高中数学人教A版1第二章圆锥曲线与方程 优秀奖2

(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！)一、选择题(每小题5分，共20分)1．过点P(1,1)作直线与拋物线y2＝2x只有一个公共点，这样的直线的条数是()A．1 B．2C．3 D．4解析：由于点P(1,1)在拋物线y2＝2x内部，所以只有一条平行于x轴的直线与拋物线只有一个公共点．故选A.答案：A2．已知抛物线y2＝8x的弦AB过它的焦点，直线AB的斜率为2，则弦AB的长为()A．6 B．8C．10 D．12解析：由y2＝8x得p＝4，焦点(2,0)，则直线方程为y＝2(x－2)，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝2x－2，,y2＝8x，))有x2－6x＋4＝0，∴x1＋x2＝6.∴|AB|＝x1＋x2＋p＝6＋4＝10.答案：C3．若直线mx＋ny＝4和⊙O：x2＋y2＝4没有交点，则过点(m，n)的直线与椭圆eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,4)＝1的交点个数为()A．至多一个 B．2个C．1个 D．0个解析：由题意，eq\f(4,\r(m2＋n2))>2可得m2＋n2<4，所以(m，n)在以原点为圆心，以2为半径的圆内，椭圆中，短半轴长为2，结合图形可得有两个交点，故选B.答案：B4．若椭圆eq\f(x2,36)＋eq\f(y2,9)＝1的弦被点(4,2)平分，则此弦所在直线的斜率为()A．2 B．－2\f(1,3) D．－eq\f(1,2)解析：设弦端点A(x1，y1)、B(x2，y2)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x\o\al(2,1)＋4y\o\al(2,1)＝36,x\o\al(2,2)＋4y\o\al(2,2)＝36))⇒xeq\o\al(2,1)－xeq\o\al(2,2)＝－4(yeq\o\al(2,1)－yeq\o\al(2,2))⇒k＝eq\f(y1－y2,x1－x2)＝－eq\f(x1＋x2,4y1＋y2)＝－eq\f(2×4,4×2×2)＝－eq\f(1,2).故选D.答案：D二、填空题(每小题5分，共10分)5．已知动点P的坐标(x，y)满足eq\f(\r(x－12＋y－12),\f(|x＋y＋2|,\r(2)))＝eq\f(1,2)，则动点P的轨迹是________．解析：原等式即点P到(1,1)的距离与到直线x＋y＋2＝0的距离之比为eq\f(1,2)，故点P的轨迹为椭圆．答案：椭圆6．若直线y＝kx＋2与双曲线x2－y2＝6的右支交于不同的两点，则k的取值范围是________．解析：由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx＋2，,x2－y2＝6))得(1－k2)x2－4kx－10＝0，当eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－k2≠0，,Δ＝16k2－41－k2×－10>0，,x1＋x2＝\f(4k,1－k2)>0，,x1x2＝\f(－10,1－k2)>0))时，直线与双曲线右支有两个不同交点，解得－eq\f(\r(15),3)<k<－1.答案：－eq\f(\r(15),3)<k<－1三、解答题(每小题10分，共20分)7．(2023·黄冈高二检测)设F1、F2分别是椭圆E：x2＋eq\f(y2,b2)＝1(0＜b＜1)的左、右焦点，过F1的直线l与E相交于A，B两点，且|AF2|，|AB|，|BF2|成等差数列，(1)求|AB|；(2)若直线l的斜率为1，求b的值．解析：(1)∵|AF2|＋|BF2|＝2|AB|，∴|AB|＋|AF2|＋|BF2|＝3|AB|＝4a＝4，∴|AB|＝eq\f(4,3).(2)设直线的方程为y＝x＋c，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝x＋c,x2＋\f(y2,b2)＝1))得(b2＋1)x2＋2cx＋c2－b2＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝eq\r(2)|x1－x2|＝eq\r(2)eq\r(x1＋x22－4x1x2)＝eq\r(2)eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(－2c,b2＋1)))2－\f(4c2－b2,b2＋1))＝eq\f(4,3)①又c2＝1－b2②由①、②解得b＝eq\f(\r(2),2).8．(2023·中山高二检测)已知顶点在原点O，准线方程是y＝－1的拋物线与过点M(0,1)的直线l交于A，B两点，若直线OA和直线OB的斜率之和为1，(1)求此拋物线的标准方程；(2)求直线l的方程；(3)求直线l与拋物线相交弦AB的弦长．解析：(1)由题意可知拋物线焦点在y轴正半轴，设拋物线的标准方程为x2＝2py，由准线方程是y＝－1，可得p＝2.所以拋物线的标准方程为x2＝4y.(2)设直线l的方程为：y＝kx＋1，代入拋物线的标准方程消y整理得x2－4kx－4＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则eq\f(y1,x1)＋eq\f(y2,x2)＝1①因为y1＝kx1＋1，y2＝kx2＋1，代入①，得2k＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x1)＋\f(1,x2)))＝1②因为x1＋x2＝4k，x1x2＝－4，代入②得k＝1.所以直线l的方程为：y＝x＋1.(3)将直线方程与拋物线的标准方程联立得：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝x＋1,x2＝4y))，消y整理得x2－4x－4＝0.∴|AB|＝eq\r(1＋k2)|x1－x2|＝eq\r(2)eq\r(x1＋x22－4x1x2)＝8.eq\x(尖子生题库)☆☆☆9．(10分)(2023·广东惠州一模)已知椭圆的一个顶点为A(0，－1)，焦点在x轴上．若右焦点到直线x－y＋2eq\r(2)＝0的距离为3.(1)求椭圆的方程；(2)设直线y＝kx＋m(k≠0)与椭圆相交于不同的两点M，N.当|AM|＝|AN|时，求m的取值范围．解析：(1)依题意可设椭圆方程为eq\f(x2,a2)＋y2＝1，则右焦点F(eq\r(a2－1)，0)，由题设得eq\f(|\r(a2－1)＋2\r(2)|,\r(2))＝3，解得a2＝3.故所求椭圆的方程为eq\f(x2,3)＋y2＝1.(2)设P为弦MN的中点，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx＋m，,\f(x2,3)＋y2＝1))得(3k2＋1)x2＋6mkx＋3(m2－1)＝0，∵直线与椭圆相交，∴Δ＝(6mk)2－4(3k2＋1)×3(m2－1)＞0⇒m2＜3k2＋1.①∴xP＝eq\f(xM＋xN,2)＝－eq\f(3mk,3k2＋1)，从而yP＝kxP＋m＝eq\f(m,3k2＋1)，∴kAP＝eq\f(yP＋1,xP)＝－eq\f(m