张法安等差数列的前n项和性质及应用整理上课用

等差数列的前n项和教学目标：求和公式的性质及应用，Sn与an的关系以及数列求和的方法。教学重点：求和公式的性质应用。难点：求和公式的性质运用以及数列求和的方法可见d≠0时，Sn是关于n的缺常数项的二次函数，其二次项系数是公差的一半。一次项是首项减去公差的一半Sn=An2+Bn复习回顾

形式1:形式2:等差数列通项公式共有几项？P313题1．一些常见数列的前n项和公式：(1)1＋2＋3＋4＋…＋n＝(2)1＋3＋5＋7＋…＋2n－1＝(3)2＋4＋6＋8＋…＋2n＝

.n2n2＋n题组自测答案：－20131．数列{(－1)n(2n－1)}的前2013项的和S2013＝________.

练习：同基练P30,1-47、8P336●

如果一个数列的前n项和为其中p、q、r为常数，且p≠0，那么这个数列一定是等差数列吗？（1）若r≠0，则这个数列一定不是等差数列.（2）若r＝0，则这个数列一定是等差数列.性质1、{an}是等差数列(d≠0)Sn=an2+bn(a,b为常数)同练P327若d＝0?通项如何2.等差数列{an}前n项和的性质等差数列的前n项的最值问题例1.已知等差数列{an}中,a1=13且S3=S11,求n取何值时,Sn取最大值.解法1由S3=S11得∴d=－2∴当n=7时,Sn取最大值49.等差数列的前n项的最值问题例1.已知等差数列{an}中,a1=13且S3=S11,求n取何值时,Sn取最大值.解法2由S3=S11得d=－2<0∴当n=7时,Sn取最大值49.则Sn的图象如图所示又S3=S11所以图象的对称轴为7n113Sn等差数列的前n项的最值问题例1.已知等差数列{an}中,a1=13且S3=S11,求n取何值时,Sn取最大值.解法3由S3=S11得d=－2∴当n=7时,Sn取最大值49.∴an=13+(n-1)×(-2)=－2n+15由得∴a7+a8=0等差数列的前n项的最值问题例1.已知等差数列{an}中,a1=13且S3=S11,求n取何值时,Sn取最大值.解法4由S3=S11得∴当n=7时,Sn取最大值49.a4+a5+a6+……+a11=0而a4+a11=a5+a10=a6+a9=a7+a8又d=－2<0,a1=13>0∴a7>0,a8<0等差数列前项和的最值问题：

P31视野拓展1，2求等差数列前n项的最大(小)的方法方法1:由利用二次函数的对称轴求得最值及取得最值时的n的值.方法2:利用an的符号①当a1>0,d<0时,数列前面有若干项为正,此时所有正项的和为Sn的最大值,其n的值由an≥0且an+1≤0求得.②当a1<0,d>0时,数列前面有若干项为负,此时所有负项的和为Sn的最小值,其n的值由an≤0且an+1≥

0求得.等差数列的前n项的最值问题一、a1>0,d>0有最大还是最值呢？A1<0,d<0有最大还是最值呢？练习:已知数列{an}的通项为an=26-2n,要使此数列的前n项和最大,则n的值为()A.12B.13C.12或13D.14C同步练习P32基础巩固2，3、8能力2、4性质2、等差数列{an}的前n项和为Sn,则(n为奇数)(n为偶数)解:性质3:Sn,S2n－Sn,S3n－S2n,…也在等差数列,公差为在等差数列{an}中,其前n项的和为Sn,则有n2d方法一：方程思想方法二：成等差数列P364性质4:若Sm=p,Sp=m(m≠p),则Sm+p=性质5:若Sm=Sp(m≠p),则Sp+m=性质6:(1)若项数为偶数2n,则S2n=n(a1+a2n)=n(an+an+1)(an,an+1为中间两项),此时有:S偶－S奇=,0nd－(m+p)P33，5题P33,7题性质7:(1)若项数为奇数2n－1,则S2n-1=(2n－1)an(an为中间项),此时有:S偶－S奇=

,两等差数列前n项和与通项的关系性质9:若数列{an}与{bn}都是等差数列,且前n项的和分别为Sn和Tn,则性质8:为等差数列.anP337题P335题1.若一个等差数列前3项和为34，最后三项和为146，且所有项的和为390，则这个数列共有______项。2.已知两个等差数列{an},{bn}，它们的前n项和分别是Sn,Tn，若热身练习比值问题整体思想例1.设等差数列{an}的前n项和为Sn,若S3=9,S6=36,则a7+a8+a9=()A.63B.45C.36D.27例2.在等差数列{an}中,已知公差d=1/2,且a1+a3+a5+…+a99=60,a2+a4+a6+…+a100=()A.85B.145C.110D.90BA3.等差数列{an}前n项和的性质的应用例3.一个等差数列的前10项的和为100,前100项的和为10,则它的前110项的和为

.－110例4.两等差数列{an}、{bn}的前n项和分别是Sn和Tn,且求和.等差数列{an}前n项和的性质的应用P32,7题例5.一个等差数列的前12项的和为354,其中项数为偶数的项的和与项数为奇数的项的和之比为32:27,则公差为

.例6.(09宁夏)等差数列{an}的前n项的和为Sn,已知am-1+am+1-am2=0,S2m-1=38,则m=.例7.设数列{an}的通项公式为an=2n-7,则|a1|+|a2|+|a3|+……+|a15|=

.510153等差数列{an}前n项和的性质的应用例8.设等差数列的前n项和为Sn,已知a3=12,S12>0,S13<0.(1)求公差d的取值范围;(2)指出数列{Sn}中数值最大的项,并说明理由.解:(1)由已知得a1+2d=1212a1+6×11d>013a1+13×6d<0等差数列{an}前n项和的性质(2)∵∴Sn图象的对称轴为由(1)知由上得即由于n为正整数,所以当n=6时Sn有最大值.∴Sn有最大值.练习1已知等差数列25,21,19,…的前n项和为Sn,求使得Sn最大的序号n的值.练习2:求集合的元素个数，并求这些元素的和.练习3：已知在等差数列{an}中,a10=23,a25=-22,Sn为其前n项和.（1）问该数列从第几项开始为负？（2）求S10（3）求使Sn<0的最小的正整数n.(4)求|a1|+|a2|+|a3|+…+|a20|的值课堂小结1.根据等差数列前n项和，求通项公式.2、结合二次函数图象和性质求的最值.3.等差数列{an}前n项和的性质性质1:Sn,S2n－Sn,S3n－S2n,…也在等差数列,公差为在等差数列{an}中,其前n项的和为Sn,则有性质2:若Sm=p,Sp=m(m≠p),则Sm+p=性质3:若Sm=Sp(m≠p),则Sp+m=性质4:(1)若项数为偶数2n,则S2n=n(a1+a2n)=n(an+an+1)(an,an+1为中间两项),此时有:S偶－S奇=