第3章 回归预测法

第3章回归预测法3.1一元线性回归预测法3.2多元线性回归预测法3.3非线性回归预测法3.4应用回归法应注意的问题回总目录3.1一元线性回归预测法一、建立模型一般式预测式满足假定条件：（1）是一个随机变量；（2）；（3）；（4）各间相互独立；（5）与自变量无关。二、估计参数（普通最小二乘法）

b1=

b0=回本章目录回总目录三、进行检验1.标准误差SE=2.可决系数或3.相关系数

回本章目录回总目录4.回归系数显著性检验tb=b/sb~t(n-2)5.F检验6.德宾-沃森统计量（D-W)式中：（1）在D-W小于等于2时D-W<dL,认为ui存在正自相关；D-W>dU,认为ui无自相关；如dL

<D-W<

dU,不能确定ui是否有自相关。回本章目录回总目录（2）在D-W大于2时如4-D-W<dL，认为ui存在负自相关；如4-D-W>dL，认为ui无自相关；如dL<4-D-W<dU,不能确定ui是否有自相关。四、进行预测近似置信区间：精确置信区间：五、案例分析某饮料公司发现，饮料的销售量与气温之间存在着相关关系，即气温越高，人们对饮料的需求量就越大。下表列出了饮料销售量和气温的观察值。如果预计明天的气温是摄氏35度，是预测饮料的销售量。回本章目录回总目录饮料销售量的回归分析表时期销售量（箱）气温（度）12345678910430335520490470210195270400480302135423720817352515027011201650900119035151100160-20093664225100493611006442500202519600121008100289003422512100400100004093224585264773121952834583614411693844129649104040169336414161总和总和/n符号3800380270279855985.51012101.21299501299533879回本章目录回总目录案例分析（续）1.建立模型yi=b0+b1xi+ui2.估计参数b1=9855/1012=9.74b0=380-9.74*27=117y（35）=117+9.74*35=458（箱）3.进行检验（1）标准误差SE=SQR(33897/(10-2))=65（箱）（2）可决系数R2=1-33897/129950=0.74（3）相关系数r=SQR(R2)=SQR(0.74)=0.86（4）回归系数显著性检验tb=b/Sb=9.74/(65/31.81)=4.75>t0.05(8)=2.306因此，回归系数b显著。回本章目录回总目录（5）F检验=129950-33897=96053F=96053/(33897/8)=22.67>F0.05(1,8)=5.32表明回归模型显著。（6）D-W检验D-W=1.94介于1.5~2.5之间，表明没有显著自相关问题。4.进行预测回本章目录回总目录3.2多元线性回归预测法一、估计参数及预测在表上计算并代入方程组可解得即得模型若预计明天比赛的气温为35摄氏度，体育节目解说员预计比分差为8，那么，预测这次比赛的饮料销售量为回本章目录回总目录二、拟合优度和置信区间（一）拟合优度指标1.标准误差2.可决系数3.相关系数对多元回归可决系数而言，多元相关系数似乎是多余的，它并不提供任何新的信息，只是可决系数的平方根。（二）置信区间

=（433-59，433+59）=（374，492）回本章目录回总目录三、自相关和多重共线性问题（一）自相关检验D-W统计量介于1.5~2.5之间，表明不存在显著的自相关问题。如果发现了自相关问题，通常是对所有的原始数据进行差分来消除它：y=对前一期饮料销售量的变化量x=对前一期温度的变化量z=对前一期比分差的变化量然后用这些变量代替原始变量，进行多元回归分析。回本章目录回总目录（二）多重共线性检验注：此为相关系数，从向量的角度来看又是两向量的夹角余弦。说明本问题没有共线性问题。饮料销售量相关矩阵yxzy1.000.860.56x1.000.13z1.00若某两个自变量之间高度相关，就有必要把其中一个自变量从模型中删去。回本章目录回总目录注：多元回归也需进行显著性检验，一般的分析软件都给出回归系数的t值和方差分析的F值。另外，用回归分析进行预测时，需要定期、适时地修正模型。四、两个以上自变量的多元回归模型

使用两个自变量和使用多个自变量的多元回归，在概念上是没有差别的，只是后者计算更复杂一些。回归系数是通过把因变量和自变量的观察值输入适当的计算机程序而求得。上述关于拟合优度、置信区间的估计也适用。五、计算机在多元回归分析中的应用

很多软件都有回归分析功能，比如EXCEL、SPSS、SAS等等。我们将在统计分析软件课程专门学习它们的使用方法。回本章目录回总目录3.3非线性回归预测法一、配曲线问题（一）确定变量间函数的类型1.根据理论如圆的面积和半径之间的关系。2.根据经验需结合有关的专业知识以及多年的经验积累。3.根据散点图这是回归分析中最常用的方法。（二）确定相关函数中的未知参数第一步：通过适当的变换，把非线性关系转化成线性关系；第二步：用最小二乘法确定未知参数。回本章目录回总目录案例：商品销售额和流通费率的回归分析商品年销售额分组（万元）组中值x商品流通费率（%）y3以下1.57.00.66670.4444949.04.666903~64.54.80.22220.0493723.041.066566~97.53.60.13330.0177712.960.479889~1210.53.10.09520.009069.610.2951212~1513.52.70.07410.005497.290.2000715~1816.52.50.05060.003676.250.1515018~2119.52.40.05130.002635.760.1231221~2422.52.30.04440.001975.290.1021224~2725.52.20.03920.001544.840.08624合计__30.61.38700.53599124.047.17151已知某年某市各百货商场的商品年销售额和流通费率回本章目录回总目录76543210369121518212427xy商品销售额（万元）商品流通费率（%）回本章目录回总目录

从散点图的形状来看，宜采用双曲线回归：假设那么：得回归方程为：回本章目录回总目录当商品销售额为13万元时，则预测流通费率为：各百货商场销售额与商品流通费率的相关系数为：利用方差分析对回归方程进行检验，结果如下表：变差来源平方和自由度均方差（F）显著性回归剩余1716.24小于103.30高度显著合计19..98————回本章目录回总目录二、一些常见的函数图形1.幂函数00作如下变换则化成线性函数2.指数函数00作如下变换则化成线性函数回本章目录回总目录3.抛物线函数按最小二乘法确定a、b、c之值，应解下列规范方程组00注：关于规范方程组的记忆，抛物线函数直接取和、乘x取和、乘x2取和。回本章目录回总目录4.对数函数令则005.S型函数令则回本章目录回总目录3.4应用回归预测时应注意的问题

一、关于定性分析问题1.首先应该进行定性分析在马克思主义理论指导下，依靠研究人员的理论知识、专业知识、实际经验和分析研究能力，来确定各种变量之间的相关关系及其影响程度。2.必须积极把握事物从量变到质变的“度”的界限在许多情况下，现象之间只是在一定范围内才具有相关关系，超出了这个范围就可能成为荒谬。如施肥量与产量、耕作深度与收割量之间等等。

二、关于回归预测不能任意外推的问题由于原来资料之提供了一定范围内的数量关系，在此范围以外是否存在着同样的关系，尚未得知。如果有外推的充分根据和需要，也应十分慎重，而且不能离开原来的范围太大。

显而易见，当越靠近时，回归直线的效果越好，预测的误差也就越小。因此，一般说来，直线回归只适宜作中短期预测，不宜作长期预测。回本章目录回总目录

三、关于对数据要求的问题

（一）关于对数据资料的准确性问题只有借以预测的资料是正确可靠的，才能保证分析和预测的可靠性。如果由于历史上的某些原因使得某一年度的资料明显不准确，应该按照核实后的数据来计算。如发现缺少数字，可采用一定的统计方法（比如比例推算法、统计插值法、调查估算法等）。（二）关