半随机二进制传输信号半随机二进制传输信号 该信号是逐时隙的，即在第n时隙上，为一个二值随机变量，二元传输信号W(t,ξ)是基于原二进制数据信号X(n,ξ)的取值(+1，-1）。随机信号分析592.2.3半随机二进制传输信号W(ti,ξ)随机信号分析602.2.3半随机二进制传输信号W(t,ξ)

也可写为其中p(t)是方波脉冲,在持续时间t>0上，二元传输信号W(t,ξ)是一个（连续时间的）随机信号。半随机——其时隙位置确切地以t=0对齐。相对地，随机二进制传输信号定义为D与X(t)独立，是[0,T]上均匀分布的随机变量。随机信号分析612.2.3半随机二进制传输信号W(ti,ξ)D1D2D3随机信号分析62举例讨论半随机二进制传输信号的基本特性.均值自相关函数 令若位于同一时隙，有，则，随机信号分析63举例续若位于不同时隙，有则，合并，有当，有

随机信号分析64T举例续t2R(t1,t2)t1T(0,0)12T3T2T3T随机信号分析65举例续一阶密度函数 因此，二阶密度函数 当时，有 当时，则有

随机信号分析66小结分析随机信号本质上就是分析相应的随机变量。其中：计算均值与相关函数是基本的，由它们容易导出协方差函数与方差函数等结果；求解概率密度特性时，对于取值连续的随机过程，常常要计算随机变量函数的密度函数，可以利用有关定理与公式（一维变换与二维变换）。对于取值离散的随机过程，先直接计算有关概率，需要密度（或分布）函数时，再用其冲激（或阶跃）函数形式来表示。随机信号分析67小结随机信号还可以分为：可预测随机信号（或称确定的随机信号）：信号的任意一个样本函数的未来值都可以由过去的观测值确定，即样本函数有确定的形式。不可预测随机信号（或称不确定的随机信号）：信号的任意一个样本函数的未来值都不可能由过去的观测值确定，即样本函数没有确定的形式。随机信号分析68小结随机信号分析69第2章随机信号2.1定义与基本特性2.2典型信号举例2.3一般特性与基本运算2.4多维高斯分布与高斯信号2.5独立信号随机信号分析702.3.1n阶概率特性t1t2t3tnX(t)t随机信号分析712.3.1n阶概率特性随机信号的n阶概率分布函数任取时，n个随机变量的n维联合概率分布函数，定义为随机信号的n阶概率密度函数

随机信号分析72独立随机信号(IndependentProcess)定义2.5：独立随机信号是指随机信号自身内部的任意n个时刻上的随机变量之间彼此统计独立。满足：或随机信号分析73举例已知随机信号U(t)~N(0,N0/2)，而不同时刻的随机变量之间彼此统计独立。试求：（1）U(t)的概率密度特性。 （2）U(t)的相关函数与协方差函数。解：(1)由题目已知该随机信号的一维概率密度函数是随机信号分析74举例续根据不同时刻的随机变量间彼此统计独立，随机信号U(t)的n维概率密度函数为n个一维概率密度函数之积，即随机信号分析75举例续(2)U(t)是独立过程随机信号分析762.3.2联合特性t1t2t3tnX(t)ts1s2s3smY(t)t随机信号分析772.3.2联合特性随机信号的n＋m维联合概率分布函数随机信号X(t)

与随机信号Y(t)

的n＋m维联合概率分布函数定义为：随机信号的n＋m维联合概率密度函数随机信号分析782.3.2联合特性随机信号的互相关函数互协方差函数：互相关系数随机信号分析79定义2.3

正交与互不相关随机信号分析80正交与互不相关及独立性的关系随机信号分析81例2.7随机信号分析82例2.7续它显然是正态分布,随机信号分析83例2.7续（2）

随机信号分析842.3.3相关函数与协方差函数的性质对称性：均方值为非负实数：方差为非负实数

随机信号分析852.3.3相关函数与协方差函数的性质两个信号的联合矩特性满足：对称性：

随机信号分析86第2章随机信号2.1定义与基本特性2.2典型信号举例2.3一般特性与基本运算2.4多维高斯分布与高斯信号2.5独立信号随机信号分析872.4.3高斯随机信号

定义2.4

给定随机过程