第3章 流体动力学

第3章

流体动力学流体动力学主要研究流体在外力作用下的运动规律。

实际流体有粘性，运动流体中存在粘性力,研究起来复杂。为简单起见，先从理想流体（无粘性流体）开始。流场：充满运动流体的空间。

动力学：研究流体质点在流场中所占有的空间的一切点上，运动参数（速度、加速度、密度、压力、粘性力）随时间和空间位置的分布和连续变化规律。3.1.1研究流体运动的两种方法

欧拉法

——出发点是流场中的空间点，研究流体质点通过空间固定点时的运动参数随时间的变化规律。以速度作为描述流体在空间变化的变量，即主要研究流体速度在空间的分布。在研究流体运动时得到广泛应用。↑↓3.1流体运动的基本概念

拉格朗日法——出发点是流体空间内每一流体质点的运动轨迹以及运动参数（速度、压强、加速度等）随时间的变化。综合所有流体质点的运动，得到整个流体的运动规律。研究流体的波动和振动问题时常用此法。研究流体运动时，希望了解整个流场的速度分布，压力分布及其变化规律

速度可表示为空间（x，y，z）及时间（t）的函数,即加速度(以x方向为例):将上式两端除以dt,得↑↓（3.1）（3.2）压强也可表示为类似可得到y和z方向的(全)加速度加速度可进一步表示为↑↓当地加速度（时变加速度）,即通过空间固定点的流体质点速度随时间的变化率。

迁移加速度

（位变加速度）

，即同一瞬间流体质点从一个空间点转移到另一个空间点的速度变化率。3.1.2稳定流与非稳定流非稳定流--运动参数随位置、时间变化。

稳定流--运动参数只随位置变化，不随时间变化。

↑↓稳定流的数学条件：

示例:↑↓3.1.3流场的描述1、

迹线：同一质点一段时间内运动的轨迹线。每一质点有一迹线，与时间无关。观看录像1，22、

流线：同一时刻，不同质点的流动方向线。如下图示。↑↓流线含义：

（1）流场中某时间的一条空间曲线；

（2）在该线上各流体质点的速度方向与该曲线的切线方向相重合。观看录像流线特征：（1）非稳定流时，随时间改变；

（2）稳定流时，不随时间改变(此时流线上质点的迹线与流线重合)；（3）流线不能相交，也不能转折；（4）流线疏密的含义：反映流速大小。

↑↓3.1.4流管与流束

流线只能表示流场中质点的流动参量，但不能表明流过的流体数量。

流管--取流场内一封闭线l，在曲线上各点作流线，构成的管状表面。↑↓

流束--在流管内取一微小曲面dA，通过曲面dA上各点作流线，这一实心流线束叫流束。有效断面－曲面dA与流束中每一根流线都正交，则dA称为有效断面或有效流通截面。↑↓3.1.5流量和平均速度

流量：单位时间流过的流体的量

质量流量体积流量微小流束的体积流量总流的体积流量质量流量流管中单位时间流过流量

工程上管道中流体流速多指平均流速

于是有：↑↓实际流体具有粘性，因此任一有效断面上各点的速度大小是不相等的。图3.6为流体在圆管中的速度分布曲线，为了计算方便，引入平均流速的概念。3.2

连续性方程流体是连续介质，流体流动时连续地充满它所占据的空间。根据质量守恒定律，对于空间固定的封闭曲面，流入流出的流体质量差等于流体质量累积。反应这个原理的数学关系式就是连续性方程。↑↓3.2.1直角坐标系的连续性方程推导方法：微元平衡法建立控制体的质量守恒：(图3.7)↑↓3.7D点坐标（x，y，z）

边长dx、dy、dz设D点处流体质点速度为ux，uy，uz。密度为ρ。

微元控制体的质量守恒：

单位时间输入微元体的质量—输出的＝累积单位时间内、x方向：

时间dt内，x方向流入流出之差：

同理，y方向：

z方向：

↑↓dt时间内x、y、z三方向流入流出差的总和：

质量累积：

累积（变化）：

输入输出差=累积［即（3.22）=（3.23）］：

↑↓对单位时间、单位空间：

（3.25）式即是流体的连续性方程。所有研究的连续性流体都要满足这个方程。

物理意义：流体在单位时间内流经单位体积空间输出与输入的质量差与其内部质量变化的代数和为零。是质量守恒定律在流体力学中的具体体现。（3.25）式展开：

下面化简：

↑↓∵ρ＝f(x，y，z，t)是位置、时间的函数。有全微分

∴对时间的全导数

(b)代入(a)，方程两边同除以ρ:

引入哈密顿算子：

所以又:↑↓则(3.25)变为：

连续性方程给出了流体运动的速度场必须满足的条件，这是一个运动学方程。加上后面讲的流体动量传输方程（流体在运动中受的力与流动参量之间的关系）就可以求解流体流动问题。几种简化条件：

1）对于可压缩流体稳定流动：

↑↓∴（3.25）变为：

即可压缩性流体稳定流动的三维连续性方程。

上式的物理意义：稳定流时单位时间流经单位空间流出与流入的质量相等。或：空间体内质量保持不变。2)对于不可压缩流体：ρ＝常数（3.25）变为：

（3.27）即不可压缩流体流动的空间连续性方程。

↑↓（3.27）物理意义：对不可压缩流体，单位时间单位空间内流体体积保持不变。

3.2.2一维总流的连续性方程

一维流动：

uy=uz=0

设有一微小流束（图3.8），对可压缩稳定流，一流束两断面面积分别为dA1、dA2，应用流束的连续性方程，有:流入=流出↑↓则有（3.33）式物理意义：对可压缩流体稳定流，沿流程的质量流量保持不变。

对不可压缩流体：ρ=常数。（3.31）变为：

（3.34）、（3.35）式物理意义：对不可压缩流体沿流程体积流量不变，即断面大，流速小，断面小，流速大。↑↓取ρ1=ρ1均,ρ2=ρ2均,对（3.31）式两边积分：

设v1，v2是平均速度，A1，A2是有效断面面积：

或

3.3理想流体动量传输方程－欧拉方程

↑↓

连续性方程是流体运动速度场必须满足的条件，是一个运动学方程。要处理流体流动问题还要有流体在运动中所受的力、动量、流动参量之间的关系，即理想流体动力学方程。方程推导依据：动量守恒定律。

作用在控制体上的合外力=控制体的质量×加速度

动量方程是牛顿运动第二定律F=ma在流体流动现象上的应用，即流体运动方程，因作用力与动量率相当，故称为动量方程。ma=F因次分析

↑↓作用在微元体上的力取微元体dxdydz：微元体中心坐标A(x，y，z)(图3.10)x方向：

（1）压力：

↑↓（2）体积力：

设单位质量力在x方向分量为X,则微元体x方向上体积力：Xρdxdydz（3）流体加速度：

同理可得：

（3.38）式即理想流体的动量平衡方程，即欧拉方程。

↑↓适用于：可压缩、不可压缩流体，稳定流，不稳定流。

（3.38）式用矢量表示：

式中W—质量力，W=iX+jY+kZ;

－实质导数，即加速度。若单从ｘ轴计算，就是式（３.5）。↑↓－压力梯度，压力本身是个标量，而压力梯度是矢量。

4个变量ux，uy，uz，P，三个动量方程，加上连续性方程（3.25）,可求解流体流动问题。方程（3.40）中：一般情况下X、Y、Z是已知的，对不可压缩流体ρ=常数。代入（3.38）得：

↑↓3.4实际流体动量传输方程：纳维尔—斯托克斯方程

↑↓微元体受力分析(x方向)：

微元体A点坐标x、y、z，边长dx，dy，dz。应力下标的意义:i：表示应力作用面的法线方向；j:表示应力方向。↑↓法向受力:切向受力：

↓↑体积力：同理想流体，x方向分量Xρdxdydz惯性力：ma(x方向)→

将上述各力代入x方向的动量平衡方程

max=F，有（体积力）（法向力）（切向力）（惯性力）两边同除以dxdydz:

同理可得y、z方向的方程，此即实际流体动量传输方程。

↑↓(3.41)（3.42）式与（3.38）式类似，只是多了切应力项。

↑↓考虑到流体直线变形会产生附加法向应力，其方向与直线变形方向相反，大小为动力粘度与直线变形速度乘积之两倍。将式（3.44）和式（3.43）代入式（3.42）中可得

运用广义牛顿粘性定律，即：将一维牛顿粘性定律推广到三维：对于不可压缩流体ρ=常数，根据连续性方程，上式最后一项为0：

上式两边同除以ρ，

↑↓同理可得y、z方向方程。(3.45)应用拉普拉斯算子：

同理可得y，z方向的方程。

（3.47）式即实际流体的动量守恒方程，又称纳维尔—斯托克斯方程（N—S方程）。

矢量表达示：上式可改为用实质导数符号表示u对t的三个导数，则上式可改写为↑↓

如果是无粘性流体：μ＝0，则（3.47）式变为（3.38）（3.39）式。物理意义：压力+粘滞力+质量力（或重力）=质量×加速度。

（3.47）改写为：

↑↓作业：P602，3，4↓↑参考答案：不连续3.vB=4.5m/s,vD=10.9m/sv1=0.625m/s,v2=2.5m/s

Qm=491kg/s第3章复习思考题1、试给出液体加速度的表达式，并说明什么是当地加速度和迁移加速度？2、写出稳定流的数学表达式。3、推导连续方程的基本依据是什么？写出连续方程的物理意义。4、试从流体的连续性方程推导出不可压缩稳定流时的连续性方程。↑↓3.5理想流体和实际流体的伯努利方程↑↓（2）流体不可压缩ρ＝常数；

3.5.1理想流体沿流线的伯努利方程

流体动量守恒方程在一定条件下的积分形式，表述运动流体所具有的能量以及各种能量之间的转换规律。

积分条件：（1）单位质量力(X，Y，Z)定常有势，迹线方程：稳定流时，迹线与流线重合，对流线来说同样满足此关系。（3）流动是稳定流：↑↓ρ＝常数，（3.49）式可写为：

（3.50）代入（3.48）得：

（3.49）分别乘以dx，dy，dz，相加：

(3.48)动量方程：（3.38）（3.49）式即单位质量流体所受的外力和运动关系的全微分方程。沿流线（流程）积分（点乘dl）：

(3.51)↑↓对同一流线上任意两点1和2有：（3.52）两边同除以－g：对于重力场：X=0Y=0Z=－g

(3.51)式即理想流体运动微分方程的伯努利积分，表明在有势质量力的作用下，理想不可压缩流体作稳定流时，沿流程不变。（3.52）即是只有重力作用下的稳定流动、理想的不可压缩流体沿流线的运动方程式的积分形式，称为伯努利方程。↑↓代入（3.51）得：3.5.2实际流体沿流线的伯努利方程

↑↓和讨论理想流体的伯努利方程一样，实际流体运动微分方程的积分问题仍在同样特定条件下进行讨论。实际流体N-S方程质量力有势当ρ为常数↑↓全微分形式因此可得将上述三项代入移项后可得↑↓将式（3.56）中的各个方程，对应乘以dx、dy、dz，然后相加，得式中为单位质量实际流体粘性切应力所做的功，粘性切应力方向与流体流动方向相反，故所做的功应为负功。令式中

WR：阻力功(J/kg)，即单位质量流体由于粘性而产生的切向力（阻力）所作的功。

将式（3.58）代入式（3.57），得↑↓将上式沿流线积分，得式中WR2－WR1：单位质量实际流体自点1到点2过程中内摩擦力作功的增量，单位:J/kg上式就是实际流体运动微分方程的伯努利积分。若在同一流线上任取1、2两点，可得当质量力仅为重力伯努利方程的几何意义、物理意义↑↓令动到点2的过程中，内摩擦力做功所消耗的损失水头，单位：m。则上式可写成表示单位质量实际流体自点1运或上式就是实际流体的伯努利方程。即流体在流动过程中沿程总比能相等或总水头相等。几何意义：

式中Z---位置水头;

H---总水头;↑↓m物理意义：

——比位能;

——比压能,即单位质量流体流经该点时所具有的压力能;

——比动能;式中C——

总比能E

;↑↓--比能量损失，单位质量流体的摩擦阻力功。↑3.5.3实际流体总流的伯努利方程

前面讲的是对于流束的伯努利方程。

通过一个流道的流体的总流量是由许多流束组成的，整个流道内总流的伯努利方程即是在总流道截面内积分。

↓缓变流区——流道中流线之间的夹角很小，且流线趋于平行近似直线。设有不可压缩实际流体做稳定流动，如图，取一微小流束，其伯努利方程为沿有效断面对流量积分用平均参量表示(推导过程略)，结果为：

hWg---通过流道截面1与2之间的距离时，单位质量流体的平均能量损失;（3.65）式即实际流体经流道流动的伯努利方程。

α1，α2---动能修正系数，式中

伯努利方程与连续性方程和后面要讲的动量方程一起，可解决许多工程问题。

↑↓一般α=1.05-1.10，工程计算中可取α=13.6

伯努利方程的应用↑↓3.6.1应用条件

2)流体运动必须是稳定流；

5)两有效断面符合缓变流条件（两个断面之间可以不是缓变流区）；

4)沿程流量不变。如有分支，按总能量守恒列出；

6)两有效断面间没有能量输入输出。如有，应加上，如（3.65）式可写为：1)不可压缩流体（气流速度＜50m/s）；

↑↓3)只在重力作用之下（质量力只有重力）；

↑3.6.2毕托管

↓用于测量运动流体中某点流速的仪器。在1、2断面列伯努利方程在弯管端头处u2=0↑↓当1、2两点很近，忽略其间的能量损失h’w=0则即式中p1称为静压；称为动压；称为全压；由全压和静压之差可求出u即毕托测速管ρ——被测流体的密度；ρ1——U形压差计内液体的密度。压差计

将全压管和静压管分别接压差计。↑3.6.3文丘里管

↓用于测量管路中流体流量的仪器。由渐缩管、喉管和渐扩管组成。在1－1、2－2断面列总流的伯努利方程：根据连续性方程，两个断面处流量相等代入（3.71）式取动能修正系数d1d2↓↑↓由此得设则式（3.72）可写成或式中对于某一固定尺寸的文丘里管，C值为常数。↑↓理想情况下的流量为若考虑能量损失，应乘以修正系数μμ值由实验确定，通常为0.95～0.99工程上常用的还有孔板流量计、喷嘴流量计等。例3.3注意：第一个断面选在钢液上表面（自由表面），可以利用z1=0及v1≈0使方程简化。根据(3.65)式:有:↓↑忽略沿程损失水头hw=0取动能修正系数因此有由总质量平衡原理将(a)式代入(b)式，得忽略柱塞的体积，有包内金属质量由(c)式得↓↑由(d)式得联立(e)式和(f)式化简根据题意，按下列范围积分↓↑积分后可得因此金属液的浇注时间↓↑例3-4（1）因流速不高，流程短，忽略能量损失；（2）低压空气，可视为不可压缩无粘流体。在1－1，2－2断面列总流伯努利方程式：↑↓测量风量风机流量常用的集流管试验装置。z1=z2=0,v1=0,取动能修正系数水的重度故风量↑↓上式化简为3.7

稳定流的动量方程及其应用↑↓

工程上有时需要了解运动流体与固体边界面上的相互作用力，这时伯努利方程就不适用了。用动量方程可以解决此类问题。

3.7.1稳定流动的动量方程

根据质点系的动量定律：质点系动量对时间的微商，等于作用在该质点上诸外力之和，即：

将这一理论引入到稳定流动中，可得到稳定流动的动量方程。如果用符号M表示动量，则：↑↓

动量的变化就是流速段1’－２’的动量与流速段1－２的动量两量之差：

流道中连续流动的流体的某一定界面区称为分离体（控制体），分离体的界面叫做分离面（控制面）。↑↓↑↓将上式推广到总流中去，得按稳定流的连续性条件，有用平均流速v代替实际流速u，动量变化率可写为其中式中，β为动量修正系数，由断面上流速分布的均匀程度决定。在直管的高速水流中β＝1.02～1.05，工程上常取1。引入动量修正系数推导结果：不可压缩流体稳定流动总流的动量方程：式中Q：体积流量

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