第十章 积分学在几何上应用

第十章积分学的应用第一节积分学在几何上的应用一、平面图形和空间曲面的面积

1）用定积分计算平面图形的面积

（1）直角坐标情形如图,设曲边梯形以区为顶,由元素法得曲边梯形的面积曲线间[a,b]为底,面积元素1.平面图形的面积得交点为(0，0)及(3，3)，在区间[0，3]上任取一个小区间得面积元素为例1

求抛物线与直线所围成图形的面积.解：如图，解方程组于是，所求面积为

例4

求由摆线及解

利用参数方程得轴围成图形的面积2）用二重积分计算平面图形的面积

例8

用二重积分的方法求椭圆由二重积分的性质，平面区域的面积解如图所示，由二重积分计算法并注意到对称性有的面积.所求面积为（2）极坐标的情形图10-7（）在极坐标系中，由连续曲线所围成的图形称为曲边扇形(见10-7（）)，现在求它的面积.情形1极点不包含在区域内部的情形其中函数在上连续，则曲边扇形面积为于是曲边扇形面积为

情形2极点包含在区域内部的情形情形3极点在区域的边界上,可得曲边扇形面积为

例6

求心形线所围图形的面积.解心形线如图所示，由对称性

例7

求由圆与圆所围成的图形的面积（在外面部分,如图所示）.

解将与化为极坐标方程为与解方程组得两曲线交点为和由对称性得所求的面积为3）用曲线积分计算平面图形的面积的方向为逆时针方向.利用格林公式得到闭曲线L所围区域D的面积为其中

例9

求星形线所围图形的面积.

解当从变到时，点逆时针方向描出了整个封闭曲线如图，故所求面积为2.空间曲面的面积设曲面由方程给出，为曲面在面上的投影区域（如图），函数在上具有连续偏导数和则曲面

的面积或若曲面的方程为或可分别将曲面投影到面或面，设所得到的投影区域分别为或类似地有

例11

求球面含在柱面解如图，所求曲面在xoy面的投影区域上半球面方程为则

内部的面积.曲面在xoy面上的投影区域Dxy(如图).据曲面的对称性，有二、空间立体的体积

一个空间立体，如果该立体上垂直于一定轴的各个截面的面积已知为（如图），则这个立体的体积为1）平行截面面积为已知的立体体积

例12

设有底半径为R的正圆柱体，被通过其底面直径且与底面交成角的平面所截，得一圆柱楔形，求其体积.故圆柱楔形体积为解如图,取底面直径为x轴,底面中心为坐标原点,过直径上任一点x作平面垂直于x轴,此平面与楔形相截所得为直角三角形,其底为高为因此截面面积为2）旋转体体积

一个平面图形绕该平面内一条定直线旋转一周所形成的立体叫做旋转体，这条直线叫做旋转轴．例如，圆柱可以看成是矩形沿它的一条边旋转一周而成的立体，球体是半圆绕它的直径旋转一周而成的立体等等．

现在,我们来求由曲线y=f(x),直线x=a,x=b及x轴所围成的曲边梯形（其中a<b,且在绕x轴旋转一周而成的旋转体体积(如图)．过上任一点x作平面垂直于x轴，此平面与旋转体相截所得截面是圆，其半径为y=f(x),因此截面面积为由平行截面面积为已知的立体体积公式得旋转体体积为同理,由曲线直线及y轴围成的曲边梯形绕y轴旋转一周而成的旋转体(如图所示)体积为

例13

求椭圆分别绕轴与轴旋转所

得旋转体的体积．

而绕y轴旋转所得旋转椭球体的体积为

可得半径为a的球体体积为

解如图所示，由椭圆方程得利用对称性，绕x轴旋转所得旋转椭球体积为当a=b时，

例14

求由两条抛物线所围图形绕轴旋转一周所形成的旋转体的体积．

(1，1)，于是解如图，解方程组得两曲线交点为(0，0)，

例15

计算由摆线的一拱与轴所围图形分别绕轴、轴旋转而成的旋转体的体积．

解如图，由旋转体体积公式，所围图形绕x轴旋转而成立体体积为为求所围图形绕y轴旋转所成体积,仍取x为积分变量，由于如图阴影部分图形绕y轴旋转所成体积近似为取体积元素为于是所求体积为

或3）空间立体的体积由下底上底及投影区域所围的“柱体”的体积为

例16

求由锥面及旋转抛物面解法一由极坐标解法二（用二重积分）（用三重积分）由消去z,得到投影区域为：由柱面坐标所围成的立体的体积.三、曲线的弧长弧微分:所求平面曲线的弧长为

(1)曲线弧由直确定时,角坐标方程(2)当曲线弧由参数方程所求弧长为确定时,(3)当曲线弧由极坐标方程所求弧长为确定时,(4)同样对于空间曲线其弧长为

例16

求曲线位于区间[0，1]上的弧长．解由弧长公式

例17

求摆线