高中数学人教A版第三章不等式单元测试（省一等奖）

例说一元二次不等式与二元一次不等式组的解法一、知识讲解知识点1：一元二次不等式与分式不等式1．一元二次不等式的解集端点→一元二次方程的解→二次函数的零点。2．解一元二次不等式的步骤：二次项系数化为正→因式分解（求根）→判断符号（大于0，两根之外，小于0，两根之外）3．分式不等式：转化成整式不等式求解知识点2：二元一次不等式解法1．可行域的判断依据：的系数与不等号，同号，直线上方；异号，直线下方2．目标函数平移规律：的系数为正，往上平移变大；的系数为负，往上平移变小。3．特殊目标函数的求解：（1）：点与间距离的平方；（2）：点与间斜率的大小；（3）：反比例函数的比例系数。二、典例分析考点1：解含参一元二次不等式与分式不等式例题1：已知0<a<1，关于x的不等式(x－a)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,a)))>0的解集为()A．eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x<a或x>\f(1,a))))) B．{x|x>a}C．eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x<\f(1,a)或x>a)))) D．eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x<\f(1,a)))))解析：根据不等式的性质可得，故而可得解集为。变式：解关于x的不等式x2－(2m＋1)x＋m2＋m解析：将不等式因式分解可得，解得解集为。例题2：若a<0，则不等式eq\f(x－4a,x＋5a)>0的解集是________．解析：将不等式化简可得，解得解集为。考点2：不等式中的参数求解例题3：函数的定义域为R，则实数k的取值范围为()A．(0,1)B．[1，＋∞) C．[0,1]D．(－∞，0]解析：函数的定义域为R，故而可得恒成立，故而或者，解得。变式：若不等式eq\f(x2－8x＋20,mx2－mx－1)＜0对一切x∈R恒成立，则实数m的取值范围为________．解析：化简可得恒成立，亦即恒成立。故而可得或者，解得。例题4：设不等式mx2－2x－m＋1＜0对于满足|m|≤2的一切m的值都成立，求x的取值范围解析：将不等式化简可得对恒成立，故而将m当作自变量，这是一个一一次函数，故而可得。考点3：二元一次不等式组的基础解法例题5：（2023年课标1卷13题）设x，y满足约束条件，则的最小值为。解析：根据约束条件可画出可行域如右图所示，的系数为负，故而可得当初始函数平移经过点时函数取最小值，联立，故而可得的最小值为-5。变式：（2023年课标3卷13题改）若，满足约束条件，则的最大值为_____。解析：根据约束条件可画出可行域如右图所示，的系数为负，故而可得当初始函数平移经过点D时函数取最小值，联立，故而可得的最大值为8。考点4：含参二元一次不等式组的解法解题思路：此类问题包含两种形式，一种是约束条件中含有参数，一种是目标函数中含有参数。两种问题都涉及到分类讨论和函数的旋转。（1）约束条件含参：影响斜率，对直线进行旋转；影响截距，对直线进行平移。（2）目标函数含参：对参数进行正负的讨论，注意与可行域中的约束条件进行对比讨论。例题6：已知满足约束条件，目标函数的最大值是2，则实数（）A． B．1 C． D．4解析：根据约束条件可以发现，可行域必然在直线的下方和直线的上方，直线是恒过点的一条直线，故而要使得存在可行域，直线必须顺时针旋转，目标函数的系数为负，故而向下平移的过程中不断变大，因此可得目标函数在点B处取到最大值。联立方程，问题得解。例题7：设实数，满足约束条件若目标函数的最大值为6，则的值为（）A． B．4 C．8 D．16解析：根据约束条件可以画出可行域如图所示，目标函数的初始直线斜率为负，系数为正，故而可得无论直线如何旋转，都将在点B处取最大值。联立方程，代入可得，问题得解。考点5：二元一次不等式组的特殊求解例题8：若变量满足条件，则的取值范围是（）A． B． C． D．解析：根据约束条件可以画出可行域如图所示，目标函数表示为反比例函数的比例系数，根据反比例函数的性质可得，当反比例函数越往上平移，比例系数越大。故而可得当反比例函数与直线BC相切时，取最大值，此时联立；当时，取最小值0。故而选D。例题9：已知点的坐标满足条件记的最大值为，的最小值为，则__________．解析：根据约束条件可以画出可行域如图所示，目标函数表示为点和点之间的斜率，根据图像可得，故而可得；目标函数表示点和点之间的距离平方，根据图像可得，故而最小值为4，即，因此可得。例题10：过平面区域内一点作圆：的两条切线，切点分别为，记，当最大时，点坐标为__________．解析：根据约束条件可以画出可行域如图所示，根据图像可得，故而要使得角最大，即满足最大即可。又，故而可得当取最小值时角最大。此时，根据直线的性质可得点。例题11：某工厂有两种配件生产甲、乙两种产品，每生产一件甲产品使用4个配件，耗时1，每生产一件乙产品使用4个配件，耗时2，该厂每天最多可从配件厂获得24个配件和16个配件，每天生产总耗时不超过8，若生产一件甲产品获利3万元