资产组合与定价

第六章资产组合与定价

TheTheoryofPortfolioSelection

andPricing第一节收益风险的度量与资产组合理论第二节资本资产定价模型第三节套利定价模型第四节期权定价模型第五节有效市场理论

第一节收益风险的度量与资产组合理论

一、单一资产收益和风险的度量单一资产的收益：

单一资产的风险：方差：标准差：

例6.1A公司与B公司股票的预期收益率及其概率分布情况如下表所示，假设你要对这两家公司的股票进行投资，那么你将如何估计两家公司股票的投资收益率呢？经济情况发生概率（P）股票A的预期收益率（）股票B的预期收益率（）经济繁荣经济稳定经济衰退0.50.10.420％5％－10％40％10％－20％A公司股票的期望收益率：＝0.5×20％＋0.1×5％＋0.4×(－10％)＝6.5%B公司股票的期望收益率：＝0.5×40％＋0.1×10％＋0.4×(－20％)＝13%例6.1中

＝0.5×（0.2-0.065）2+0.1×(0.05-0.065)2+0.4×(-0.1-0.065)2=0.020025=14.15%

二、两资产组合的收益和风险度量

两资产组合的期望收益率:

两资产的协方差和相关系数

两资产组合的风险：仍沿用表6-1中的股票A和股票B的数据来说明两种证券组成的资产组合的期望值和方差的计算。假定投资者有100元，其中40％投资于股票A，60％投资于股票B，即，

=0.4×6.5％＋0.6×13％＝10.4%=0.5×(0.2-0.065)(0.4-0.13)+0.1×(0.05-0.065)(0.1-0.13)+0.4×(-0.1-0.065)(-0.2-0.13)=0.04005=1=0.42×0.00025+0.62×0.0801+2×0.4×0.6×0.04005=0.051264

（1）完全正相关情况：相关系数

(2)完全负相关情况：相关系数（3）完全不相关情况：相关系数

两资产组合的风险：完全正相关时，由②推出：将③代入①可得出：这时组合的收益是风险的线性函数，具有正的斜率。这时无法通过两资产组合使得组合的风险低于组合中风险较小的证券的风险，但通过组合却能使组合的风险小于较大风险证券的风险。两资产组合收益与风险的关系：完全负相关时，

当

0当当如果资产组合方差有正根，方差与均值之间的函数曲线为一正倾斜直线；如果资产组合方差有负根，方差与均值之间的函数曲线为负倾斜直线，最小方差资产组合的方差为零。这时可通过组合使组合的风险小于任一单个资产的风险，并可选出一个组合，使其风险为零，期望收益为正。ACBV图6-1两资产的投资组合期望收益率与标准差关系

3、有效投资组合（有效集）在风险相同情况下期望收益率最高，期望收益率相同情况下风险最小的投资组合。4、多资产投资组合的选择多资产投资组合的期望收益率：多资产投资组合的风险：

pEAV图6-2多种资产的投资组合的有效边界5、无风险资产和最优投资组合（1）无风险资产的引入假设存在无风险资产为Rf，其方差与风险资产的协方差为零，资产组合的方差就简化为风险资产的方差。（2）引入无风险资产后的最优投资组合从图6-3中可以看出，投资机会集不仅可以由各种资产组合构成，而且还可能由单个资产构成。只要不存在无风险资产，风险回避投资者都可以在机会集与最高无差异曲线的相切点使其预期效用最大化。引入无风险资产后，假设借款利率等于贷款利率，任何风险资产都可以与无风险资产在坐标图上连接成一条直线，该直线表示由风险资产和无风险资产构成的资产组合。投资者偏好该直线正倾斜部分RfE，该部分直线代表有效集。考虑无风险资产时的有效集是线性的，在有效集中，P点上的资产组合是最优的。RfpEQAV图6-3引入无风险资产后的有效资产组合6、系统性风险和非系统性风险假设在N种资产中，每种资产的权重是相同的，各占1/N。则:

非系统性风险可以通过投资组合得到完全的化解。系统性风险或市场风险则不能。组合的风险与组合内证券数量的关系图

第二节资本资产定价模型

一、CAPM的基本假设（1）期望收益率和标准差是投资者选择证券投资组合的唯一依据。（2）投资者仅进行单期投资决策，且所有投资者都有相同的投资期限和相同的投资预期，无论资产价格如何变化，所有投资者风险资产的组合内容都是一致的。（3）所有投资者都是理性的，都是风险厌恶者，都接受并采纳马科维茨的资产选择模型。（4）证券市场是完全竞争的，投资者是市场证券价格的接受者。（5）每个资产都是无限可分的。（6）投资者只在公开的金融市场上进行投资，可以相同的无风险利率借入或贷出任何数量的资金。（7）证券市场是无摩擦的，资本进行借贷时不存在税收和交易成本，即整个证券市场上资本和信息都是自由流动的。二、资本市场线（CapitalMarketLine，CML）（一）分离定理投资者对风险的态度，只会影响投入的资金数量，而不会影响最优组合点。这就是两基金分离定理（Two-fundSeparationTheorem）。根据分离定理，个人的投资行为可分为两个阶段：第一阶段：确定最佳风险资产组合。如果所有投资者的预期是相同的，有效边界相同，那么所有投资者都会选择P点代表的风险资产组合。此阶段不受投资者风险厌恶程度的影响。第二阶段：根据投资者的风险偏好决定无风险资产和最佳风险资产组合的理想组合。

（二）市场组合市场均衡时的切点组合就是市场组合，记为M。市场组合M包括市场上所有的风险资产，并且在这个组合中，投资于每一种资产的比例是每一种资产市值占整个市场风险资产市值的比例。

（三）资本市场线（CML）

资本市场线以公式表示为：

公式右边分为两部分：第一部分用无风险利率表示投资的机会成本，第二部分投资的风险溢价。资本市场线得出的期望收益率是针对整个市场，并非针对某个具体的风险资产。

MRfCML

三、证券市场线

单个资产对整个市场组合的风险以β系数表示

将此式代入资本市场线公式得：

此式即为资本资产定价模型（CAPM）。SML

例：已知目前的无风险利率是3%，市场组合的风险溢价是5%，如果某股票的β系数是1.5，那么，该股票的期望收益率是多少？3%+1.5×5%=10.5%四、资本市场线与证券市场线的区别（1）资本市场线的横轴是标准差（既包括系统风险又包括非系统风险），而证券市场线的横轴是β系数（只包括系统风险）；（2）资本市场线纵轴表示的是“期望收益率”(Expectedrateofreturn)，而证券市场线表示的是“要求收益率”(RequiredRateofReturn)，即投资要求得到的最低收益率；（3）资本市场线揭示的是持有不同比例的无风险资产和市场组合情况下风险和报酬的均衡关系，而证券市场线揭示的是某证券本身的风险和报酬之间的对应关系；（4）资本市场线的作用在于确定投资组合的比例；证券市场线的作用在于根据要求报酬率，利用股票估价模型计算股票的内在价值。

第三节套利定价模型一、套利及APT模型的假设套利：利用同一种实物资产或证券的不同价格来获取无风险收益的行为。套利活动将促使市场实现无套利均衡。APT模型的假设：⑴资本市场是完全竞争的，无摩擦的；⑵投资者是风险厌恶的，且是非满足的。当具有套利机会时，他们会构造套利证券组合来增加自己的财富，从而追求效用最大化；⑶所有投资者有相同的预期。

二、套利定价模型（APT模型）证券的收益率与一组影响它的要素线性相关，故有公式：(一)单因素套利定价模型考虑到任何证券收益由两部分组成：（1）来自证券的正常收益或期望收益；（2）来自于意料之外的非期望收益当市场均衡时，和为常数。等于无风险收益率。为证券i的收益率相对于共同因素的敏感性系数ABAPT资产定价线APT资产定价线图（二）多因素套利定价模型若有m种要素F1，F2，…，Fm，则有：

一般认为，利率、通货膨胀率、实际增长率、石油价格等是对证券收益率有重要影响的因素。三、APT模型与CAPM模型的联系与区别

联系：CAPM是APT的特例，而APT是CAPM的推广与发展。

区别：假定条件不同，建模思想不一样。CAPM是一种均衡资产定价模型，是建立在市场均衡的基础上，以市场投资组合存在为前提。而APT是建立在无套利均衡分析的基础上，出发点是通过少数投资者构造大额无风险套利头寸，迫使市场重建均衡，以消除市场无风险套利机会。第四节期权定价模型

引子：赌场老板如何应付发疯的亿万富豪假设有一个疯狂的亿万富豪赌客，提出用1亿美元来和赌场老板进行一场赌博。双方约定，通过简单的游戏来决定胜负。投掷三次骰子，如果三次投掷的结果均为“小”，那么赌场老板就必须赔付亿万富翁8亿美元。如果三次投掷中，有一次出现了“大”的结果，赌客就将其1亿美元的赌注输给赌场老板。我们知道三次投掷的过程中，结果全都是“小”的概率为：，因此，赌客提出的赔付条件是公平的，因为他只有1/8的机会赢得8亿美元，而赌场老板有7/8的机会赢得1亿美元。现在问题是：如果该赌场的总资产仅有100万美元，那么，赌场老板是否应该接受这个亿万富翁的挑战？赌客模型的解决方案是：在第一次投掷前，赌场要找到另外一批赌客，然后赌场和这些赌客进行一次头寸正好和亿万富翁相反的赌博。这些赌客投入的总赌注也是1亿美元。如果出现了“大”的情况，赌场就输给了这些赌客1亿美元；而与此同时，原先的亿万富翁赌客也输给赌场1亿美元。这样赌场一进一出，正好平衡。如果出现“小”的情况，赌场就从这些赌客手里赚取了1亿美元。加上亿万富翁预先交给赌场老板的1亿美元，进入第二轮投掷时，赌场老板手中已有了2亿美元，他需要找另外一批投注额为2亿美元、头寸仍然和亿万富翁相反的赌客，重复一遍他在第一次投掷中的办法。这样经过第二轮，他要么已经击退亿万富翁，要么已经持有了4亿美元。以同样的办法进入第三轮的投掷，他就可以安然度过这场赌局而不必承担任何破产风险。Black和Scholes提出了这样一个问题：赌场老板应该以什么样的代价来邀请其他赌客来“对冲”他和亿万富翁的赌博风险，使之有权平安地进入下一轮投掷。两位大师就从这个假想的赌场模型出发去推算出那改变世界的期权定价法——B-S期权定价模型。第四节期权定价模型一、期权价值的含义期权价值包含两部分内容，内在价值(intrinsicvalue)与时间价值(timevalue)。期权的内在价值是指：期权相关资产的市场价格与执行价格，也叫履约价格(strikeprice或exerciseprice)两者之间的差额。

期权的时间价值，是指期权费超过其内在价值的部分。

期权价值构成图看涨期权的内在价值≥max(0,S-X)看跌期权的内在价值≥max(0,X-S)其中，S为合约执行时的市场价格；X为执行价格二、期权定价的二叉树模型（一）基本假定（1）市场不存在交易风险和交易费用；（2）期权的标的物为股票，S为股票的现价；（3）期权为欧式看涨期权；（4）期权市场和股票市场是完全的。

为了给期权定价，需要设计一个对冲型的资产组合（hedgeportfolios）。该组合包括：（1）买进一定量的现货资产；（2）卖出一份欧式看涨期权；（3）买入现货的量必须足以保证这个组合的投资收益率相当于无风险利率，从而使投资成为可以取得无风险利率收益的零风险投资。例：假定某资产的当前市场价格是80元，预期一年以后价格可能上升到100元，也可能下降到70元。同时假定目前市场上有这种资产的看涨期权，期限一年，执行价格是80元，恰好等于当前的市场价格。这时，投资者可以买入该资产的的2/3，为此要付出80×2/3=53.33元；同时卖出一份看涨期权，并从而有一笔期权费收入C，即看涨期权的当前价格。两者相抵，实际的投资额为53.33元-C。当资产的价格一年以后涨到100元时，期权买方会行权，即按约定的80元价格要求投资者出售资产。由于投资者手中只有该资产的2/3，所以还得按100元的市场价格从市场上购买不足的1/3用于交货，支付的金额是33.33元；同时，得到80元的资产销售收入。在买卖合约和执行合约时，投资者的支出总额是(53.33元-C)+33.33元=86.67元-C。如果暂不考虑C,投资者亏损86.67-80=6.67元。假如一年后资产的市场价格下降到70元，期权买方不会行权。如果不考虑C，投资者亏损（80-70）×2/3=6.67元，即与资产的市场价格上涨到100元时所亏的数量一样。考虑到有期权费收入C，投资者有可能不亏。同时还应获得投资所应得的无风险利率的收益，假设无风险利率为10%，则应有的收益是(53.33元-C)×10%。如果C=6.67+(53.33元-C)×10%C=10.91元则投资者的投资行为是零风险的。为了建立对冲组合，每出售一份看涨期权合约的同时需要购买一定比例的同一资产的现货，这个比例叫做对冲比率。例子中的对冲比率是2/3。正是对冲比率才保证组合的投资收益率相当于无风险利率。（二）单期状态价格定价设：为资产的当前价格；为合约执行时资产价格上涨的幅度；为合约执行时资产价格下降的幅度；为一期的无风险利率；为看涨期权的当前价格；为资产价格上涨时看涨期权的内在价值；为资产价格下降时看涨期权的内在价值；为看涨期权的执行价格；对冲比率。期末资产组合价值：（1）当资产价格上升时：（2）当资产价格下降时：资产价格t=0t=1SSu=uS看涨期权价格t=0t=1Sd=dSCCu=max(0,uS-S)Cd=max(0,dS-S)一期的期权定价模型图示由于投资组合是无风险的，则期末资产的价值应该一样：=

得：（1）投资成本：所投本金的终值：这个终值应等于资产的期末价值：将（1）式代入，并求出C得：此式即为二叉树的期权定价模型。（三）两期状态价格定价（四）多期状态价格定价1．风险中性假设2．多期的风险中性定价模型三、B-S期权定价模型

（一）假设（1）市场无摩擦，即不存在税收和交易成本，所有的资产可以无限细分，没有卖空限制；（2）在期权有效期内，无风险利率和金融资产收益率是恒定不变的，利率按连续复利计算；（3）金融资产在期权有效期内无红利；（4）标的物股票价格的变化遵循对数正态分布的随机过程，即股票价格连续变化、股票的预期收益和收益方差保持不变、在任何时间段股票的收益和其他时间段股票的收益相互独立、任何时间段股票的复利收益率服从正态分布；（5）期权是欧式期权，即在期权到期前不可执行。期权定价理论认为股价行为遵循以股价比例表示的，以期望漂移率为常数的一般化维纳过程，也即只有股价的当前值与未来的预测有关。股价行为可以表示为:

其中:S表示股票价格，dS表示股票价格的微分；u表示股票价格的期望回报率；σ是股票价格期望回报率的标准差，dt表示时间的微分，dz是从均值为0，方差为Δt的正态分布中抽取的一个随机值。布莱克-斯科尔斯的期权定价微分方程:其中为期权价格（二）欧式看涨期权

其中，为欧式看涨期权的价格；为股票的市场价格；为期权的敲定价；为以年计的期权的有效期限；为无风险利率；为标的股票价格的波动率；为标准正态分布在处的值。

第五节有效市场理论

一、有效市场的含义1、有效率的市场是指市场中每一种资产的价格都永远等于其投资价值的市场。即每种资产总是按它公平的价值出售，任何试图寻找被错误估值资产的努力都是徒劳的。2、一个市场相对于一个特定系列的信息是有效率的，如果无法利用这些信息形成买卖决策并牟取超额利润的话。市场的有效性意味着资源配置的有效性和市场运行的有效性。二、有效市场的三种形式Fama（1970）首次提出市场有效性假设的三种形式：弱式有效市场半强式有效市场强式有效市场

1、弱式有效市场指资产价格被假设反映了包括它本身在内的过去历史交易信息。也就是说，投资者不可能是用过去的交易资料（价格与成交量）来预测未来的价格。如果弱有效性假设成立，意味着投资者不能利用技术分析方法获得长期的超额利润。2、半强式有效市场指资产价格被假设反映了所有公开的可用信息，包括交易信息和基础信息。也就是说，任何新的公开信息都会迅速而充分反映在价格中，投资者不可能用公开的新信息来预测未来的价格。如果中强效性假设成立，意味着投资者既不能依靠技术分析，也不能依靠基础分析来赚取超额利润。3、强式有效市场

指资产价格被假设反映了所有公开的和内部的信息。也就是内幕知情者不能从依据他们所知的信息来预测未来价格的变动趋势。如果强效性假设成立，意味着不仅是历史信息、已公布的新信息，而且是可能获得的内部信息都对专业分析者毫无用处，专业投资者的市场价值为零。

有效市场假说的矛盾：

一方面，市场分析者努力去发现低估或高估的资产，决定买入或卖出，促使市场向价值回归，使市场变得相对有效。另一方面，有效的市场却使市场分析者的努力变得徒劳。因此，市场价格的随机波动反映的正是一个功能良好、有效率的市场，而不是非理性的市场。

二、有效市场假说面临的挑战（一）理论上的挑战1、对投资者理性的质疑有效市场假说的第一个假设认为投资者是理性的，能够对证券做出合理的价值评估。行为金融学研究表明，人们的行为往往是厌恶风险、过于自信、易于产生认知偏差。2、对投资者交易无关性的质疑有效市场假说的第二个假设认为如果存在非理性投资者，他们之间的交易将会随机进行，所以他们的错误会相互抵消。席勒（1994）研究表明，由于受到传言的影响或大家相互模仿，非理性的投资行为就有了一定的社会性。3、对套利假说的质疑有效市场假说的第三个假设认为即使投资者会犯类似错误，但市场上的理性套利者会消除前者对价格的影响。行为金融理论认为，现实中的套利充满风险、成本高昂，而且作用有限。

（二）实证检验上的挑战——证券市场上的异象1、投资者个体行为异象（1）投资分散度不足：许多个体投资者在选择投资组合时，其投资的分散度大大低于传统投资组合所要求的程度。（2）过度交易：如果市场有效，证券市场上就不会有交易行为，但事实上，投资者的交易过于频繁。（3）处置效应：投资者总是愿意在盈利或价格上涨时卖出他们所持有的资产，而不愿意卖出或长时间持有那些比他们购买时价格更低的资产。（4）极端选择行为：投资者在购买证券时，要么购买过去最好的证券，要么购买过去最差的证券，这样偏向的购买行为是经常发生。而且，这样倾向的买入行为比卖出行为更频繁，可惜的是这种买入行为比卖出行为更容易失败。

2、总体证券市场中的各种异象（1）股票溢价之谜：股票投资的历史平均收益率相对于债券而言高出很多，但为什么人们在股票上的投资很少？（2）股利之谜：那么为什么大多数的公司选择分派股利？为什么派发现金股利或股利增长时，股价也会上涨？这被称之为“股利之谜”。此现象与MM定理相悖。（3）价格长期偏离价值之谜：虽然股票价格会由于非理性原因偏离内在价值，但长期来看这种偏离会得到纠正而回归到内在价值。股票的内在价值取决于公司未来的盈利能力。但现实的事情却是股票价格长期偏离基础价值。（4）规模效应之谜：无论总收益率还是风险调整后的收益率都与公司大小呈负相关关系。经济学家检验了这种规模效应在比利时、加拿大、日本、西班牙、法国等都存在。特别是日本的小盘股比大盘股的收益率高出8.47%。

（5）一月效应之谜：1904-1974年间纽约股票交易所的股票指数1月份的收益率（3.48%）明显高于其他11个月的收益率（平均为0.42%）。（6）周一效应之谜：投资者通常都假定股票的日回报率在一周的任何交易日都是相同的，但事实证明并非如此，研究表明周一的平均回报率比其他交易日要低得多。（7）封闭式基金折价之谜：A、发起人最初向投资者募集基金时，其溢价幅度约为10%，为什么在有其他基金可买的情况下，投资者会购买相对价格较高的新基金呢？B、在封闭式基金开始交易后的120天内，其交易价格便逐渐降到低于净资产现值的10%，而后折价就成为一种经常的现象。C、当封闭式基金因为全部清算或变为开放式基金时，基金的交易价格会显著上升，折价消失。第六章资产组合与定价结束其中:N（·）为标准正态分布变量的累计概率分布函数；X为期权合同的交割价格；c为欧式看涨期权的价格,P为欧式看跌期权的价格。