第3章 流体运动学

第三章

流体运动学研究流体运动的方式和状态，研究的是流体（速度、加速度、变形等运动参数随空间和时间的变化规律），由于不涉及力，故对理想流体、粘性流体均适用。

3.1描述液体运动的两种方法

3.1.1拉格朗日（Lagrange)法拉格朗日法:属于研究质点的方法，以研究液流中每一个质点为对象，跟踪质点，把它们在流动过程中的流动状态记录下来，从而得出整个液体的运动情况。对速度表达式再求一次偏导数可求得加速度:

3.1.2欧拉（L.Euler）法3.2液体运动的几个基本概念3.2.1恒定流与非恒定流各点运动要素都不随时间变化的流动称为恒定流;反之称为非恒定流。例：速度场求（1）t=2s时，在(2，4)点的加速度；（2）是恒定流还是非恒定流；（3）是均匀流还是非均匀流。（1）将t=2，x=2，y=4代入得同理解：（2）是非恒定流（3）是均匀流

3.3.3流线与迹线流线是某一瞬时在流场中绘出的曲线，在此曲线上所有液体质点的速度矢量都和该曲线相切。

流线的性质：流线不能相交,不能转折。恒定流时流线的形状不随时间改变，而非恒定流时流线随时间改变。

流线微分方程：流线上任一点的切线方向与该点速度矢量一致——流线微分方程迹线微分方程：对任一质点——迹线微分方程例：速度场ux=a，uy=bt，uz=0（a、b为常数）求:（1）流线方程及t=0、1、2时流线图；（2）迹线方程及t=0时过（0，0）点的迹线。解：（1）流线：积分：oyxc=0c=2c=1t=0时流线oyxc=0c=2c=1t=1时流线oyxc=0c=2c=1t=2时流线——流线方程（2）迹线：即——迹线方程（抛物线）oyx注意：流线与迹线不重合例：已知速度场ux=x+t，uy=－y+t求：在t=0时过（－1，－1）点的流线和迹线方程。解：（1）流线：积分：

t=0时，x=－1，y=－1c=0——流线方程（双曲线）（2）迹线：由t=0时，x=－1，y=－1得c1=c2=0——迹线方程（直线）（3）若恒定流：ux=x，uy=－y流线迹线注意：恒定流中流线与迹线重合4.流管与流束流管——在流场中任意取不与流线重合的封闭曲线，过曲线上各点作流线，所构成的管状表面5.过流断面——在流束上作出与流线正交的横断面12注意：只有均匀流的过流断面才是平面例：121处过流断面2处过流断面流束——流管内的流体6.元流与总流元流——过流断面无限小的流束总流——过流断面为有限大小的流束，它由无数元流构成7.流量体积流量质量流量不可压缩流体8.断面平均流速实质：质量守恒1.连续性方程的微分形式oyxzdmxdmx’dxdydzdt时间内x方向：流入质量流出质量净流出质量流体运动的连续性方程同理：dt时间内，控制体总净流出质量：由质量守恒：控制体总净流出质量，必等于控制体内由于密度变化而减少的质量，即——连续性方程的微分形式不可压缩流体即例：已知速度场此流动是否可能出现？解：由连续性方程：满足连续性方程，此流动可能出现例：已知不可压缩流场ux=2x2+y，uy=2y2+z，且在z=0处uz=0，求uz。解：由得积分由z=0，uz=0得c=02.连续性方程的积分形式A1A212v1v2在dt时间内，流入断面1的流体质量必等于流出断面2的流体质量，则——连续性方程的积分形式不可压缩流体分流时合流时刚体——平移、旋转流体——平移、旋转、变形（线变形、角变形）平移线变形旋转角变形流体微元的运动分析流体微元的速度：1.平移速度：ux，uy，uz2.线变形速度：x方向线变形是单位时间微团沿x方向相对线变形量（线变形速度）同理存在各质点在连线方向的速度梯度是产生线变形的原因3.旋转角速度：角平分线的旋转角速度逆时针方向的转角为正顺时针方向的转角为负是微团绕平行于oz轴的旋转角速度同理微团的旋转：4.角变形速度：直角边与角平分线夹角的变化速度微团的角变形：存在不在质点连线方向的速度梯度是产生旋转和角变形的原因是微团在xoy平面上的角变形速度同理例：平面流场ux=ky，uy=0（k为大于0的常数），分析流场运动特征解：流线方程：线变形：角变形：旋转角速度：xyo（流线是平行与x轴的直线族）（无线变形）（有角变形）（顺时针方向为负）例：平面流场ux=－ky，uy=kx（k为大于0的常数），分析流场运动特征解：流线方程：（流线是同心圆族）线变形：（无线变形）角变形：（无角变形）旋转角速度：（逆时针的旋转）刚体旋转流动1.有旋流动2.无旋流动即：有旋流动和无旋流动例：速度场ux=ay（a为常数），uy=0，流线是平行于x轴的直线，此流动是有旋流动还是无旋流动？解：是有旋流xyoux相当于微元绕瞬心运动例：速度场ur=0，uθ=b/r（b为常数），流线是以原点为中心的同心圆，此流场是有旋流动还是无旋流动？解：用直角坐标：xyoθruxuyuθp是无旋流（微元平动）小结：流动作有旋运动或无旋运动仅取决于每个流体

微元本身是否旋转，与整个流体运动和流体微元运动的轨迹无关。无旋有势1.速度势函数类比：重力场、静电场——作功与路径无关→势能无旋条件：由全微分理论，无旋条件是某空间位置函数φ(x,y,z)存在的充要条件函数φ称为速度势函数，无旋流动必然是有势流动速度势函数由函数φ的全微分：得：（φ的梯度）2.拉普拉斯方程由不可压缩流体的连续性方程将代入得即——拉普拉斯方程为拉普拉斯算子，φ称为调和函数——不可压缩流体无旋流动的连续性方程注意：只有无旋流动才有速度势函数，它满足拉普拉斯方程3.极坐标形式（二维）不可压缩平面流场满足连续性方程：即：由全微分理论，此条件是某位置函数ψ（x，y）存在的充要条件函数ψ称为流函数有旋、无旋流动都有流函数流函数由函数ψ的全微分：得：流函数的主要性质：（1）流函数的等值线是流线；证明：——流线方程（2）两条流线间通过的流量等于两流函数之差；证明：（3）流线族与等势线族正交；斜率：斜率：等流线等势线利用（2）、（3）可作流网（4）只有无旋流的流函数满足拉普拉斯方程证明：则：将代入也是调和函数得：在无旋流动中例：不可压缩流体，ux=x2－y2，uy=－2xy，是否满足连续性方程？是否无旋流？有无速度势函数？是否是调和函数？并写出流函数。解：（1）满足连续性方程（2）是无旋流（3）无旋流存在势函数：取（x0，y0）为（0，0）（4）满足拉普拉斯方程，是调和函数（5）流函数取（x0，y0）为（0，0）1.均匀平行流速度场（a,b为常数）速度势函数

等势线流函数

流线uxyoφ1ψ1φ2φ3ψ2ψ3几种简单的平面势流当流动方向平行于x轴当流动方向平行于y轴如用极坐标表示：φ1ψ1φ2ψ2φ1ψ1φ2ψ22.源流与汇流（用极坐标）（1）源流：φ1ψ1φ2ψ2oψ3ψ4ur源点o是奇点r→0ur→∞速度场速度势函数等势线流函数流线直角坐标θ（2）汇流流量φ1ψ1φ2ψ2oψ3ψ4汇点o是奇点r→0ur→∞（3）环流——势涡流（用极坐标）注意：环流是无旋流！速度势函数流函数速度场环流强度逆时针为正ψ1φ1ψ2φ2oφ3φ4uθθ也满足同理，对无旋流：——势流叠加原理势流叠加原理（1）半无限物体的绕流（用极坐标）模型：水平匀速直线流与源流的叠加（河水流过桥墩）流函数：速度势函数：即视作水平流与源点o的源流叠加u0S几个常见的势流叠加的例子作流线步骤：找驻点S：将代入（舍去）将代入得驻点Ｓ的坐标：u0Sors（1）（2）由（2）由（1）将驻点坐标代入流函数，得则通过驻点的流线方程为给出各θ值，即可由上式画出通过驻点的流线流线以为渐进线外区——均匀来流区；内区——源的流区（“固化”、半体）（2）等强源汇流（用极坐标→直角坐标）模型：源流与汇流叠加（电偶极子）xyoaarr1r2P(x,y)θ1θ2θq-q势函数流函数源流和汇流的叠加当a→0，q→∞，2qa→常数M偶极流利用三角函数恒等式、级数展开，化简a→0：偶