第九章边界层理论基础

第九章边界层理论基础主要内容边界层的概念及理论平板层流边界层的计算边界层分离原理圆柱绕流与卡曼涡阶1

在20世纪初之前，流体力学的研究分为两个分支：一是研究流体运动时不考虑黏性，运用数学工具分析流体的运动规律。另一个是不用数学理论而完全建立在实验基础上对流体运动进行研究，解决了技术发展中许多重要问题，但其结果常受实验条件限制。这两个分支的研究方法完全不同，这种理论和实验分离的现象持续了150多年，直到20世纪初普朗特提出了边界层理论为止。由于边界层理论具有广泛的理论和实用意义，因此得到了迅速发展，成为黏性流体动力学的一个重要领域。本章介绍边界层的基本概念及研究方法。2

1904年，在德国举行的第三届国际数学家学会上，德国著名的力学家普朗特第一次提出了边界层的概念。

他认为对于水和空气等黏度很小的流体，在大雷诺数下绕物体流动时，黏性对流动的影响仅限于紧贴物体壁面的薄层中，而在这一薄层外黏性影响很小，完全可以忽略不计，这一薄层称为边界层。

普朗特的这一理论，在流体力学的发展史上有划时代的意义。

第一节边界层的基本概念3

路德维奇.普朗特（LudwigPrandtl）

1875年2月4日出生于德国的弗莱辛

1953年8月15日卒于哥廷根现代力学的奠基人之一，他创立了边界层理论、薄翼理论、升力线理论，研究了超声速流动，提出普朗特－葛劳渥法则，并与他的学生梅耶一起研究了膨胀波现象（普朗特－梅耶流动），并首次提出超声速喷管设计方法。普朗特的开创性工作，将19世纪末期的水力学和水动力学研究统一起来，被称为“现代流体力学之父”。除了在流体力学中的研究工作，还培养了很多著名科学家，其中包括冯.卡门、梅耶等著名流体力学家，对我国流体力学研究做出奠基工作的陆士嘉教授也曾是普朗特的学生。4图示为大雷诺数下黏性流体绕流翼型的二维流动，根据普朗特边界层理论，把大雷诺数下均匀绕流物体表面的流场划分为三个区域，即边界层、外部势流和尾涡区。

III外部势流

II尾部流区域

I边界层

边界层外边界

边界层外边界

5yxu0u0u0δ(x)u=0.99u0u(x,y)边界层外边界边界层厚度：将流体速度从u=0到u=0.99u0对应的流体层厚度，用δ表示。注意：边界层的外边界是人为划定的，不是流线！边界层分为层流边界层、过渡区和湍流边界层。对平板的边界层，层流转变为紊流的临界雷诺数为

播放动画6边界层的基本特征与物体的特征长度相比，边界层的厚度很小。边界层内沿厚度方向，存在很大的速度梯度。边界层厚度沿流体流动方向是增加的，由于边界层内流体质点受到黏性力的作用，流动速度降低，所以要达到外部势流速度，边界层厚度必然逐渐增加。由于边界层很薄，可以近似认为边界层中各截面上的压强等于同一截面上边界层外边界上的压强值。在边界层内，黏性力与惯性力同一数量级。边界层内的流态，也有层流和紊流两种流态。

7第二节平板边界层流动一、普朗特层流边界层方程

普朗特边界层方程是在N-S方程基础上简化得来。坐标系如图所示，边界层内可忽略质量力，于是得到N-S方程和连续方程：yxu0u0u0δ(x)u=0.99u0u(x,y)边界层外边界8对方程中各项数量级的大小进行分析后可进一步化简。数量级比较理论：设x方向流速的数量级为1，x方向距离的数量级也为1。由于边界层厚度δ远远小于平板长度，y的数值限制在边界层内，故y的数量级与x的数量级相比是一个小量，用ε表示这个小量的数量级，ε<<1。边界层内y方向的速度比x方向的速度小得多。911εε

x~1，y~ε，u~1，v~ε10111ε1εε2（）1ε211ε1εε2εε1ε1（）普朗特边界层方程边界条件

x~1，y~ε，u~1，v~ε11

普朗特的学生布拉修斯于1908年将普朗特边界层方程应用于半无限长平板层流边界层精确解，得到：即为边界层厚度沿x方向发展变化的规律。yxu0u0u0δ(x)u=0.99u0u(x,y)边界层外边界12例题

常压下，温度为30℃的空气以10m/s的流速流过一光滑平板表面，设临界雷诺数Rexc=3.2×105。试判断平板前缘0.4m及0.8m两处的边界层是层流边界层还是湍流边界层？并求出层流边界层相应点处的边界层厚度。已知：30℃时，ρ=1.165kg/m3

μ=1.86×10-5Pa·s13解：（1）所以，据平板前缘0.4m处的边界层为层流边界层，（2）所以，据平板前缘0.8m处的边界层为湍流边界层。14课堂练习常压下，温度为20℃的空气以6m/s的流速流过平板表面，试计算临界点处的边界层厚度。设Rexc=5×105。已知：ρair=1.205kg/m3

μair=1.81×10-5

Pa·s答案：xc=1.252m，δ=0.00879m。15第三节边界层分离边界层分离现象：实际流体流过弯曲壁面时，经常从某一点开始边界层脱离壁面，并产生漩涡，这种现象也叫脱体现象。

工程上常用无量纲的压强系数表示物体表面上任一点的压强，对圆柱体有ACDB16umaxδMSxu

M点后压强增加，流体微团受到的压差力是与流动方向相反的阻力，称为逆压梯度，逆压梯度是边界层分离的根本原因。p实际pmin分离点S应满足的条件：播放动画17物体在流体中运动（绕流）的阻力

物体在流体中的运动受到的阻力包括摩擦阻力和压差阻力。δMSxup实际pmin18思考题1.汽车高速行驶时所受到的阻力主要来自于：

(a)汽车表面的摩擦阻力(b)地面的摩擦阻力

(c)空气对头部的碰撞(d)尾部的漩涡2.边界层内的流动特点之一是：

(a)粘性力比惯性力重要(b)粘性力与惯性力量级相等

(c)压强变化可忽略(d)流动速度比外部势流小3.边界层的流动分离发生在：

(a)物体后部(b)零压梯度区

(c)逆压梯度区(d)后驻点19锐缘效应在自然界或在工程问题中，我们经常发现，流体绕过任何物体的尖缘时，总要出现分离，如图所示。试解释之。20

大量试验表明，在不同雷诺数下，圆柱绕流现象有较大差异（具体内容请自学）。卡门涡列：在80~90<Re<150~300条件下，其特点是在背风面旋涡交替脱落（脱离物面），形成两排向下运动的涡列，称为卡门涡列。物体阻力以压差阻力为主。卡门涡列动画1

221西奥多·冯·卡门（1881年—1963年）美籍匈牙利犹太人，是20世纪最伟大的美国工程学家，开创了数学和基础科学在航空和航天和其他技术领域的应用，被誉为“航空航天时代的科学奇才”。我国著名科学家钱伟长、钱学森、郭永怀都是他的亲传弟子。

鉴于冯·卡