第14讲 麦克斯韦方程组(II)

电磁场与电磁波主讲：史琰Field

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Wave

ElectromagneticsMaxwell通过深入的分析，研究并创新地提出了位移电流，最后完成电磁大综合，而且预言了电磁波的存在，其速度为光速c，给出了光和电磁统一学说：Maxwell方程组。Review微分形式积分形式全电流定律

法拉第电磁感应定律

磁通连续性原理高斯定理2023/2/3shiyan@2Review左旋右旋“平衡”电磁波也正是这种“平衡”的产物

2023/2/3shiyan@3麦克斯韦小传麦克斯韦(JamesClerkMaxwell1831～1879)英国物理学家16岁进入爱丁堡大学，后转入剑桥大学研习数学，毕业后留校任职。1871年受聘为剑桥大学的实验物理学教授，负责筹建该校的第一所物理学实验室——卡文迪许实验室，1874年建成后担任主任。1879年11月5日在剑桥逝世，终年只有49岁。2023/2/3shiyan@4爱因斯坦在自传中说：“在我求学的时代，最吸引人的题目就是麦克斯韦的理论”，“狭义相对论起源于麦克斯韦的电磁场方程”。1931年，在纪念麦克斯韦诞生100周年时，爱因斯坦把麦克斯韦的电磁场贡献评价为“自牛顿时代”以来物理学所经历的最深刻最有成效的变化。”一位著名的现代物理学家曾感叹说：“麦克斯韦的思想是太不平常了，甚至像亥姆霍兹和波耳兹曼这样有异常才能的人，为了理解它，也花了几年的力气。”第16讲麦克斯韦方程组(II)2023/2/3shiyan@5Maxwell方程组的逻辑关系本构关系时变电磁场的边界条件坡印亭能量定理电磁位Maxwell方程组的逻辑关系麦克斯韦方程组并非相互独立的四个方程只有三个独立的方程2023/2/3shiyan@6Maxwell方程组的逻辑关系麦克斯韦方程组的两个旋度方程以及电流连续性方程可构成时变电磁场一组独立的方程，该组方程中共含有七个独立的标量方程。2023/2/3shiyan@7Maxwell方程组的逻辑关系2023/2/3shiyan@8麦克斯韦方程是描述电磁普遍规律的数学描述，已被证明适用于任何情况的电流连续性方程亦可通过Maxwell方程得到(电流连续性方程隐含在麦克斯韦方程组中)。场源J和ρ之间不是互相独立。在实际工程中，通常采用给定场源J的条件下求解电磁场。Maxwell方程组的逻辑关系例1已知在无源的自由空间中 其中E0、β为常数，求。[解]区域无源，即所研究区域内没有场源电流和电荷：J=0,ρ=02023/2/3shiyan@9本构关系2023/2/3shiyan@10麦克斯韦方程组中含有5个矢量，1个标量，即一共16个标量独立的标量方程只有7个麦克斯韦方程无法完全确定四个电磁场矢量需要另有9个独立的标量方程来约束电磁场本构方程描述电磁介质与场矢量之间的本构(constitutive)关系本构方程与麦克斯韦方程构成自身一致的方程组本构关系表征媒质宏观电磁特性的本构关系为对于各向同性的线性媒质2023/2/3shiyan@11本构关系2023/2/3shiyan@12ε：介电常数μ：磁导率σ：电导率σ=0为理想介质；σ=∞为理想导体；电导率介于二者之间称为电介质；真空中：ε=ε0，μ=μ0，σ=0介质性质：线性(linear)介质：介质参数与场强大小无关各向同性(isotropic)介质：介质参数与场强方向无关均匀(homogeneous)介质：介质参数与位置无关色散(dispersive)介质：介质参数与场强频率有关本构关系2023/2/3shiyan@13对于色散媒质，当一个包含多个频率的信号在其中传播时，由于不同频率信号的传播速度不相同，从而引起信号的失真。洛仑兹力2023/2/3shiyan@14电荷(运动或静止)激发电磁场，电磁场反过来对电荷有作用力。当空间同时存在电场和磁场时，以恒速v运动的点电荷q所受的力为如果电荷是连续分布的，其密度为ρ，则电荷系统所受的电磁场力密度为洛仑兹力公式近代物理学实验证实了洛仑兹力公式对任意运动速度的带电粒子都是适应的。时变电磁场边界条件2023/2/3shiyan@15麦克斯韦方程组的微分形式只适用于场矢量的各个分量处处可微的区域对于实际的区域，会有很多结构引起电磁场场量的不连续性，需要通过边界条件来确定分界面上的电磁场特性：不同介质的分界面上会存在束缚面电荷、面电流分界面上也可能存在自由面电荷、面电流在这些面电荷、面电流的影响下，场矢量在分界面可能不连续边界条件是描述场矢量越过分界面时场量变化规律的一组方程，由积分方程形式的麦克斯韦方程组得到。时变电磁场边界条件矢量分解(I)取界面法向单位矢为n该点处场矢为FF可以是任意一个场矢(E,D,H,B)第一项在法向方向，称为法向分量第二项垂直于法向方向，称为切向分量任意一个矢量都可以分解成为法向分量和切向分量的合成矢量2023/2/3shiyan@16时变电磁场边界条件2023/2/3shiyan@17矢量分解(II)时变电磁场边界条件μ1ε1σ1μ2ε2σ2nF1F2△Sh2023/2/3shiyan@18法向分量边界条件两种相邻介质分界面的任一横截面时变电磁场边界条件电场法向边界条件电通量如果分界面的薄层内有自由电荷，则圆柱面内包围的总电荷为由高斯定理2023/2/3shiyan@19时变电磁场边界条件若分界面上无自由面电荷分界面上有自由面电荷，电位移矢量D法向分量Dn不连续，有一等于面电荷密度ρS的突变；分界面上无自由面电荷，则电位移矢量D法向分量Dn连续；分界面两侧的电场强度矢量的法向分量En一般不连续。2023/2/3shiyan@20时变电磁场边界条件磁场法向边界条件由磁通连续性原理由本构关系可知2023/2/3shiyan@21时变电磁场边界条件切向分量边界条件n：由媒质2指向媒质1的界面法向单位矢量l：Δl中点处分界面的切向单位矢量b：垂直于n且与矩形回路成右手螺旋关系的单位矢量μ1ε1σ1μ2ε2σ2nblh△l2023/2/3shiyan@22时变电磁场边界条件电场切向边界条件考虑麦克斯韦方程组推广的法拉第电磁感应定律积分回路上的积分结果面积分结果切向边界条件2023/2/3shiyan@23时变电磁场边界条件磁场切向边界条件考虑麦克斯韦全电流定律：积分回路上的积分结果位移电流积分结果2023/2/3shiyan@24时变电磁场边界条件若分界面的薄层内有自由电流，则在回路所围的面积上因此切向边界条件面电流密度方向为分界面的切向标量形式的边界条件：2023/2/3shiyan@25时变电磁场边界条件若分界面上没有自由面电流分界面上有自由面电流时，磁场强度切向分量不连续分界面上无自由面电流时，磁场强度切向分量连续磁感应强度的切向分量一般不连续2023/2/3shiyan@26时变电磁场边界条件时变电磁场的边界条件：2023/2/3shiyan@27时变电磁场边界条件理想介质的边界条件理想介质：σ=0无欧姆损耗的简单介质理想介质表面无自由面电荷和自由面电流矢量形式的边界条件标量形式的边界条件2023/2/3shiyan@28时变电磁场边界条件理想导体边界条件理想导体：σ→∞理想导体内部场为零理想导体表面的边界条件电力线垂直导体表面磁力线平行导体表面2023/2/3shiyan@29时变电磁场边界条件例2设z=0的平面为空气与理想导体的分界面，z<0一侧 为理想导体，分界面处的磁场强度为试求理想导体表面上的电流分布、电荷分布以及分 界面处的电场强度。[解]

利用理想导体与空气介质分界面上的电流连续性原理2023/2/3shiyan@30利用理想导体与空气介质分界面上的电流连续性原理若在初始时刻面电荷为零：t=0时，ρS=0由电场边界条件：时变电磁场边界条件2023/2/3shiyan@31时变电磁场边界条件例3设区域Ⅰ(z<0)的媒质参数εr1=1,μr1=1,σ1=0；区域 Ⅱ(z>0)的媒质参数εr2=5,μr2=20,σ2=0。区域Ⅰ中的电场强度为区域Ⅱ中的电场强度为试求：

(1)常数A；

(2)磁场强度H1和H2；

(3)证明在z=0处H1和H2满足边界条件2023/2/3shiyan@32时变电磁场边界条件[解](1)在介质分界面上介质I及介质II中的电场强度为： 显然，电场强度均在分界面的切向方向，应用电 场强度切向连续边界条件可得：

(2)由麦克斯韦方程组可知

(3)在介质面上考察磁场强度的切向方向，可知2023/2/3shiyan@33时变电磁场的能量与静电场和恒定磁场一样，时变电磁场也具有能量更重要的是特有的能量流动现象。当随时间变化的电磁场以恒定的速度传播时，必将伴随着能量的传播，形成电磁能流。在随时间变化的电磁场的任一给定区域中，电磁场的能量不再是恒量。在自然界中，能量是守恒的作为物质的一种特殊形态——电磁场，遵循自然界一切物质运动过程的普遍法则——能量守恒和转化定律电磁能量守恒——坡印亭定理2023/2/3shiyan@34表达时变电磁场中能量守恒和转换关系的定理1884年由英国物理学家坡印亭(John.H.Poynting)提出考虑电磁场存在于一有耗的导电媒质中，其中自由电流源密度为。在该媒质中，两个Maxwell旋度方程为坡印亭定理(Poynting’sTheorem)V根据矢量恒等式2023/2/3shiyan@35坡印亭定理在体积V上积分可得一般介质中的坡印亭定理：2023/2/3shiyan@36坡印亭定理矢量恒等式各向同性线性介质的本构方程2023/2/3shiyan@37时变电磁场的能量各向同性线性介质的坡印亭定理Note1：we=1/2(D·E)为电场能量密度（单位是J/m3）Note2：wm=1/2(B·H)为磁场能量密度（单位是J/m3）Note3：方程右侧体积分第一项表示了储存在V中电磁

能量随时间的增加率（单位是W）Note4：方程右侧体积分第二项表示了体积V中的热损

耗功率（单位是W）（单位时间以热能形式损耗在体积V内的能量）Note5：方程左侧的体积分表示了体积V中的源产生

的功率（单位是W）2023/2/3shiyan@38时变电磁场的能量根据能量守恒定理，上式中的面积分必定代表单位时间内穿过体积V的表面S流出体积V的电磁能量。定义：Note1：坡印廷矢量，单位是W/m2Note2：通过S面上单位面积的电磁功率Note3：坡印亭矢量也称为电磁功率流密度或能流密度其方向代表该点功率流方向其大小代表通过与能量流动方向垂直的单位面积的功率2023/2/3shiyan@39时变电磁场的能量空间任一点处能量密度变化实际上，坡印亭矢量并不一定代表真实的电磁功率流密度

表示了流出封闭面的总能流；有电磁场存在的地方就有，但这并不表示该处一定有能量的流动；真正表示空间任一点处能量密度变化的是.2023/2/3shiyan@40时变电磁场的能量静电场和静磁场中的坡印亭矢量自由电流为零

媒质无耗

场中任何一点，单位时间流出包围体积V表面的总能量为零，即没有电磁能量流动在静电场和静磁场情况下，并不代表电磁功率流密度。2023/2/3shiyan@41时变电磁场的能量恒定电流场坡印亭矢量自由电流为零

恒定电流场中，

可代表通过单位面积的电磁功率流通过S面流入V内的电磁功率等于V内的损耗功率2023/2/3shiyan@42时变电磁场的能量时变电磁场中的坡印亭矢量(自由电流为零)