第二章地图数学基础

第二章地图的数学基础地图的数学基础，是指地图上各种地理要素与相应的地面景物之间保持的一定的对应关系的经纬网、坐标网、大地控制点、比例尺等数学要素。

§1地球体

§2地球坐标系与大地定位

§3地图投影

§4地图投影的应用

§5方位投影§6圆锥投影§7圆柱投影§8地图投影的判断和选择第二章地图的数学基础§1地球体1.1地球的自然表面

§1地球体珠穆朗玛峰与太平洋的马里亚纳海沟之间高差近20km。1.1地球的自然表面

事实是：地球不是一个正球体，而是一个极半径略短、赤道半径略长，北极略突出、南极略扁平，近于梨形的椭球体。§1地球体当海洋静止时，自由水面与该面上各点的重力方向（铅垂线）成正交，这个面叫水准面。

在众多的水准面中，有一个与静止的平均海水面相重合，并假想其穿过大陆、岛屿形成一个闭合曲面，这就是大地水准面。它实际是一个起伏不平的重力等位面——地球物理表面。它所包围的形体称为大地体。1.2地球的物理表面§1地球体§1地球体1.2地球的物理表面大地水准面的意义1.地球形体的一级逼近：对地球形状的很好近似，其面上高出与面下缺少相当。2.起伏波动在制图学中可忽略：

对大地测量和地球物理学有研究价值，但在制图业务中，均把地球当作正球体。3.重力等位面：可使用仪器测得海拔高程（某点到大地水准面的高度）。

它是一个规则的数学表面，人们视其为地球体的数学表面，也是对地球形体的二级逼近，用于测量计算的基准面。§1地球体1.3地球的数学表面在测量和制图中就用旋转椭球体来代替大地球体，这个旋转椭球体通常称为

地球椭球体，简称

椭球体。EquatorialAxisPolarAxisNorthPoleSouthPoleEquatorabWGS[worldgeodeticsystem]84ellipsoid:a=6378137m

b=6356752.3m

equatorialdiameter（赤道直径）=12756.3km

polardiameter（极性直径）=12713.5km

equatorialcircumference

（赤道周长）=40075.1km

surfacearea（地表面积）=510064500km2§1地球体1.3地球的数学表面椭球体

三要素:长轴a（赤道半径）短轴b（极半径）椭球的扁率f

a-b6378137-6356752.3f=——=——————————

a63781371—=298.257f对a，b，f

的具体测定就是近代大地测量的一项重要工作。§1地球体1.3地球的数学表面EquatorialAxisPolarAxisNorthPoleSouthPoleEquatorab§1地球体1.3地球的数学表面对地球形状

a，b，f测定后，还必须确定大地水准面与椭球体面的相对关系。即确定与局部地区大地水准面符合最好的一个地球椭球体——参考椭球体，这项工作就是参考椭球体定位。通过数学方法将地球椭球体摆到与大地水准面最贴近的位置上，并求出两者各点间的偏差，从数学上给出对地球形状的三级逼近。§1地球体1.3地球的数学表面由于国际上在推求年代、方法及测定的地区不同，故地球椭球体的元素值有很多种。§1地球体1.3地球的数学表面

中国1952年前采用海福特（Hayford）椭球体；1953—1980年采用克拉索夫斯基椭球体（坐标原点是前苏联玻尔可夫天文台）；

自1980年开始采用

GRS1975（国际大地测量与地球物理学联合会IUGG1975推荐）新参考椭球体系，并确定陕西泾阳县永乐镇北洪流村为“1980西安坐标系”大地坐标的起算点—大地原点。§2地球坐标系与大地定位§2地球坐标系与大地定位地球表面上的定位问题，是与人类的生产活动、科学研究及军事国防等密切相关的重大问题。具体而言，就是球面坐标系统的建立。①天文经纬度②大地经纬度③地心经纬度2.1地理坐标

——用经纬度表示地面点位的球面坐标。图2.4天文地理坐标系天文经度

：观测点天顶子午面与格林尼治天顶子午面间的两面角

。

在地球上定义为本初子午面与观测点之间的两面角。天文纬度l

：地球上定义为铅垂线与赤道平面间的夹角。§2地球坐标系与大地定位①天文经纬度：表示地面点在大地水准面上的位置，用天文经度和天文纬度表示。2.1地理坐标

大地经度l

：参考椭球面上某点的大地子午面与本初子午面间的两面角。东经为正，西经为负。大地纬度

：参考椭球面上某点的垂直线（法线）与赤道平面的夹角。北纬为正，南纬为负。§2地球坐标系与大地定位2.1地理坐标

②大地经纬度：表示地面点在参考椭球面上的位置，用大地经度l

、大地纬度

和大地高h表示。在地图学中，以大地经纬度定义地理坐标。在大地测量学中，常以天文经纬度定义地理坐标。§2地球坐标系与大地定位2.1地理坐标

在地理学研究及地图学的小比例尺制图中，通常将椭球体当成正球体看，采用地心经纬度。③地心经纬度：即以地球椭球体质量中心为基点，地心经度同大地经度l

，地心纬度是指参考椭球面上某点和椭球中心连线与赤道面之间的夹角y

。①②③cICA-75椭球参数

a=6378140m

b=6356755m

f=1/298.257§2地球坐标系与大地定位2.2中国的大地坐标系统2.2.1中国的大地坐标系1980年以前：参见电子教案本章第十三页；1980年选用1975年国际大地测量协会推荐的参考椭球：§2地球坐标系与大地定位2.2中国的大地坐标系统2.2.1中国的大地坐标系由平面控制网和高程控制网组成，控制点遍布全国各地。§2地球坐标系与大地定位平面控制网：按统一规范，由精确测定地理坐标的地面点组成，由三角测量或导线测量完成，依精度不同，分为四等。2.2中国的大地坐标系统2.2.1中国的大地坐标系§2地球坐标系与大地定位三角测量：在全国范围内将控制点组成一系列的三角形，通过测定所有三角形的内角，推算出各控制点的坐标。2.2中国的大地坐标系统2.2.1中国的大地坐标系等级边长分布密度分布方向一等三角锁20－25km锁与锁间距200km沿经纬线分布二等三角网13km150km2有一控制点（1：10万，1：5万》3点）在一等加密三等三角网8km50km2有一控制点（1：5万2－3点）在二等加密四等三角网4km20km2有一控制点（1：1万－2点）在三等加密导线测量：把各个控制点连接成连续的折线，然后测定这些折线的边长和转角，最后根据起算点的坐标和方位角推算其他各点坐标。包括闭合导线、附合导线。布设原则：由高级到低级，由整体到局部，步步有检核。§2地球坐标系与大地定位2.2中国的大地坐标系统2.2.1中国的大地坐标系§2地球坐标系与大地定位国家测绘局青岛观象山水准原点§2地球坐标系与大地定位

中国高程起算面是黄海平均海水面。

1956年在青岛观象山设立了水准原点，其他各控制点的绝对高程均是据此推算，称为1956年黄海高程系。2.2.2中国的大地控制网高程控制网:按统一规范，由精确测定高程的地面点组成，是全国测定其他所有地面点高程的控制基础。2.2中国的大地坐标系统国家水准原点§2地球坐标系与大地定位绝对高程相对高程国家测绘局§2地球坐标系与大地定位国家测绘局abhABh水准测量示意三角高程示意H1H2ABhH1Saa§2地球坐标系与大地定位1987年国家测绘局公布：启用“1985国家高程基准”取代“黄海平均海水面”，其比“黄海平均海水面”上升29毫米。

2.2.2中国的大地控制网2.2中国的大地坐标系统§2地球坐标系与大地定位国家测绘局§2地球坐标系与大地定位2.2中国的大地坐标系统2.2.3全球定位系统–GPS（自学）授时与测距导航系统/全球定位系统(NavigationSatelliteTimingandRanging/GlobalPositioningSystem--GPS)：是以人造卫星为基础的无线电导航系统，可提供高精度、全天候、实时动态定位、定时及导航服务。

§2地球坐标系与大地定位GPS控制网国家测绘局空间部分：21颗工作卫星，3颗备用卫星（白色）。它们在高度20200km的近圆形轨道上运行，分布在六个轨道面上，轨道倾角55°，两个轨道面之间在经度上相隔60°，每个轨道面上布放四颗卫星。卫星在空间的这种配置，保障了在地球上任意地点，任意时刻，至少同时可见到四颗卫星。§2地球坐标系与大地定位（1）GPS系统由三个独立的部分组成2.2中国的大地坐标系统2.2.3全球定位系统-GPS§2地球坐标系与大地定位（1）GPS系统由三个独立的部分组成2.2中国的大地坐标系统2.2.3全球定位系统-GPS地面支撑系统：1个主控站，3个注入站，5个监测站。它向GPS导航卫星提供一系列描述卫星运动及其轨道的参数；监控卫星沿着预定轨道运行；保持各颗卫星处于GPS时间系统及监控卫星上各种设备是否正常工作等。用户设备部分：GPS接收机——接收卫星信号，经数据处理得到接收机所在点位的导航和定位信息。通常会显示出用户的位置、速度和时间。还可显示一些附加数据，如到航路点的距离和航向或提供图示。

§2地球坐标系与大地定位（1）GPS系统由三个独立的部分组成2.2中国的大地坐标系统2.2.3全球定位系统-GPS

§2地球坐标系与大地定位（2）GPS系统定位原理2.2中国的大地坐标系统2.2.3全球定位系统-GPS通过测量卫星信号到达接收机的时间延迟，即可算出用户到卫星的距离。再根据三维坐标中的距离公式，利用3颗卫星的数据，组成3个方程式，就可以解出观测点的位置（X,Y,Z）。考虑到卫星的时钟与接收机时钟之间的误差，实际上有4个未知数，X、Y、Z和钟差，因而需要引入第4颗卫星，形成4个方程式以求解，从而得到观测点经纬度和高程。常规静态测量：采用两台(或两台以上)GPS接收机，分别安置在一条或数条基线的两端，同步观测4颗以上卫星，每时段根据基线长度和测量等级观测45分钟以上的时间。常用于建立全球性或国家级大地控制网、地壳运动监测网。

快速静态测量：这种模式是在一个已知测站上安置一台GPS接收机作为基准站，连续跟踪所有可见卫星。移动站接收机依次到各待测测站，每测站观测数分钟。这种模式常用于控制网的建立及其加密、工程测量、地籍测量等。这种方法要求在观测时段内确保有5颗以上卫星可供观测；流动点与基准点相距应不超过20km。静态测量模式§2地球坐标系与大地定位（3）常用GPS测量模式2.2中国的大地坐标系统2.2.3全球定位系统-GPS2.2中国的大地坐标系统2.2.3全球定位系统-GPS准动态测量：在一已知测站上安置一台GPS接收机作为基准站，连续跟踪所有可见卫星。移动站接收机在进行初始化后依次到各待测测站，每测站观测几个历元数据。这种方法不同于快速静态，除观测时间不一样外，它要求移动站在搬站过程中不能失锁，并且需要先在已知点或用其它方式进行初始化（采用有OTF功能的软件处理时例外）。

这种模式可用于开阔地区的加密控制测量、工程定位及碎部测量、剖面测量及线路测量等。要求在观测时段内确保有5颗以上卫星可供观测；流动点与基准点相距应不超过20km。§2地球坐标系与大地定位动态测量模式（3）常用GPS测量模式

§2地球坐标系与大地定位实时动态测量：DGPS和RTK

在一个已知测站上架设GPS基准站接收机和数据链，连续跟踪所有可见卫星，并通过数据链向移动站发送数据。移动站接收机通过移动站数据链接收基准站发射来的数据，并在机进行处理，从而实时得到移动站的高精度位置。

2.2中国的大地坐标系统2.2.3全球定位系统-GPS动态测量模式（3）常用GPS测量模式

§2地球坐标系与大地定位

DGPS通常叫做实时差分测量，精度为亚米级到米级，这种方式是基准站将基准站上测量得到的RTCM数据通过数据链传输到移动站，移动站接收到RTCM数据后，自动进行解算，得到经差分改正以后的坐标。

RTK

则是以载波相位观测量为根据的实时差分GPS测量，它是GPS测量技术发展中的一个新突破。它的工作思路与DGPS相似，只不过是基准站将观测数据发送到移动站（而不是发射RTCM数据），移动站接收机再采用更先进的在机处理方法进行处理，从而得到精度比DGPS高得多的实时测量结果。这种方法的精度一般为2cm左右。2.2中国的大地坐标系统2.2.3全球定位系统-GPS动态测量模式（3）常用GPS测量模式§3地图投影

地球椭球体表面是不可展曲面，要将曲面上的客观事物表示在有限的平面图纸上，必须经过由曲面到平面的转换。

地图投影：在地球椭球面和平面之间建立点与点之间函数关系的数学方法，称为地图投影。

地图投影的实质：是将地球椭球面上的经纬线网按照一定的数学法则转移到平面上。x=f1(j,l)y=f2(j

,l)§3地图投影3.1地图投影的意义§3地图投影3.1地图投影的意义地图比例尺：地图上一直线段长度与地面相应直线水平投影长度之比。可表达为（d为图上距离，D为实地距离）。根据地图投影变形情况，地图比例尺分为：主比例尺：

在投影面上没有变形的点或线上的比例尺。局部比例尺：

在投影面上有变形处的比例尺。

3.2地图的比例尺§3地图投影3.2.1地图比例尺的含义★

主比例尺和局部比例尺

地图上注记的比例尺，称之为主比例尺，它是运用地图投影方法绘制经纬线网时，首先把地球椭球体按规定比例尺缩小，如制1：100万地图，首先将地球缩小100万倍，而后将其投影到平面上，那么1：100万就是地图的主比例尺。由于投影后有变形，所以主比例尺仅能保留在投影后没有变形的点或线上，而其他地方不是比主比例尺大，就是比主比例尺小。所以大于或小于主比例尺的叫局部比例尺。注意长度比、长度变形与地图比例尺的区别。★等变形线在各种投影图上，都存在着误差或变形。并且各不同点的变形数量常常是不一样的，为了便于观察和了解绘制区域变形的分布。常用等变形线来表示制图区域的变形分布特征。等变形线就是变形值相等各点的连线。它是根据计算的各种变形的数值（如p,w）绘于经纬线网格内的，如面积等变形线。等变形线在不同的投影图上，具有不同的形状，在方位投影中，因投影中心点无变形，从投影中心向外变形逐渐增大，等变形线成同心圆状分布。①数字式比例尺

如1:10000②文字式比例尺

如一万分之一③图解式比例尺

直线比例尺斜分比例尺复式比例尺④特殊比例尺

变比例尺无级别比例尺§3地图投影

3.2地图的比例尺3.2.2地图比例尺的表示斜分比例尺也称微分比例尺，是依据相似三角形原理制成的图解比例尺。使量测精度达到三位数。§3地图投影

3.3地图投影变形3.3.1投影变形的概念地球仪上经纬网及其构成的球面梯形，其长度、角度及面积的特点：长度特征：1.所有纬线长度不等，赤道最长，纬度越高其长度越短，到极地成为一点。2.同一条纬线上经差相等的纬线弧长相等。在不同的纬线上，经差相等的纬线弧长不等，由赤道向两极递减。3.所有经线都是通过两极的大圆且长度相等。4.同一经线上，纬差相等的经线弧长相等（正球体上完全相等，椭球体上由赤道向两极逐渐增长）。

在长度、面积、角度三个方面，赤道变形最小，两极变形最大。§3地图投影

3.3地图投影变形3.3.1投影变形的概念

球面面积特征：1.同一纬度带内，经差相同的经纬线网格面积相等。2.同一经度带内，纬差相同的经纬线网格面积不等，纬度越高，梯形面积越小（由低纬向高纬逐渐缩小）。§3地图投影

3.3地图投影变形3.3.1投影变形的概念§3地图投影

3.3地图投影变形3.3.1投影变形的概念§3地图投影

3.3地图投影变形3.3.1投影变形的概念O§3地图投影

3.3地图投影变形3.3.1投影变形的概念把地图上和地球仪上的经纬线网进行比较，可以发现变形表现在长度、面积和角度三个方面。§3地图投影

3.3地图投影变形3.3.1投影变形的概念

§3地图投影

3.3地图投影变形3.3.2变形椭圆取地面上一个微分圆（小到可忽略地球曲面的影响，把它当作平面看待），它投影到平面上通常会变为椭圆，通过对这个椭圆的研究，分析地图投影的变形状况。这种图解方法就叫变形椭圆。为纬线长度比为经线长度比微小圆→变形椭圆该方程证明:地球面上的微小圆，投影后通常会变为椭圆，即：以O'为原点，以相交成q角的两共轭直径为坐标轴的椭圆方程式。代入圆方程：X2+Y2=1，得§3地图投影

3.3地图投影变形3.3.2变形椭圆长轴方向（极大值）a短轴方向（极小值）b经线方向m；纬线方向n统称主方向据阿波隆尼定理，有m2+n2=a2+b2m·n·sinq=a·b§3地图投影

3.3地图投影变形3.3.2变形椭圆特别方向：变形椭圆上相互垂直的两个方向即经向和纬向KKLOθabmn有:m2+n2=a2+b2m·n·sinq=a·b返回阿波隆尼定理(Apollonius):

椭圆内两共轭半径的平方和等于其长短半径的平方和；两个共轭半径与它们的交角正弦的乘积等于其长短半径的乘积。

椭圆内任一条直径

d的平行弦中点在椭圆内的轨迹形成另一直径

d′，则d′称为

d的共轭直径。长度比和长度变形：投影面上一微小线段（变形椭圆半径）和球面上相应微小线段（球面上微小圆半径，已按规定的比例缩小）之比。

m表示长度比，Vm表示长度变形

长度比是变量，随位置和方向的变化而变化。=0不变>0变大<0变小§3地图投影

3.3地图投影变形3.3.3投影变形的性质和大小面积比和面积变形：投影平面上微小面积（变形椭圆面积）dF′与球面上相应的微小面积（微小圆面积）dF之比。

P

表示面积比Vp

表示面积变形

P=a·b=m·n(q=90)

P=m·n·sinq(q≠90)面积比是变量，随位置的不同而变化。=0不变>0变大<0变小§3地图投影

3.3地图投影变形3.3.3投影变形的性质和大小§3地图投影

3.3地图投影变形3.3.3投影变形的性质和大小角度变形：投影面上任意两方向线所夹之角与球面上相应的两方向线夹角之差，称为角度变形。以ω表示角度最大变形。设A点的坐标为（x、y），A′点的坐标为(x′、y′)，则将上式两边各减和加

tana

即：将两式相除，得：§3地图投影

3.3地图投影变形3.3.3投影变形的性质和大小§3地图投影

3.3地图投影变形3.3.3投影变形的性质和大小以w表示角度最大变形：若已知经线长度比m,纬线长度比n,经纬线夹角q

，则：

显然当（a+a′）=90°时，右端取最大值，则最大方向变形：正轴心射方位投影§3地图投影

3.4地图投影方法3.4.1几何投影法地图投影最初建立在透视的几何原理上，它是把椭球面直接透视到平面上，或透视到可展开的曲面上，如平面、圆柱面和圆锥面。NO§3地图投影X=r

s-

r

cosδY=r

sind

3.4地图投影方法——以正轴圆锥投影为例经线投影为放射直线，经差l与投影面上d成正比：d=a

·l（a

为圆锥系数，0<a

<1）。纬线投影为同心圆弧，其半径r

是纬度

的函数，r

=

f（）。圆锥投影的一般公式为：r

=f()

d

=a·l3.4.2数学解析法等角投影条件：ω=0，m=n，构成经移项、积分、整理得：§3地图投影A'D'Rdl

cosjnADrdd==§3地图投影

3.5地图投影分类3.5.1按光源分类透视光源非透视光源平射、心射、外射、正射

§3地图投影

3.5地图投影分类3.5.2数学解析法按地图投影的构成方法分类（1）几何投影:将椭球面上的经纬线网投影到几何面上，然后将几何面展为平面。

方位投影:以平面作投影面，使平面与球面相切或相割，将球面上的经纬线投影到平面上而成。圆柱投影:以圆柱面作投影面，使圆柱面与球面相切或相割，将球面上的经纬线投影到圆柱面上，然后将圆柱面展为平面而成。

圆锥投影:以圆锥面作投影面，使圆锥面与球面相切或相割，将球面上的经纬线投影到圆锥面上，然后将圆锥面展为平面而成。§3地图投影ＡＢＣ§3地图投影（2）非几何投影：

根据某些条件，用数学解析法确定球面与平面之间点与点的函数关系。

伪方位投影：在方位投影的基础上，根据某些条件改变经线形状而成，除中央经线为直线外，其余均投影为对称中央经线的曲线。

伪圆柱投影：在圆柱投影基础上，根据某些条件改变经线形状而成，无等角投影。除中央经线为直线外，其余均投影为对称中央经线的曲线。

3.5地图投影分类3.5.2数学解析法按地图投影的构成方法分类§3地图投影

伪圆锥投影：在圆锥投影基础上，根据某些条件改变经线形状而成，无等角投影。除中央经线为直线外，其余均投影为对称中央经线的曲线。

多圆锥投影：设想有更多的圆锥面与球面相切，投影后沿一母线剪开展平。纬线投影为同轴圆弧，其圆心都在中央经线的延长线上。中央经线为直线，其余经线投影为对称于中央经线的曲线。

3.5地图投影分类3.5.2数学解析法按地图投影的构成方法分类§3地图投影ＡＢＣＤ§3地图投影

等角投影:

投影面上某点的任意两方向线夹角与椭球面上相应两线段夹角相等，即角度变形为零ω=0（或a=b，m=n）。

等积投影:

投影面与椭球面上相应区域的面积相等，即面积变形为零Vp=0（或

P=1，a=1/b）。

任意投影:

投影图上，长度、面积和角度都有变形，它既不等角又不等积。其中，等距投影是在特定方向上没有长度变形的任意投影（m=1）。§3地图投影

3.5地图投影分类3.5.3按地图投影的变形性质分类§3地图投影

3.5地图投影分类3.5.3按地图投影的变形性质分类§3地图投影

3.5地图投影分类3.5.3按地图投影的变形性质分类①等积投影不能保持等角特性，等角投影不能保持等积特性。②等积投影的形状变化比较大，等角投影的面积变形比较大。

③任意投影不能保持等积、等角特性。关系：§3地图投影

3.6地图投影变换3.6.1传统地图的投影变换格网转绘法蓝图嵌贴法3.6.2数字地图的投影变换具体变换过程：（1）用数字化仪将原始投影的地图资料变成数字资料；（2）输入计算机的数字资料，按一定的数学方法进行投影坐标变换；（3）将变换后的数字资料用绘图仪输出成新投影的图形。§3地图投影

3.6地图投影变换3.6.2数字地图的投影变换投影变换的一般公式：X=f1(x,y)Y=f2(x,y)定域内单值、连续

x=f1(,l

)y=f2(,l

)A投影 B投影反解代入B=(x,y)l

=l(x,y)X=1[(x,y),l(x,y)]

Y=2[(x,y),l(x,y)]§3地图投影

3.6地图投影变换3.6.2数字地图的投影变换X=Φ1(,l

)Y=Φ2(,l

)系数

aij，bij

可用多个已知坐标点求出。X=a00+

a10x+a20x2

+a01y

+a11xy

+a02y2

+a30x3

+a21x2y

+a12xy2

+a03y3+…

Y=b00+

b10x

+b20x2

+b01y

+b11xy

+b02y2

+b30x3

+b21x2y

+b12xy2

+b03y3+…

§3地图投影

3.6地图投影变换3.6.2数字地图的投影变换如不知地图的投影系统，可通过多项式实施变换：

x=rk

lnU,y=rkl

y

U=e

n,l=—

rk

x(n=—)

rkr

=K/U2

X=r

s-

r

cosδd

=a

l

Y=r

sind

rk等角圆柱投影标准纬线jk的半径，U为等量纬度。K为积分常数，a为圆锥系数。§3地图投影

3.6地图投影变换3.6.2数字地图的投影变换根据投影方程进行变换的实例等角圆柱投影→等角圆锥投影x=s

y=rkl

yl=—

rk

y

X=r

s-

(C-s)cos(a·—)rk

yY=(C–s)

sin(a·—)

rkC

为积分常数，s

为纬度的经线弧长r

=

C-s

d

=a

l§3地图投影

3.6地图投影变换3.6.2数字地图的投影变换根据投影方程进行变换的实例等距圆柱投影→等距圆锥投影X=r

s-

r

cosdY=r

sind

§4地图投影的应用

§4地图投影的应用4.1地图投影的选择依据4.1.1制图区域的范围、形状和地理位置4.1.2制图比例尺4.1.3地图的内容4.1.4出版方式制图区域的地理位置决定投影种类制图区域的形状直接制约投影选择制图区域的范围大小影响投影选择4.1地图投影的选择依据4.1.1制图区域的范围、形状和地理位置§4地图投影的应用不同比例尺地图对精度要求不同，投影亦不同。4.1地图投影的选择依据4.1.2制图比例尺大比例尺地形图，对精度要求高，宜采用变形小的投影，如分带投影。中、小比例尺地图范围大，概括程度高，定位精度低，可有等角、等积、任意投影的多种选择。§4地图投影的应用主题和内容不同，对投影的要求也不同。要求方向正确，应选择等角投影。要求面积对比正确，应选择等积投影。教学或一般参考图，要求各方面变形都不大，则应选择任意投影。4.1地图投影的选择依据4.1.3地图的内容§4地图投影的应用单幅图系列图地图集4.1地图投影的选择依据4.1.4出版方式§4地图投影的应用4.2地形图投影4.2.1高斯-克吕格投影（等角横切椭圆柱投影）以椭圆柱为投影面，使地球椭球体的某一经线与椭圆柱相切，然后按等角条件，将中央经线两侧各一定范围内的地区投影到椭圆柱面上，再将其展成平面而得。由德国数学家、天文学家高斯（C.F.Gauss，1777—1855）及大地测量学家克吕格（J.Krüger，1857—1923）共同创建。§4地图投影的应用4.2地形图投影§4地图投影的应用此投影无角度变形，中央经线无长度变形。为保证精度，采用分带投影方法：

经差

6°或3°分带，长度变形

<0.14%4.2.1高斯-克吕格投影（等角横切椭圆柱投影）4.2地形图投影§4地图投影的应用4.2.1高斯-克吕格投影（等角横切椭圆柱投影）4.2地形图投影中国国家基本比例尺地形图采用高斯-克吕格6°分带投影：

1∶1万（3°分带）

1∶2.5万、1∶5万、1∶10万、1∶25万、1∶50万。§4地图投影的应用4.2.1高斯-克吕格投影（等角横切椭圆柱投影）高斯-克吕格直角坐标yA=245863.7myB

=-168474.8myA通=20745863.7myB通=20331525.2m4.2地形图投影§4地图投影的应用4.2.1高斯-克吕格投影（等角横切椭圆柱投影）4.2地形图投影4.2.2通用横轴墨卡托投影——UTM投影以横轴椭圆柱面割于地球椭球体的两条等高圈，按等角条件，将中央经线两侧各一定范围内的地区投影到椭圆柱面上，再将其展成平面而得。又称UniversalTransverseMercator——

UTM投影。此投影无角度变形，中央经线长度比为0.9996，距中央经线约±180km处的两条割线上无变形。亦采用分带投影方法：经差6°或3°分带。长度变形<0.04%§4地图投影的应用35′35′4.2.3百万分一地形图投影中国《1∶100万地形图编绘规范》规定采用边纬线与中纬线长度变形绝对值相等的双标准纬线等角割圆锥投影,按纬差4°分带长度变形最大值:±0.03%面积变形最大值:±0.06%4.2地形图投影新编国际百万分一地图采用双标准纬线等角圆锥投影，自赤道起按纬差4°分带，北纬84°以北和南纬80°以南采用等角方位投影。§4地图投影的应用4.3区域图投影4.3.1方位投影正轴方位投影正轴等角方位投影正轴等距方位投影横轴和斜轴方位投影§4地图投影的应用4.3区域图投影4.3.2圆锥投影以圆锥面作投影面，使圆锥面与球面相切或相割，将球面上的经纬线投影到圆锥面上，然后将圆锥面展为平面而成。§4地图投影的应用4.3区域图投影4.3.2圆锥投影正轴圆锥投影

经线:投影为放射直线，经差

l与投影面上

d

成正比：d=Cl（C为常数）。

纬线:投影为同心圆弧，其半径

r

是纬度

的函数，r

=f（）

圆锥投影的各种变形均是纬度

的函数，与经度

l无关。适于制作中纬度沿东西方向延伸地区的地图§4地图投影的应用等角割圆锥投影条件：

w=0;

m=n;n1=n2=1相割纬线：

1=25°；

2=45°4.3区域图投影4.3.2圆锥投影§4地图投影的应用4.3区域图投影4.3.2圆锥投影等积割圆锥投影条件：P=mn=1;n1=n2=1

多用于要求面积对比正确的图种，如分布图、类型图、区划图如1:800万，1:600万，1:400万《中华人民共和国地图》采用了(1=25°；2=47°)的该投影。等距割圆锥投影条件：m=1;n1=n2=1

原苏联出版的苏联全图，采用(1=47°；2=62°)的该投影。§4地图投影的应用纬线长度比

n=1，同心圆弧中央经线

m0=1，其他经线为对称m0的曲线常用于编制中纬度地区小比例区域图4.3区域图投影4.3.3伪圆锥投影由法国彭纳（R.Bonne）在圆锥投影的基础上，根据某些条件改变经线形状设计而成，故又称彭纳投影。§4地图投影的应用4.4世界地图投影主要类型：多圆锥投影、圆柱投影和伪圆柱投影具体方案：

等差分纬线多圆锥投影正切差分纬线多圆锥投影墨卡托（Mercator）投影摩尔威特（Mollweide）投影古德（Goode）投影§4地图投影的应用4.4世界地图投影4.4.1多圆锥投影假设更多的圆锥面与球面相切，投影后沿一母线剪开展平。纬线投影为同轴圆弧，其圆心都在中央经线的延长线上。中央经线为直线，其余经线投影为对称中央经线的曲线。§4地图投影的应用普通多圆锥投影（1820年美国Hasslar所创）m0=1n=1m>1任意投影适于南北方向延伸地区地图4.4世界地图投影§4地图投影的应用4.4.1多圆锥投影将整个地球按一定经差分为若干带，每带中央经线投影为直线，各带在赤道相接。用于制作地球仪。4.4世界地图投影普通多圆锥分带投影图§4地图投影的应用4.4.1多圆锥投影中国地图出版社1963年设计，其经线间隔随距中央经线距离的增大而呈等差递减，属任意投影。4.4世界地图投影等差分纬线多圆锥投影§4地图投影的应用4.4.1多圆锥投影角度变形中国地图出版社1963年设计，其经线间隔随距中央经线距离的增大而呈等差递减，属任意投影。4.4世界地图投影等差分纬线多圆锥投影§4地图投影的应用4.4.1多圆锥投影面积变形4.4世界地图投影§4地图投影的应用4.4.1多圆锥投影这种投影的变形性质属任意投影。我国绝大部分地区的面积变形在10%以内，面积比等于1的等变形线自东向西横贯我国中部，中央经线和纬线44度的交点处没有角度变形。我国境内绝大部分