高中数学苏教版1第2章圆锥曲线与方程2．3双曲线 第2章

双曲线2.3.1双曲线的标准方程1．了解双曲线标准方程的推导过程．(难点)2．理解双曲线的标准方程，能求双曲线的标准方程．(重点、难点)3．椭圆与双曲线标准方程的区别与联系．(易混点)[基础·初探]教材整理双曲线的标准方程阅读教材P39～P40例1以上部分，完成下列问题.标准方程eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)焦点的位置焦点在x轴上焦点在y轴上图形焦点坐标F1(－c,0)，F2(c,0)F1(0，－c)，F2(0，c)a，b，c之间的关系c2＝a2＋b2判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)在双曲线标准方程eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1中，a＞0，b＞0且a≠b.()(2)在双曲线标准方程中，a，b和焦点F2(c,0)满足a2＝b2＋c2.()(3)双曲线y2－x2＝1的焦点坐标在y轴上．()(4)在双曲线eq\f(y2,9)－eq\f(x2,4)＝1中，焦点坐标为(±5,0)．()【解析】(1)方程eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1中，a>0，b>0.a＝b时也是双曲线，故不正确；(2)在双曲线标准方程中，都有a2＋b2＝c2.故不正确．(3)根据标准方程特点，正确．(4)在eq\f(y2,9)－eq\f(x2,4)＝1中，c＝eq\r(9＋4)＝eq\r(13)，所以焦点坐标为(0，±eq\r(13))．【答案】(1)×(2)×(3)√(4)×[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：解惑：疑问2：解惑：疑问3：解惑：[小组合作型]求双曲线标准方程根据下列条件，求双曲线的标准方程．(1)经过点Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，\f(15,4)))，Qeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(16,3)，5))；(2)c＝eq\r(6)，经过点(－5,2)，焦点在x轴上．【精彩点拨】解答(1)可分情况设出双曲线的标准方程，再构造关于a，b，c的方程组求解，从而得出双曲线的标准方程．也可以设双曲线方程为mx2＋ny2＝1(mn<0)的形式，将两点代入，简化运算过程．解答(2)利用待定系数法．【自主解答】(1)法一：若焦点在x轴上，设双曲线的方程为eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，∴点Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，\f(15,4)))和Qeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(16,3)，5))在双曲线上，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(9,a2)－\f(225,16b2)＝1，,\f(256,9a2)－\f(25,b2)＝1，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2＝－16，,b2＝－9.))(舍去)若焦点在y轴上，设双曲线的方程为eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)，将P，Q两点坐标代入可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(225,16a2)－\f(9,b2)＝1，,\f(25,a2)－\f(256,9b2)＝1，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2＝9，,b2＝16，))∴双曲线的标准方程为eq\f(y2,9)－eq\f(x2,16)＝1.法二：设双曲线方程为eq\f(x2,m)＋eq\f(y2,n)＝1(mn<0)．∵P，Q两点在双曲线上，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(9,m)＋\f(225,16n)＝1，,\f(256,9m)＋\f(25,n)＝1，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝－16，,n＝9.))∴所求双曲线的标准方程为eq\f(y2,9)－eq\f(x2,16)＝1.(2)法一：依题意可设双曲线方程为eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)．依题设有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2＋b2＝6，,\f(25,a2)－\f(4,b2)＝1，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2＝5，,b2＝1，))∴所求双曲线的标准方程为eq\f(x2,5)－y2＝1.法二：∵焦点在x轴上，c＝eq\r(6)，∴设所求双曲线方程为eq\f(x2,λ)－eq\f(y2,6－λ)＝1(其中0<λ<6)．∵双曲线经过点(－5,2)，∴eq\f(25,λ)－eq\f(4,6－λ)＝1，∴λ＝5或λ＝30(舍去)．∴所求双曲线的标准方程是eq\f(x2,5)－y2＝1.1．用待定系数法求双曲线方程的一般步骤2．求双曲线标准方程的两个关注点(1)定位：“定位”是指确定与坐标系的相对位置，在“标准方程”的前提下，确定焦点位于哪条坐标轴上，以判断方程的形式；(2)定量：“定量”是指确定a2，b2的具体数值，常根据条件列方程求解．[再练一题]1．已知双曲线与椭圆eq\f(x2,27)＋eq\f(y2,36)＝1有共同的焦点，且过点(eq\r(15)，4)，求双曲线的方程.【导学号：09390030】【解】椭圆eq\f(x2,27)＋eq\f(y2,36)＝1的焦点坐标为F1(0，－3)，F2(0，3)，故可设双曲线的方程为eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1.由题意，知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2＋b2＝9，,\f(42,a2)－\f(\r(15)2,b2)＝1，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2＝4，,b2＝5，))故双曲线的方程为eq\f(y2,4)－eq\f(x2,5)＝1.双曲线标准方程的讨论(1)如果方程eq\f(x2,m＋2)＋eq\f(y2,m＋1)＝1表示双曲线，则实数m的取值范围是________．(2)“ab<0”是“方程ax2＋by2＝c表示双曲线”的________条件(填“必要不充分”、“充分不必要”、“充要”和“既不充分也不必要”)．(3)若方程eq\f(x2,5－m)＋eq\f(y2,m2－2m－3)＝1表示焦点在y轴上的双曲线，求实数m的取值范围．【精彩点拨】根据双曲线标准方程的特征常列不等式组求解．【自主解答】(1)由题意知(2＋m)(1＋m)＜0，解得－2＜m＜－1.故m的取值范围是(－2，－1)．(2)若ax2＋by2＝c表示双曲线，即eq\f(x2,\f(c,a))＋eq\f(y2,\f(c,b))＝1表示双曲线，则eq\f(c2,ab)<0，这就是说“ab<0”是必要条件，然而若ab<0，c等于0时不表示双曲线，即“ab<0”不是充分条件．【答案】(1)(－2，－1)(2)必要不充分(3)由方程eq\f(x2,5－m)＋eq\f(y2,m2－2m－3)＝1表示焦点在y轴上的双曲线，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(5－m<0，,m2－2m－3>0，))解得m>5.所以实数m的取值范围是(5，＋∞)．方程表示双曲线的条件及参数范围求法1．对于方程eq\f(x2,m)＋eq\f(y2,n)＝1，当mn＜0时表示双曲线．进一步，当m＞0，n＜0时表示焦点在x轴上的双曲线；当m＜0，n＞0时表示焦点在y轴上的双曲线．2．对于方程eq\f(x2,m)－eq\f(y2,n)＝1，则当mn＞0时表示双曲线．且当m＞0，n＞0时表示焦点在x轴上的双曲线；当m＜0，n＜0时表示焦点在y轴上的双曲线．3．已知方程所代表的曲线，求参数的取值范围时，应先将方程转化为所对应曲线的标准方程的形式，再根据方程中参数取值的要求，建立不等式(组)求解参数的取值范围．[再练一题]2．讨论eq\f(x2,25－k)＋eq\f(y2,9－k)＝1表示何种圆锥曲线？它们有何共同特征？【解】由于k≠9，k≠25，则k的取值范围为k<9,9<k<25，k>25，分别进行讨论．(1)当k<9时，25－k>0,9－k>0，所给方程表示椭圆，此时，a2＝25－k，b2＝9－k，a2－b2＝16，这些椭圆有共同的焦点(－4,0)，(4,0)．(2)当9<k<25时，25－k>0,9－k<0，所给方程表示双曲线，此时，a2＝25－k，b2＝k－9，c2＝a2＋b2＝16，这些双曲线也有共同的焦点(－4,0)，(4,0)．(3)当k>25时，所给方程没有轨迹．[探究共研型]双曲线中的焦点三角形探究1双曲线上一点M与双曲线的两个焦点F1，F2构成的三角形称为焦点三角形，其中MF1，MF2，F1F2为三角形的三边，在焦点三角形中，常用的关系式有哪些？【提示】焦点三角形中，常用的关系式有：(1)MF1－MF2＝±2a(2)S△F1MF2＝eq\f(1,2)MF1·MF2·sin∠F1MF2；(3)F1Feq\o\al(2,2)＝MFeq\o\al(2,1)＋MFeq\o\al(2,2)－2MF1·MF2·cos∠F1MF2.探究2在双曲线的焦点三角形中，如何确定它的面积？随着∠F1PF2的变化，△F1PF2的面积将怎样变化？【提示】由公式S△PF1F2＝eq\f(1,2)PF1·PF2sin∠F1PF2，cos∠F1PF2＝eq\f(PF\o\al(2,1)＋PF\o\al(2,2)－F1F\o\al(2,2),2PF1·PF2)＝eq\f(PF1－PF22－F1F\o\al(2,2)＋2PF1·PF2,2PF1·PF2)＝eq\f(4a2－4c2＋2PF1·PF2,2PF1·PF2)＝eq\f(－4b2＋2PF1·PF2,2PF1·PF2)＝eq\f(－2b2,PF1·PF2)＋1，∴PF1·PF2＝eq\f(2b2,1－cos∠F1PF2).从而得S△PF1F2＝eq\f(b2,tan\f(θ,2))(θ＝∠F1PF2)．∵0<θ<π，∴0<eq\f(θ,2)<eq\f(π,2)，在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))内，eq\f(1,tan\f(θ,2))是单调递减的，∴当θ增大时，S△F1MF2＝eq\f(b2,tan\f(θ,2))减小．设F1，F2为双曲线eq\f(x2,4)－eq\f(y2,4)＝1的两个焦点，点P在双曲线上且满足∠F1PF2＝90°，求△F1PF2的周长及△F1PF2的面积．【精彩点拨】由双曲线定义、勾股定理建立方程组，求出PF1与PF2的长，或利用整体代入法先求PF1＋PF2与PF1·PF2，再求周长与面积．【自主解答】法一：∵点P在双曲线eq\f(x2,4)－eq\f(y2,4)＝1上，∴|PF1－PF2|＝4，F1F2＝4eq\r(2).又∵∠F1PF2＝90°，∴△F1PF2为直角三角形，∴PFeq\o\al(2,1)＋PFeq\o\al(2,2)＝F1Feq\o\al(2,2)＝32.列方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(|PF1－PF2|＝4，,PF\o\al(2,1)＋PF\o\al(2,2)＝32，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(PF1＝2\r(3)＋2，,PF2＝2\r(3)－2))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(PF1＝2\r(3)－2，,PF2＝2\r(3)＋2.))∴△F1PF2的周长为PF1＋PF2＋F1F2＝4eq\r(3)＋4eq\r(2)，△F1PF2的面积为eq\f(1,2)PF1·PF2＝eq\f(1,2)(2eq\r(3)＋2)(2eq\r(3)－2)＝4.法二：同解法一得|PF1－PF2|＝4，F1F2＝4eq\r(2)，PFeq\o\al(2,1)＋PFeq\o\al(2,2)＝32.∴(|PF1－PF2)2＝PFeq\o\al(2,1)＋PFeq\o\al(2,2)－2PF1·PF2，即16＝32－2PF1·PF2，∴PF1·PF2＝8.∴(PF1＋PF2)2＝PFeq\o\al(2,1)＋PFeq\o\al(2,2)＋2PF1·PF2＝32＋16＝48，∴PF1＋PF2＝4eq\r(3).∴△F1PF2的周长为PF1＋PF2＋F1F2＝4eq\r(3)＋4eq\r(2)，△F1PF2的面积为eq\f(1,2)PF1·PF2＝eq\f(1,2)×8＝4.在双曲线的焦点三角形中，正弦定理、余弦定理、双曲线的定义等是经常使用的知识点，另外，还经常结合MF1－MF2＝±2a，运用平方的方法，建立它与MF1·MF2的联系，体现了数学中的一种整体思想.[再练一题]3．已知F1，F2为双曲线C：x2－y2＝2的左、右焦点，点P在C上，PF1＝2PF2，则cos∠F1PF2＝________.【解析】由双曲线方程得a＝eq\r(2)，b＝eq\r(2)，则c＝eq\r(a2＋b2)＝2.因为PF1－PF2＝2eq\r(2)，且PF1＝2PF2，所以PF1＝4eq\r(2)，PF2＝2eq\r(2)，而F1F2＝4，在△PF1F2中，由余弦定理得cos∠F1PF2＝eq\f(PF\o\al(2,1)＋PF\o\al(2,2)－F1F\o\al(2,2),2PF1·PF2)＝eq\f(3,4).【答案】eq\f(3,4)[构建·体系]1．若k∈R，方程eq\f(x2,k＋3)＋eq\f(y2,k＋2)＝1表示双曲线，则k的取值范围是________．【解析】据题意知(k＋3)(k＋2)＜0，解得－3＜k＜－2.【答案】(－3，－2)2．平面内有两个定点F1(－5,0)和F2(5,0)，动点P满足|PF1－PF2|＝6，则动点P的轨迹方程是________．【解析】由条件可知，双曲线焦点在x轴上，且a＝3，c＝5，则b2＝c2－a2＝16，∴动点P的轨迹方程为eq\f(x2,9)－eq\f(y2,16)＝1.【答案】eq\f(x2,9)－eq\f(y2,16)＝13．已知椭圆eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,a2)＝1与双曲线eq\f(x2,a)－eq\f(y2,2)＝1有相同的焦点，则实数a＝________.【导学号：09390031】【解析】由条件可得4－a2＝a＋2，解得a＝1.【答案】14．双曲线8kx2－ky2＝8的一