第2章 逻辑代数基础

第2章逻辑代数基础本章任务：1.学习逻辑函数的表示方法；2.逻辑代数的基本公式、常用公式和重要定理；3.用公式化简逻辑函数的方法；4.用卡诺图化简逻辑函数的方法；5.用Multisim仿真软件进行逻辑函数的化简和变换；第2章逻辑代数基础2.1概述2.2逻辑代数中的三种基本运算2.3逻辑代数的基本公式和常用公式（无图）2.4逻辑代数的基本定理（无图）2.5逻辑函数及其表示方法2.6逻辑函数的公式化简法（无图）2.7逻辑函数的卡诺图化简法2.8具有无关项的逻辑函数及其化简Sec.2.1概述1.变量与函数2.逻辑关系的描述sX=0（断开）X=1（闭合）ssx开关符号sEXLF=L（x）Sec.2.2逻辑代数中的三种基本运算1、基本逻辑（关系）运算2、与、或、非的图形符号3、其他逻辑运算关系1.基本逻辑（关系）运算1.与逻辑运算2.或逻辑运算3.非逻辑运算图1.2.4非逻辑门电路的符号(a)电路图(b)真值表(c)用0、1表示的真值表(d)与逻辑门电路的符号图2.2.1与逻辑运算

(a)电路图(b)真值表(c)用0,1表示的真值表(d)或逻辑门电路的符号图2.2.2或逻辑运算

图2.2.3非逻辑运算(a)电路图(b)真值表(c)用0、1表示的真值表

图2.2.4非逻辑门电路的符号在输入端用小圆圈表示非运算

(b)在输出端用小圆圈表示非运算2.

与、或、非的图形符号3.其他逻辑运算关系1.与非F=(AB)’2.或非F=(A+B)’3.与或非F=(AB+CD)’4.异或F=A⊕B5.异或非（同或）F=(A⊕B)’

复合逻辑的图形符号和运算符号小结：16

种逻辑关系ABF0F1F2F3F4F5F6F70001101100000001001000110100010101100111F0=0F1=ABF2=(A⌒B)’F3=AF4=(B⌒A)’F5=BF6=A⊕BF7=A+BABF8F9F10F11F12F13F14F150001101110001001101010111100110111101111F8=(A+B)’F9=(A⊕B)’F10=B’F11=B⌒AF12=A’F13=A⌒BF14=(AB)’F15=12.3逻辑代数的基本公式和常用公式1.逻辑代数的基本公式：2.常用公式：3.MorganTheory的符号说明：1.逻辑代数的基本公式★L-1.P.41

2.常用公式

序号

公式1A+AB=A2

A+A’B=A+B3

AB+AB’=A4A(A+B)=A5

AB+A’C+BC=AB+A’C

AB+A’C+BCD=AB+A’C6

A(AB)’=AB’;A’(AB)’=A’3.MorganTheory的符号说明：＆≥1＆≥1≥1＆≥1＆AB（AB）’ABABABABABABABA’＋B’（A＋B）’A’B’AB（A’＋B’）’A＋B（A’B’）’等效等效等效等效摩根定理转换2.4

逻辑函数及其表示方法1、用逻辑函数描述事物2、用逻辑函数描述逻辑电路3、逻辑函数描述应用示例返回

1.用逻辑函数描述事物

返回图2.5.1举重裁判电路主裁边裁边裁图2.5.1电路的逻辑图

(逻辑函数表达式)图2.5.4[例2.5.3]的逻辑图画出

Y=(A+B’C)’＋A’BC’＋C的逻辑电路图。B’cA’BC’(A＋B’C)’

2.用逻辑函数描述逻辑电路

图2.5.5[例2.5.4]的逻辑图写出上图的逻辑函数。解：Y=[(A+B)’+(A’+B’)’]’=(A+B)(A’+B’)=AB’+A’B=A⊕B(A+B)’(A’+B’)’3.逻辑函数描述应用示例L-1.P.48Example-1:

Three-waylightcontrolAssumethatalargeroomhasthreedoorsandthataswitchneareachdoorcontrolsalightintheroom.Ithastobepossibletoturnthelightonoroffbychangingthestateofanyoneoftheswitches.Assumethatthelightisoffifallswitchesareopen.例1.用3个开关控制一个灯。

一个过厅有3个门，每个门旁边有一个控制灯的开关，任何一个开关改变状态（接通或断开）都可以控制灯的亮或灭。设初始状态开关全是断开的，灯处于灭的状态。设计这个灯控电路。

Analysis

①Closinganyoneofswitcheswillturnthelighton.Thenturningonasecondswitchwillhavetoturnoffthelight.②Thusthelightwillbeonifexactlyoneswitchisclosed,anditwillbeoffiftwo(orno)switchesareclosed.③Ifthelightisoffwhentwoswitchesareclosed,thenitmustbepossibletoturnitonbyclosingthethirdswitch.

分

析

①.任何一个开关闭合（接通）都可以使灯亮，第2个开关闭合时一定使灯灭。②.只要正确地使开关闭合，灯就一定能亮，如果两个（或者没有）开关被闭合，灯就灭。③.如果当两个开关闭合时，灯是灭的，那末，闭合第个开关灯一定亮。

输入（开关状态）

输出（灯的状态）

输出

X1x2x3

f逻辑关系000

001

010011

100101110

1110

1

10

100

1TruthtablefortheThree-waylightcontrolX’1X’2X’3X’1X’2X3X’1X2X’3X’1X2X3X1X’2X’3X1X’2X3X1X2X’3X1X2X3Three-waylightcontrolLogicDiagram＆＆＆＆≥1X1X2x3f＆＆＆＆≥1X1X2x3f逻辑图结构总线结构BUSExample-2:MultiplexercircuitSupposethattherearetwosourcesofdata,providedasinputsignalsx1andx2.Thevaluesofthesesignalschangeintime,perhapsatregularintervals.Thussequencesof0sand1sareappliedoneachoftheinputsx1andx2.Wewanttodesignacircuitthatproducesanoutputthathasthesamevalueaseitherx1orx2,dependentonthevalueofaselectioncontrolsignals.Example-2:Multiplexercircuit

设有两个做信号用的数据源x1和x2，信号值同时改变，并允许它们有规则的间隔。这样，0s和1s就顺序地加到每个输入上。

希望设计一个电路，能够产生与x1或x2相同的输出，取决于选择控制信号s。Analysis:Thecircuitshouldhavethreeinputsx1andx2,ands.Assumethattheoutputofthecircuitwillbethesameasthevalueofinputx1ifs=0,anditwillbethesameasx2ifs=1.分析

这个电路应该有3个输入x1、x2和s。设如果s=0，电路的输出与输入x1的值相同，而如果s=1，那末输出等于x2。Example3:Designanillegal—combinationencodeincludednotdetectorforan8—4—2—1BCDsignal.（引出最小项和最大项的概念）2.5.逻辑函数的标准形式1.最小项与最大项2.最小项与最大项的性质3.逻辑函数的两种标准形式1.最小项与最大项

例2.4.1.用3个开关控制一个灯。说明如何写出逻辑函数的标准形式设3个开关分别为：X1＝A，x2＝B，x3＝C，真值表如下：

输入（开关状态）

输出（灯的状态）

输出

AB

C

f最小项最大项000001010011100101110111

0

1

10

100

1

TruthtablefortheThree-waylightcontrolA’

B’

C’

A’B’CA’BC’A’BCAB’C’AB’CABC’ABCA+B+CA+B+C’A+B’+CA+B’+C’A’+B+CA’+B+C’A’+B’+CA’+B’+C’2.最小项与最大项的性质⑴.最小项的性质：①.在输入变量的任何取值下必有一个最小项，且仅有一个最小项值为1。②.全体最小项之和为1。③.任意两个最小项之积为0。④.相邻的两个最小项之和可合并成一项，并消去一个公因子。⑵.最大项的性质：①.在输入变量的任何取值下必有一个最大项，且仅有一个最大项值为0。②.全体最大项之积为0。③.任意两个最大项之和为1。④.只有一个变量不同的两个最大项的乘积等亍各相同变量之和。

⑴.最小项(mi)＝(Mi)’

最大项；

⑵.F∑（mi

）＝F∏（Mk）（i≠k）

最小项与最大项的转换关系3.逻辑函数的两种标准形式⑴.最小项积之和标准形式：

f=∑（mi）⑵.最大项和之积标准形式：

f’=∏（Mi）F=

A’B’C+A’BC’+AB’C’+ABC

（m1）（m2）（m4）（m7）以原变量表示灯亮为“1”，反变量表示灯灭为“0”。以原变量表示灯灭为“0”，反变量表示灯亮为“1”。F’=

A’B’C’+A’BC+AB’C+ABC’F=(

A’B’C’+A’BC+AB’C+ABC’)’

＝

(

A’B’C’)’(A’BC)’(AB’C)’(ABC’)’＝（A＋B＋C

）（A＋B’＋C’

）（A’＋B＋C’）（A’＋B’

＋C）（M0）（M3）（M5）（M6）⑴.最小项积之和标准形式：⑵.最大项和之积标准形式：mi(sop)与Mk(pos)的区别＆＆＆＆≥1X1X2x3f逻辑图结构—1（sop）≥1≥1≥1≥1＆X1X2x3f逻辑图结构—2（pos）ABCABCF=

A’B’C+A’BC’+AB’C’+ABC（A＋B＋C

）（A＋B’＋C’

）（A’＋B＋C’）（A’＋B’

＋C）2.6逻辑函数的公式化简法L-1,P.471.公式化简法⑴.何为公式化简法？⑵.最简式的概念：⑶.化简的目的：2.逻辑函数的公式化简法⑴.并项法：利用AB+AB’=A⑵.吸收法：利用A+AB=A⑶.消项法：利用AB+A’C+BC=AB+A’C⑷.因子消去法：利用（1+A）或（B+B’）⑸.配项法：利用A+A=A,A+A’=1；2.7

逻辑函数的卡诺图化简法1.K－图的本质及构成原则2.逻辑函数的卡诺图表示法3.用K－图化简逻辑函数⑴化简的依据⑵化简的方法⑶化简的步骤⑷化简的规则图1.7.1二到五变量最小项的卡诺图（a）两变量（A、B）最小项的卡诺图（b）三变量（A、B、C）最小项的卡诺图（c）四变量（A、B、C、D）最小项的卡诺图（d）五变量（A、B、C、D、E）最小项的卡诺图图1.7.2例1.7.1的卡诺图图1.7.3例1.7.2的卡诺图图1.7.4最小项相邻的几种情况（a）、（b）两个最小项相邻（c）、（d）四个最小项相邻（e）八个最小项相邻图1.7.5例1.7.3的卡诺图图1.7.6例1.7.4的卡诺图1.卡诺图的构成及表示方法000

001①011③010②100④101⑤111⑦110⑥AABMSBABCCCBCA构成原则：任何相邻的两个小方格只有一个变量互为反变量。LSB0

二到五变量最小项的卡诺图

（a）两变量（A、B）最小项的卡诺图

（b）三变量（A、B、C）最小项的卡诺图

（c）四变量（A、B、C、D）最小项的卡诺图

（d）五变量（A、B、C、D、E）最小项的卡诺图A’ABB’B’CC’DD’D’A’AC’BB’B’CD’D’DE’E’E’2.逻辑函数的卡诺图表示法F=m1+m4+m6+m8+m9+m10+m11+m15由KarnaughMap写出逻辑函数1111F＝A’B’C＋A’BC’＋AB’C’＋ABC3.KarnaughMap化简方法（1）.KarnaughMap化简的原则

最小项相邻的几种情况

（a）、（b）两个最小项相邻

（c）、（d）四个最小项相邻

（e）八个最小项相邻CDD（2）.卡诺图化简法原函数

方案1方案2的卡诺图原函数Y=ABC+ABD+ACD+CD+ABC+ACD小结1.化简的依据2.化简的方法3.化简的步骤4.化简的规则2.8具有无关项的逻辑函数及其化简返回1、约束项、任意项和逻辑函数式中的无关项2、无关项在化简逻辑函数中的应用2023/2/3561、约束项、任意项和逻辑函数式中的无关项举例说明：三个逻辑变量A、B、C分别表示一台电动机的正转、反转和停止的命令，A=1表示正转，B=1表示反转，C=1表示停止。可能取值只有001，010，100当中的某一种。2023/2/357约束项：这些恒等于0的最小项叫做约束项。000，011，101，110，111中的任何一种都不可能出现，可表示为：或2023/2/358任意项：在输入变量的某些取值下函数值是1是0皆可，并不影响电路的功能。在这些变量取值下，其值等于1的那些最小项成为任意项。约束项和任意项既可以写入函数式，也可从函数式中删掉，不影响函数值。因此约束项和任意项又统称为函数式中的无关项。在真值表和卡诺图中用×表示无关项。2023/2/359约束条件：××10××××00011001ABCD0001111000011110Y解：2、无关项在化简逻辑函数中的应用2023/2/360100×0000111××1××ABCD0001111